Calcul des probabilités et introduction aux processus aléatoires:
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Introduction V
Abréviations et notations IX
Chapitre premier. — Axiomes. Probabilités discrètes 1
§ 1. Notion d épreuve. Événements. Probabilité 1
1 1. Épreuve 1
1 2. Événements 2
1 3. Probabilité, variable aléatoire 3
§ 2. Probabilité conditionnelle, dépendance et indépendance 6
2 1. Axiome des probabilités composées 6
2 2. Indépendance de deux ou plusieurs événements 9
2 3. Exemples de dépendance: 10
§ 3. Moyenne, moments, fonction génératrice 13
3 1. Moyenne ou espérance mathématique 13
3 2. Moments et moyenne d ordre a d une v.a.X 14
3 3. Fonction génératrice et exemples 17
3 4. Exercices et problèmes 20
§ 4. Problèmes de Vadditivité et de Vadditivité complète de la Probabilité 22
Chapitre II. — Mesure et intégration 26
§ 5. Espaces mesurables et mesures 27
5 1. Anneaux et algèbres 27
5 2. a anneaux, a algèbres (tribus) 29
5 3. Espaces produits 34
5 4. Mesure 34
5 5. Compliments et exercices 42
§ 6. Application d un espace mesuré dans un autre, variables aléatoires,
processus aléatoires 47
6 1. Application de il dans X. Images d un anneau, (algèbre, a algèbre),
d une mesure 47
6 2. Variables aléatoires 50
6 3. Mesure dans RT et loi temporelle d un processus aléatoire 55
6 4. Compléments et exercices 63
xn TABLE DES MATIÈRES
§ 7. Mesures produit et variables aléatoires indépendantes. Théorème de
Fubini 66
7 1. Tribus et variables aléatoires indépendantes 66
7 2. Existence de la mesure produit 68
7 3. Le théorème de Fubini 70
7 4. Définition d un probabilité dans B , R°°, par intégrations successives .. 73
7 5. Probabilités conditionnelles régulières 75
7 6. Application aux v.a. réelles régression et corrélation 77
§ 8. Propriétés de l intégrale 81
8 1. Théorème élémentaires 82
8 2. Mesures signées et théorème de Radan Nicodym 85
8 3. Convergence en mesure de fonctions à valeurs réelles ou complexes.... 90
8 4. Espaces Lp et critères de convergence en moyenne d ordre/» 94
8 5. Compléments et exercices 100
§ 9. Martingales discrètes, dérivation et mesures singulières 105
9 1. Martingales 105
9 2. Dérivation, mesures singulières 108
9 3. Exemples. Étude de la fonction caractéristique 111
Chapitre III. — Lois dans Rd, convergence des lois, lois indéfiniment divisibles. 113
§ 10. Fonction caractéristique ç d une loi f* dans R ou Rd 113
10 1. Définition d une loi dans Bd et famille d unicité 113
10 2. Premières propriétés de la f.c. p(«) 116
10 3. Fonctions de type positif et théorème de Bochner 119
10 4. Formules d inversion de la transformée de Fourier p(«) d une loi jx ... 121
10 5. Compléments 125
§ 11. Lois et fonctions caractéristiques usuelles dans B ou Rd 134
11 1. Convolution des lois 134
11 2. Lois normales sur Rd 136
11 3. Lois de X2, de Student, de Fischer Snédécor 139
11 4. Signification statistique de la loi de x2 141
11 5. Signification statistique de la loi de la v.a. T de Student 144
11 6. La classe de Polya de lois symétriques dans C 145
11 7. Lois exp (n), signification et introduction à la classe I(R) 146
11 8. Autres exemples et problèmes 148
§ 12. Convergence des lois 150
12 1. Propriétés générales 151
12 2. Propriétés concernant la CV. des suites de lois de mesures bornées dans
R 153
12 3. Produit infini de fontions caractéristiques 157
12 4. Application à l étude asymptotique de la moyenne d un échantillon .. 158
12 5. Exercices 162
§ 13. La classe .1 = y (Rrf) des lois indéfiniment divisibles dans Rd 164
13 1. La caractérisation des lois e.T par leur deuxième fonction caracté¬
ristique 164
13 2. La classe des limites de Xn... nan à Xnk uniformément petits est la
classe 3 169
13 3. Compléments 176
TABLE DES MATIÈRES xm
Chapitre IV. — Suites de variables aléatoires, propriétés asymptotiques 181
§ 14. Théorèmes généraux, théorèmes d équivalene 181
14 1. Théorème 181
14 2. Les théorèmes d équivalence 184
14 3. Convergence en moyenne quadratique et convergence presque sûre... 186
14 4. Compléments et contre exemples 188
§ 15. Lois des grands nombres 191
15 1. Introduction, lois faibles 191
15 2. Lois fortes des grands nombres 193
15 3. Loi du logarithme itéré 196
15 4. Valeurs extrêmes d un échantillon 199
15 5. Nombres normaux de Borel 200
§ 16. Théorème de Birkhoffet transformations ergodiques 201
16 1. Généralités 201
16 2. Le théorème dans le cas discret 202
16 3. Le cas continu 205
16 4. Autres propriétés dans le cas où /eLp, p 1 et mCl x (Lp + Lp
(Q, et, m) 206
16 5. Transformations ergodiques 208
§ 17. Applications du théorème de Birkhoff 210
17 1. Opérateur translation pour une chaîne stationnaire 210
17 2. Propriétés des chaînes déduites du théorème de Birkhoff 211
Chapitre V. — Processus de Poisson et processus à accroissements indépendants. 214
§ 18. Les processus de Poisson 214
18 1. Cas de la demi droite R+ 214
18 2. Le conditionnement du processus relatif à ]0,T] par N(T) = K 217
18 3. Processus de Poisson défini dans l espace mesurable (%, $ ) par la
mesure F 219
18 4. Processus de Poisson et processus (NJ indexé par A e cl 222
18 5. Compléments 225
§ 19. Processus de Wiener. Lévy et processus à trajectoire continues 226
19 1. Soit donné un processus à valeurs dans l espace métrique 3 muni de
sa tribu borélienne % 226
19 2. Un théorème de continuité des trajectoires 228
19 3. Compléments sur le mouvement brownien 232
§ 20. Processus à accroissements indépendants dans un groupe métrisable
X, ou dans Kd 236
20 1. Propriétés générales 236
20 2. Les processus de Poisson N(/) et les processus de sauts z(t) définis
par le processus x(t) à accroissements indépendants 241
20 3. Réduction complète du processus x(t) à accroissements indépendants,
à valeurs dans R 245
XIV TABLE DES MATIÈRES
Appendice I 251
§ 21. Le prolongement de Daniell, application au théorème d extension d une
mesure et au théorème de Beppo Lévi 251
21 1. Introduction 251
21 2. Définition et étude de la classe Ç : premier prolongement de I 252
21 3. Les a anneaux JTl et JTt 254
21 4. Le théorème général d extension 265
21 5. Application à un cas particulier 259
Appendice II. — Mesures dans les espaces topologiques 261 ;
§ 22. Fonctionnelles binéaires sur Ç et fonctions additives d ensembles 261
22 1. F régularité des lois et ensembles Z 261
22 2. Le théorème de A. D. Alexandrov 264
22 3. Conditions de a continuité de toute fonctionnelle additive sur C 267
§ 23. Mesures r régulières et mesures t régulieres 268
23 1. Fonctionnelles T continues et mesures r régulières 268
23 2. Propriétés des mesures T régulières, ou / régulières 271
23 3. Mesures de Radon 275
23 4. Fonctionnelle linéaire sur C et compactifié de Stone Cesh 277
§ 34. Convergence des lois, quelques théorèmes fondamentaux 279
24 1. Conditions suffisantes de relative compacité 279
24 2. Conditions nécessaires de relative compacité 281
24 3. Le théorème de métrisabilité de Varadarajan 286
24 4. Autres théorèmes de convergence 288
Appendice III 291
§ 25. La convolution de deux lois ou mesures bornées 291
25 1. La définition de la convolution 291
25 2. Conditions assurant la bicontinuité de la convolution 293
25 3. Condition de divisibilité 295
Bibliographie 297
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