Einführung in die Flugbahnoptimierung:
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Köln
Carl-Cranz-Ges.
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| adam_text | EINFÜHRUNG IN OIE FLUGBAHNOPTIMIERUNG
Teil II
«
*, •
NUMERISCHE VERFAHREN ZUR LOSUNG VON
VARIATIONSPROBLEMEN
MIT DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ALS NEBENBEDINGUNGEN
i I
- • * ■
■ : •
j
von “
Dr -Ing E O Diekmanns* *
Vortrag im Lehrgang
r
FLUGBAHNOPTIMIERUNG
der Carl-Cranz-Gesellschaft e V
i
im Oktober 197Q
Veröffentlichung nur mit vorheriger Zustimmung der Carl-Cranz-Gesell Schaft
e V
* DFVLR-Institut für Oynamik der Flugsysteme, Oberpfaffenhofen
Inhalt
Symbole *
Einleitung
1 Aufgabenstellung
2, Zusammenfassende Darstellung numerischer Verfahren
2 1 Direkte Suche des optimalen Weges
2 2
2 2 1
2 2 2
2 2 3
Methoden im Funktionenraum
Das Gradientenverfahren
Das Extr-H-Verfahren
Das verallgemeinerte Newton-Raphson-Verfahren
Seite
5
9
10
11
11
13
13
13
14
2 3 Reduktion der Variationsaufgabe auf die Bestimmung des Extre-
mums einer Funktion von mehreren Veränderlichen 14
231 Annäherung der Extremalen mit Hilfe von Lösungen gegebener
Struktur 15
232 Umformulierung in ein Randwertproblem mit Hilfe der Varia-
tionsrechnung (Maximum-Prinzip) 15
2 4 Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Extremal aufgaben 18
241 Klassisches Gradientenverfahren 19
242 Klassisches Newton-Raphson-Verfahren 20
243 Fletcher and Powell (Variable Metrie) 22
244 Das Verfahren der parallelen Tangenten (PARTAN) 25
245 Eindimensionale Minimumsuche 29
2451 Mehrdimensionale Taylor-Reihenentwicklung 29
2452 Tastschritte und Inter-(Extra-)polation 29
2453 Fibonacci Suche: Verfahren zur optimalen Reduktion des Such-
bereichs 30
3 Zu diskutierende Beispiele 32
3 1 Zeitminimale beschleunigte Kurve eines Hovercraft 32
311 Formulierung der Aufgabe 32
312 Analytische Lösung nach dem Maximumprinzip 33
313 Durchrechnung eines Beispiels 40
3 2 Dreidimensionale Gleitflugbahnen 45
321 Zustandsgleichungen und Optimalitätsbedingungen 45
322 Hilfsgleichungen 49
Sei te
3,2,3 Erreichbare Positionen am Ende eines Höhenintervalls
(Footprint-Berechnung) , 51
*324 Hypersonische Wendemanöver 52
Annäherung der Lösungsfunktionen mit Hilfe einer abzahlbaren Menge
unabhängiger Variabler (Algebraisierung) 52
4 1 Grundzüge der Methode 52
4 2 Behandlung des Beispiels 3 1
4 3 Flußdiagramm des Verfahrens
4 4 Diskussion numerischer Ergebnisse
• ••«•*««
55
SO
61
5 Dynamisches Programmieren
• ••••• t
51 Behandlung des Beispiels 3 1 ,
5 2 Das Problem der Dimensionalität
66
66
71
6 Gradientenverfahren 74
6 1 Behandlung des Standardbeispiels 3 1 74
6 2 Diskussion numerischer Ergebnisse 76
Extr-H-Verfahren
;?’r 7 1
s§^‘v; 7 2
ft 7 3
£ - 7 4
-741
i ■ ■■ 7 4 2
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7 5 1
P 8 i Einfac
8 1
8 2
8 2 1
8 2 2
V 8 3
84
84
Kurze Rekapitulation des Maximumprinzips
/
Getrennt gegebene Randwerte für die Zustands- und die ad- /
jungierten Variablen / 85
Gemischte Randwerte , / 88
Anwendung auf das Standardbeispiel 3 1 92
Formulierung 92
Diskussion numerischer Ergebnisse ; 94
l
I 94
98
101
Ergebnisse zum Beispiel 3 2
Erreichbare Positionen am Ende eines Höhenintervalls
Grundzüge der Schießverfahren 101
Gradientenberechnung 102
Annäherung der partiellen Ableitungen durch Differenzen-
quotienten 102
Integration linearisierter Störgleichungen 104
Einfachschießverfahren
1105
V831 Behandlung des Beispiels 3 1 nach dem Einfachschießver-
fahren
- J amp;jy V ‘
■r:« 832 Diskussion numerischer Erfahrungen
* ■ •,
8 4 Mehrfachschießverfahren
841 Grundzlige des Verfahrens
S842 Demonstration des Verfahrens am Beispiel 3 1
A843 Diskussion numerischer Ergebnisse
105
109
111
111
112
118
9, Verallgemeinertes Nev/ton-Raphson-Verfahren 121
9 1 Grundzlige des Verfahrens 122
9 2 Behandlung des Beispiels 3 1 123
9 3 Diskussion numerischer Ergebnisse 125
10 Gegenüberstellung der verschiedenen Verfahren 128
11 Numerische Behandlung Von Phasenraumbeschränkungen 132
11 1 Ableitung der Gleichungen zur Lastvielfachenbegrenzung
beim Beispiel 3 2 132
11 2 Implementierung im Extr-H-Verfahren , 133
11 3 Implementierung bei() den Schießverfahren 135
11 4 Diskussion numerischer Erfahrungen 135
/
Literatur
141
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