Vorlesungen über die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung: gehalten an der Faculté des Sciences zu Paris
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Leipzig
Teubner
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| adam_text | Inhaltsverzeichiiiss.
1. Kapitel.
§ Allgemeine Sätze über die Existenz der Integrale. Seite
1. Historische Bemerkung.................................................. 1
2—6. Beweis der Existenz der Integrale..................................... 1
2—4. Zwei besondere Fälle.................................................. 1
5. 6. Allgemeiner Satz.....................................................10
7. Verallgemeinerung...................................................16
8—10. Verschiedene Anwendungen. — Implicite Functionen.................... 16
11—13. Besondere Beispiele. Geometrische Bedingungen, denen das Inte-
gral unterworfen werden kann............................................... 19
14. 15. Singuläre Integrale...............................................23
16. Verfahren, um die explicit in der Differentialgleichung vor-
kommende abhängige Variabele ans der Gleichung fortzuschaffen . 26
2. Kapitel.
Lineare Gleichungen. Vollständige Systeme.
17. Homogene lineare Differentialgleichungen............................29
18—19. Beliebige lineare Differentialgleichungen.............................32
19. Bestimmung der willkürlichen Function derart, dass das Integral
im Voraus gegebenen Bedingungen genügt..............................35
20—22. Geometrische Interpretation im Falle dreier Variabein.................37
23. Ausdehnung auf beliebig viele Variabein...............................44
24. 25. Vollständige Systeme................................................45
26. Jacobi’schc Systeme.................................................50
27. Anzahl der verschiedenen Integrale eines vollständigen Systems
von to Gleichungen mit m -J- n unabhängigen Veränderlichen. —
Allgemeine Tntegrationsmethodc der vollständigen Systeme .... 51
28—33 Methode von Mayer......................................................68
34. Methode von Jacöbi..................................................64
Aufgaben........................................................... 67
Goursat, DifforontialgleichuBRen, a**
X
Inhaltsverzeichniss.
3. Kapitel.
g Lineare totale Differentialgleichungen.
35. Vollständig integrirbare Systeme............................ 68
36. Mayer’s Methode der Integration vollständig integrirbarer
Systeme...................................................... 71
37. Anwendung auf die Gleichung Pdx -f- Qdy -f- lidz — 0 . . . . 74
38. Geometrische Deutung für Systeme mit n Veränderlichen .... 73
Aufgaben..................................................... 82
4. Kapitel.
Gleichungen von beliebiger Vorm. Allgemeines.
Methode von Lagvange und Charpit.
«
39. Gleichungen mit drei Veränderliche^. Definition der verschiedenen
Arten von Integralen nach Lagrange. Clairaut’sche Gleichung. . 83
40—41. Integrationsverfahren von Lagrange und Charpit.................... 86
42— 45. Gleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen................... 90
Aufgaben......................................................... 97
5. Kapitel.
Methode von Cauchy. Charakteristiken.
46. Historische Bemerkung............................................. 99
47. Methode von Cauchy für Gleichungen mit drei Variabein. — Um-
wand von Bertram!............................................... . . . 99
48. Verallgemeinerung des Cauchy’schen Problems.......................105
49. Geometrische Deutung. — Charakteristiken..........................108
50. 51. Ausdehnung der Cauchy’schen Methode auf Gleichungen mit
mehr als drei Veränderlichen. — Die Charakteristiken abgeleitet
aus der Gleichung selbst. — Lic’s Erweiterung des Integral-
hegriffs .........................................................109
52. Die Charakteristiken abgeleitet aus dem vollständigen Integral. . 117
53. Methode, um aus einem vollständigen Integral ein Integral abzu-
leiten, welches gegebenen Anfangsbedingungen genügt.............124
6. Kapitel.
Definition der Ausdrücke (ip, p) und ]tp, p|.
Erste Methode von Jacobi-.
54. Deiinition der Ausdrücke (ii , p). — Poisson’schcs Theorem. . . . 127
55. Deiinition der Ausdrücke ip, p], — Formel von Mayer............130
56. Erste Methode von Jacobi in der von Mayer angegebenen
Modification.....................................................131
Inhaltaverzeicliniss.
XI
7. Kapitel.
§ Methode von Jacobi und Mayer. geita
57. Historische Bemerkung............................................138
58. Definition des vollständigen Integrals eines Systems simultaner
partieller Differentialgleichungen...............................139
59. Definition eines Involutionssystems..............................140
60. 61. Allgemeine Integrationsmethode. — Bemerkung von Imschenetsky
betreffend die Separation der Variabein........................143
62. Eigentliche Jaeobi’sche Methode. — Beispiel......................148
63. Lösung eines besonderen Falles nach Mayef......................152
64. Theorem von Liouville............................................156
65—67. Ausdehnung der Methode von Jaeobi und Mayer auf Gleichungen,
in denen die unbekannte Function vorkommt......................156
Aufgaben.........................................................163
8. Kapitel.
Methode von Lic.
68. Beweis des Lie’schen Fundamentaltheorems.........................164
69. Vervollständigung der Methode von Jaeobi und Mayer...............169
70. Die neue Integrationsmethode von Lie...........................169
71. Neuer Beweis des Lie’schen Fundamentilltheorems..................172
9. Kapitel.
Geometrische Untersuchung der Gleichungen mit drei Variabein,
lntegralcurven. Singuläre Lösungen.
72. Definition der Eegel (N) und (T) und der Curven (C)..............175
73. 74. Untersuchung der Charakteristiken. Charakteristische Curven;
charakteristische abwickelbare Flächen. . ·.............._. . . 178
75. Intcgralflächen, welche bestimmten geometrischen Bedingungen
genügen. Ermittelung .des Integrals, welches durch eine ge-
gebene Curve hindurchgoht..............................................183
76—78. lntegralcurven....................................................185
79—84. Singuläre Lösungen................................................192
85. Anwendung auf lineare Gleichungen..................................209
Aufgaben.........................................................214
10. Kapitel.
Allgemeine Theorie von Lie.
86—89. Erweiterung der Definition des Integrals —Die Mannigfaltigkeiten Mn 216
90. Das Problem der Integration nach Lie.............................224
91. Rückkehr zur Methode der Variation der Conslanten. — Halb-
lineare Gleichungen....................................................226
92—96. Charakteristische Mannigfaltigkeiten............................ . 230
97. Verschiedene Bemerkungen. — Singuläre Integrale....................238
98. 99. Einführung der Homogenität nach Lie..............................243
XII
Inhaltsverzeichniss.
11. Kapitel.
§ Berührungstransformationen. Sejt0
100. Transformationen, bei denen die Beriihrungsverhältnisse unge-
ändert bleiben.................................................247
101. 102. Bestimmung solcher Berührungstransformationen. Fundamen-
tale Identität............................................................248
103. 104. Fall des Raumes von drei Dimensionen. Beispiele..............253
105. 106. Relationen zwischen den Functionen Z, Xt, Pk................259
107. Invarianteneigenschaften der Klammerausdrücke [7 7/]. . . . 266
108. 109. Verschiedene Folgerungen.....................................268
HO—113. Transformationen in x, p. — Ihre Bedeutung für die partieRen
Differentialgleichungen, in denen die unbekannte Function
nicht explicit vorkommt........................................270
114. 115. Homogene Transformationen.....................................276
116—118. Anwendung der vorhergehenden Theorie auf die partiellen
Differentialgleichungen erster Ordnung.........................280
119. Zusammenhang der Methode der Variation der Constanten und
der Theorie der Berührungstransformationen.....................287
120. Uebergang von einem vollständigen Integral zu einem andern. 292
121. Zusammenhang der Korkine’schen Integrationsm ethode der si-
multanen Gleichungen mit der Theorie der Berührungstrans-
formationen ...................................................293
12. Kapitel.
Theorie der Gruppen. Allgemeine Integrationsmethode.
122. 123. Kurze Wiederholung der verschiedenen Intcgrationsmethoden . 295
124. Definition der Gruppe.........................................297
125. Fundamentalsatz der Gruppentheorie. Polargruppen; re-
ciproké Gruppen....................................՝.......300
126. Ausgezeichnete Functionen einer Gruppe........................301
127. Anzahl der ausgezeichneten Functionen einer Gruppe............302
128—129. Kanonische Gruppen..............................................304
130. Möglichkeit des Ueherganges von einer Gruppe zu einer andern
durch eine Berührungstransformation...........................309
131. Die in einer Gruppe enthaltenen Involutionssysteme............310
132—140. Anwendung der Gnippcntheorie auf die Integration der Involu-
tionssysteme .......................................................,. 311
141. Beispiel........................................................326
142—146. Homogene Gleichungen und Gruppen................................327
Note I. Ueber die Jacobi’schen Systeme (§34 S. 64)........... 338
Note II. Ueher das Foisson’sche Theorem.......................340
Anhang......................................... .............342
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| title_short | Vorlesungen über die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung |
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