Gewöhnliche Differentialgleichungen: mit 280 Aufgaben und Lösungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Frankfurt/M. [u.a.]
Deutsch
1972
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| Ausgabe: | 3. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Reihe Mathematik für Ingenieure : Ergänzungsbände
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| Beschreibung: | 273 S. |
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1. Einführende Betrachtungen 11
1.1. Der Begriff der Differentialgleichung 11
1.2. Die Lösung einer Differentialgleichung als Kurvenschar 16
1.3. Die Differentialgleichung einer Kurvenschar . . 18
1.4. Auftreten von Differentialgleichungen in der Praxis 20
1.4.1. Pendelschwingungen ~ 20
1.4.2. Federschwingungen 21
1.4.3. Das Rollpendel 23 *
1.4.4. Abrollen einer Kugel 25
1.4.5. Elektrische Kreise 27
1.4.6. Stabknickung 31
1.4.7. Stabknickung mit Berücksichtigung des Eigengewichts 34
2. Elenaentare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster Ordnung . 36
2.1. Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung durch Trennung der Ver¬
änderlichen 36
2.2. Gleichgradige Differentialgleichungen 41
2.3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 46
2.3.1. Die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung 46
2.3.2. Die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung 47
2.4. Orthogonale und isogonale Trajektorien 55
3. Erniedrigung der Ordnung bei speziellen Differentialgleichungen höherer
Ordnung .... - 58
3.1. Behandlung von F[z; y , y , . ..,y )== 0 58
3.2. Behandlung von F(y, y , y y ) = 0 59
3.3. Behandlung homogener Differentialgleichungen 64
4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 67
4.1. Allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen 67
4.1.1. Die Gestalt der allgemeinen Lösung der homogenen linearen Differential¬
gleichung. Lineare Unabhängigkeit der partikulären Lösungen 67
4.1.2. Die Gestalt der allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung 71
4.1.3. Erniedrigung der Ordnung einer linearen Differentialgleichung 72
4.1.4. Die Variation der Konstanten , 76
4.1.5. Die Berücksichtigung der Anfangsbedingungen. Zusammenfassung .... 81
4.2. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 83
4.2.1. Die homogene Gleichung 83 *
4.2.1.1. Alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind reell und verschieden . 85
4.2.1.2. Alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind verschieden; unter ihnen
gibt es komplexe Wurzeln 86
Inhalteverzeichnis 9
4.2.1.3. Unter den Wurzeln der charakteristischen Gleichung gibt es mehrfache
Wurzeln 88
4.2.2. Die inhomogene Gleichung 92
4.2.2.1. Spezielle Lösungsansätze 92
4.2.2.2. Ausgleichsvorgang und stationärer Vorgang bei linearen Differentialgleichun¬
gen mit konstanten Koeffizienten. Stabilitätskriterien 100
4.3. EuLERsche Differentialgleichungen 103
4.4. Die Methode der LAPLACE-Transformation 107
5. Systeme von Differentialgleichungen 118
5.1. Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme 118
5.2. Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten . . .122
6. Lösung von Differentialgleichungen durch Potenzreihenansatz 125
6.1. Beschreibung des Verfahrens 125
6.2. BESSELsche Funktionen 131
6.2.1. Lösung der BESSELSchen Differentialgleichung 131
6.2.2. Beziehungen zwischen BESSELSchen Funktionen mit verschiedenen Indizes . 136
6.2.3. Die Schwingungen einer kreisförmigen Membran 138
7. Angenäherte Lösung von Differentialgleichungen 141
7.1. Graphische Lösungsverfahren bei Differentialgleichungen erster Ordnung . 141
7.1.1. Das Richtungsfeld. Das Isoklinenverfahren 141
7.1.2. Das Polygonzugverfahren 143
7.1.3. Verbessertes Polygonzugverfahren 146
7.1.4. Das Polygonzugvorfahren für Systeme von Differentialgleichungen .... 148
7.2. Ein Existenzsatz. Die Methode der sukzessiven Approximation 149
7.2.1. Das Verfahren für die Differentialgleichung y = / (x, y) 149
7.2.2. Das Verfahren füi Systeme von Differentialgleichungen . . . . 159
7.2.3. Kleine Veränderungen in der Differentialgleichung 163
7.3. Das BuNOE-KuTTA-Verfahren 165
7.3.1. Die SiMPSONSche Regel 165
7.3.2. Das Runoe-Kutta-Verfahren für die Differentialgleichung y = / (x, y) . . 168
7.3.3. Schrittkennzahl, Fehlerbetrachtung, Rechenkontrollen 170
7.3.4. Ein Beispiel 173
7.3.5. Das RuNGE-KurTA-Veifahren für ein System von Differentialgleichungen
erster Ordnung 177
7.3.6. Das RliNOE-KuTTA-Verfahren füi Differentialgleichungen zweiter Ordnung . 181
7.4. Das Differenzenschema-Verfahren 184
7.4.1. Beschreibung des Verfahrens bei der Differentialgleichung y = j(x, y). . . 184
7.4.2. Die Konvergenz des Iterationsverfahrens 188
7.4.3. Ein Beispiel 189
7.4.4. Das Verfahren für ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung. 191
10 Inhaltsverzeichnis
7.5. Die Methode der Differenzenquotienten 196
7.5.1. Beschreibung des Verfahrens 196
7.5.2. Finite Ausdrücke für die Ableitungen 200
7.5.3. Durchbiegung eines Balkens 202
7.5.4. Stabknickung unter Berücksichtigung des Eigengewichts 205
8. Lösung von Differentialgleichungen mit Analogierechenanlagen 209
8.1. Einführende Betrachtungen 209
8.2. Die linearen Rechenelemente 213
8.2.1. Der Konstantmultiplikator 213
8.2.2. Der Summator 214
8.2.3. Der Integrator 215
8.2.4. Der summierende Integrator 216
8..3. Nicht-lineare Rechenelemente 218
8.3.1. Der Funktionsmultiplikator 218
3.2. Der Funktionsgenerator 218
8.4. Einführung in die Programmierung 220
8.5. Erzeugung von Funktionen 227
8.6. Transformation von Funktionen 232
8.7. Methoden der Programmoptimierung 235 i
8.8. Stabknickung mit Berücksichtigung des Eigengewichts 239
Aufgaben 243
Lösungen der Aufgaben 255
Sachwortverzeichnis 270
Literaturverzeichnis 273 -k
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