Was ist Mathematik?:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1992
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| Ausgabe: | 4., unveränd. Aufl. |
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| Beschreibung: | XXII, 399 S. graph. Darst. |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur vierten Ausgabe VII
Vorwort zur Deutschen Ausgabe XIV
Ratschläge für die Leser XI
Was ist Mathematik? XIX
Erstes Kapitel
Die natürlichen Zahlen
Einleitung 1
§ 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen 1
1. Gesetze der Arithmetik S. 1 — 2. Darstellung der positiven ganzen Zahlen S. 4
3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen S. 6
§ 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems. Mathematische Induktion 8
1. Das Prinzip der mathematischen Induktion S. 8 — 2. Die arithmetische Reihe
S. 10 — 3. Die geometrische Reihe S. 11 4. Die Summe der ersten n Quadrate
S. 12 5. Eine wichtige Ungleichung S. 13 6. Der binomische Satz S. 13 7. Wei¬
tere Bemerkungen zur mathematischen Induktion S. 15
Ergänzung zu Kapitel I. Zahlentheorie 17
Einleitung 17
§ 1. Die Primzahlen 17
1. Grundtatsachen S. 17 2. Die Verteilung der Primzahlen S. 20 a) Formeln
zur Konstruktion von Primzahlen S. 21 — b) Primzahlen in arithmetischen Folgen
S. 21 c) Der Primzahlsatz S. 22 d) Zwei ungelöste Probleme, die Primzahlen
betreffen S. 24
§ 2. Kongruenzen 26
1. Grundbegriffe S. 26 2. Der kleine Fermatsche Satz S. 30 3. Quadratische
Reste S. 31
§ 3. Pythagoreische Zahlen und großer Fermatscher Satz 32
§ 4. Der euklidische Algorithmus 34
1. Die allgemeine Theorie S. 34 2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der
Arithmetik S. 38 — 3. Eulers y Funktion. Nochmals kleiner Fermatscher Satz
S. 39 4. Kettenbrüche. Diophantische Gleichungen S. 40
Zweites Kapitel
Das Zahlensystem der Mathematik
Einleitung 42
§ 1. Die rationalen Zahlen 42
1. Messen und Zählen S. 42 2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen.
Prinzip der Verallgemeinerung S. 44 3. Geometrische Deutung der rationalen
Zahlen S. 46
§ 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff ... 47
1. Einleitung S. 47 2. Unendliche Dezimalbrüche S. 49 3. Grenzwerte. Unend¬
liche geometrische Reihen S. 51 4. Rationale Zahlen und periodische Dezimal¬
brüche S. 54 5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervall¬
schachtelungen S. 55 6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen.
Dedekindsche Schnitte S. 57
XIV Inhaltsverzeichnis
§ 3. Bemerkungen über analytische Geometrie 58
1. Das Grundprinzip S. 58 2. Gleichungen von Geraden und Kurven S. 59
§ 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen 62
1. Grundbegriffe S. 62 2. Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen und die Nicht
abzählbarkeit des Kontinuums S. 63 3. Cantors „Kardinalzahlen S. 67
4. Die indirekte Beweismethode S. 68 5. Die Paradoxien des Unendlichen S. 69
6. Die Grundlagen der Mathematik S. 70
§ 5. Komplexe Zahlen 71
1. Der Ursprung der komplexen Zahlen S. 71 2. Die geometrische Deutung der
komplexen Zahlen S. 74 — 3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln S. 78
4. Der Fundamentalsatz der Algebra S. 80
§ 6. Algebraische und transzendente Zahlen 82
1. Definition und Existenz S. 82 Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion
transzendenter Zahlen S. 83
Ergänzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra) 86
1. Allgemeine Theorie S. 86 2. Anwendung auf die mathematische Logik S. 89
3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 91
Drittes Kapitel
Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkörper
Zahlkörper 93
Einleitung 93
I. Teil. Unmöglichkeitsbeweise und Algebra 95
§ 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen 95
1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln S. 95 2. Regelmäßige Vielecke
5. 97 3. Das Problem des Apollonius S. 99
§ 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkörper 101
1. Allgemeine Theorie S. 101 2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch
S. 106
§ 3. Die Unlösbarkeit der drei griechischen Probleme 107
1. Verdoppelung des Würfels S. 107 2. Ein Satz über kubische Gleichungen
S. 108 3. Winkeldreiteilung S. 109 4. Das regelmäßige Siebeneck S. 111
5. Bemerkungen zum Problem der Quadratur des Kreises S. 112
II. Teil. Verschiedene Konstruktionsmethoden 112
§ 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion 112
1. Allgemeine Bemerkungen S. 112 — 2. Eigenschaften der Inversion S. 113
3. Geometrische Konstruktion inverser Punkte S. 115 4. Halbierung einer Strecke
und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allein S. 116
§ 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln. Mascheroni Konstruktionen mit dem
Zirkel allein 117
1. Eine klassische Konstruktion zur Verdoppelung des Würfels S. 117 Be¬
schränkung auf die Benutzung des Zirkels allein S. 117 3. Das Zeichnen mit
mechanischen Geräten. Mechanische Kurven. Zykloiden. S. 121 4. Gelenk¬
mechanismen. Peaucelliers und Harts Inversoren. S. 123
§ 6. Weiteres über die Inversion und ihre Anwendungen 125
1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen S. 125 2. Anwendung auf das Problem
des Apollonius S. 127 3. Mehrfache Reflexionen S. 128
Viertes Kapitel
Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien
§ 1. Einleitung 130
1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen
S. 130 2. Projektive Transformationen S. 131
Inhaltsverzeichnis XV
§ 2. Grundlegende Begriffe 132
1. Die Gruppe der projektiven Transformationen S. 132 2. Der Satz von Desar
gues S. 134
§ 3. Das Doppelverhältnis 135
1. Definition und Beweis der Invarianz S. 135 2. Anwendung auf das vollständige
Vierseit S. 139
§ 4. Parallelität und Unendlichkeit 140
1. Unendlich ferne Punkte als „uneigentliche Punkte S. 140 2. Uneigentliche
Elemente und Projektion S. 143 3. Doppelverhältnisse mit unendlich fernen
Elementen S. 144
§ 5. Anwendungen 144
1. Vorbereitende Bemerkungen S. 144 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der
Ebene S. 145 3. Der Pascalsche Satz S. 146 4. Der Satz von Brianchon S. 147
5. Das Dualitätsprinzip S. 147
§ 6. Analytische Darstellung 148
1. Einleitende Bemerkungen S. 148 2. Homogene Koordinaten. Die algebraische
Grundlage der Dualität S. 149
§ 7. Aufgaben über Konstruktionen mit dem Lineal allein 152
§ 8. Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung 153
1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte S. 153 2. Projektive
Eigenschaften der Kegelschnitte S. 156 3. Kegelschnitte als Hüllkurven S. 158
4. Pascals und Brianchons allgemeine Sätze für Kegelschnitte S. 161 — 5. Das
Hyperboloid S. 162
§ 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie 163
1. Die axiomatische Methode S. 163 — 2. Hyperbolische nichteuklidische Geo¬
metrie S. 166 3. Geometrie und Wirklichkeit S. 170 4. Poincarös Modell S. 171
5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie S. 172
Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen 174
1. Einleitung S. 174 — 2. Die analytische Definition S. 174 3. Die geometrische
oder kombinatorische Definition S. 176
Fünftes Kapitel
Topologie
Einleitung 180
§ 1. Die Eulersche Polyederformel 181
§ 2. Topologische Eigenschaften von Figuren 184
1. Topologische Eigenschaften S. 184 2. Zusammenhang S. 185
§ 3. Andere Beispiele topologischer Sätze 186
1. Der Jordansche Kurvensatz S. 186 2. Das Vierfarbenproblem S. 188 3. Der
Begriff der Dimension S. 189 4. Ein Fixpunktsatz S. 192 5. Knoten S. 195
§ 4. Topologische Klassifikation der Flächen 195
1. Das Geschlecht einer Fläche S. 195 2. Die Eulersche Charakteristik einer Fläche
S. 197 3. Einseitige Flächen S. 198
Anhang 200
1. Der Fünffarbensatz S. 200 2. Der Jordansche Kurvensatz für Polygone S. 202
3. Der Fundamentalsatz der Algebra S. 204
Sechstes Kapitel
Funktionen und Grenzwerte
Einleitung 207
§ 1. Variable und Funktion 208
1. Definitionen und Beispiele S. 208 2. Das Bogenmaß eines Winkels S. 211
3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen S. 212 4. Zusam¬
mengesetzte Funktionen S. 214 5. Stetigkeit S. 215 6. Funktionen von mehreren
Veränderlichen S. 217 7. Funktionen und Transformationen S. 219
XVI Inhaltsverzeichnis
§ 2. Grenzwerte 220
1. Der Grenzwert einer Folge an S. 220 2. Monotone Folgen S. 224 3. Die Euler
sche Zahl e S. 226 4. Die Zahl n S. 227 5. Kettenbrüche S. 229
§ 3. Grenzwerte bei stetiger Annäherung 231
1. Einleitung. Allgemeine Definition S. 231 2. Bemerkungen zum Begriff des
Grenzwertes S. 232 3. Der Grenzwert von S. 234 4. Grenzwerte für
x
x oo S. 235
§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit 236
§ 5. Zwei grundlegende Sätze über stetige Funktionen 237
1. Der Satz von Bolzano S. 237 2. Beweis des Bolzanoschen Satzes S. 238 3. Der
Satz von Weierstrass über Extremwerte S. 239 4. Ein Satz über Zahlenfolgen.
Kompakte Mengen S. 240
§ 6. Einige Anwendungen des Satzes von Bolzano 241
1. Geometrische Anwendungen S. 241 2. Anwendung auf ein mechanisches Pro¬
blem S. 243
Ergänzung zu Kapitel VI. Weitere Beispiele für Grenzwerte und Stetigkeit 245
§ 1. Beispiele von Grenzwerten 245
1. Allgemeine Bemerkungen S. 245 2. Der Grenzwert von q S. 245 3. Der Grenz
B
wert von ]Jp S. 246 4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen
S. 247 5. Grenzwerte durch Iteration S. 248
§ 2. Ein Beispiel für Stetigkeit 249
Siebentes Kapitel
Maxima und Minima
Einleitung 251
§ 1. Probleme aus der elementaren Geometrie 252
1. Die maximale Fläche eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten S. 252 2. Der
Satz des Heron. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen S. 252 3. Anwendun¬
gen auf Probleme für Dreiecke S. 253 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse
und Hyperbel. Entsprechende Extremaleigenschaften S. 254 — 5. Extreme
Abstände von einer gegebenen Kurve S. 256
§ 2. Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen 258
1. Das Prinzip S. 258 2. Beispiele S. 259
§ 3. Stationäre Punkte und Differentialrechnung 260
1. Extremwerte und stationäre Punkte S. 260 2. Maxima und Minima von
Funktionen mehrerer Variabein. Sattelpunkte S. 261 3. Minimaxpunkte und To
pologie S. 262 4. Der Abstand eines Punktes von einer Fläche S. 263
§ 4. Das Schwarzsehe Dreiecksproblem 264
1. Der Schwarzsehe Spiegelungsbeweis S. 264 2. Ein zweiter Beweis S. 265
3. Stumpfwinklige Dreiecke S. 267 4. Dreiecke aus Lichtstrahlen S. 267 5. Be¬
merkungen über Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung S. 268
§ 5. Das Steinersche Problem 269
1. Das Problem und seine Lösung S. 269 2. Diskussion der beiden Alternativen
S. 270 3. Ein komplementäres Problem S. 272 4. Bemerkungen und Übungen
S. 272 5. Verallgemeinerung auf das Straßennetz Problem S. 273
§ 6. Extrema und Ungleichungen 274
1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver Größen S. 274
2. Verallgemeinerung auf n Variablen S. 275 3. Die Methode der kleinsten
Quadrate S. 276
§ 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip 277
1. Allgemeine Bemerkungen S. 277 2. Beispiele S. 279 3. Elementare Extremal
probleme S. 280 4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen S. 282
§ 8. Das isoperimetrische Problem 283
Inhaltsverzeichnis XVII
§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen. Zusammenhang zwischen dem Steiner
schen Problem und dem isoperimetrischen Problem 285
§ 10. Die Variationsrechnung 288
1. Einleitung S. 288 2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der
Optik S. 289 3. Bernoullis Behandlung des Problems der Brachystochrone
S. 290 4. Geodätische Linien auf einer Kugel. Geodätische Linien und Maxi
Minima S. 291
§11. Experimentelle Lösungen von Minimumproblemen. Seifenhautexperimente . . . 292
1. Einführung S. 292 2. Seifenhautexperimente S. 293 3. Neue Experimente zum
Plateauschen Problem S. 294 4. Experimentelle Lösungen anderer mathemati¬
scher Probleme S. 297
Achtes Kapitel
Die Infinitesimalrechnung
Einleitung 302
§ 1. Das Integral 303
1. Der Flächeninhalt als Grenzwert S. 303 2. Das Integral S. 304 3. Allgemeine
Bemerkungen zum Integralbegriff. Endgültige Definition S. 307 — 4. Beispiele. In¬
tegration von x S. 308 5. Regeln der Integralrechnung S. 312
§ 2. Die Ableitung 315
1. Die Ableitung als Steigung S. 315 2. Die Ableitung als Grenzwert S. 316
3. Beispiele S. 317 — 4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen S. 320
5. Differentiation und Stetigkeit S. 320 6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite
Ableitung und Beschleunigung S. 321 7. Die geometrische Bedeutung der zweiten
Ableitung S. 323 8. Maxima und Minima S. 324
§ 3. Die Technik des Differenzierens 324
§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das „Unendlich Kleine 329
§ 5. Der Fundamentalsatz der Differential und Integralrechnung 331
1. Der Fundamentalsatz S. 331 2. Erste Anwendungen. Integration von x , cos*,
sin*, arc tan* S. 334 3. Die Leibnizsche Formel für Ji S. 336
§ 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmus 337
1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl e S. 337 — 2.
Die Exponentialfunktion S. 339 3. Differentiationsformeln für e , a*, *• S. 341
4. Explizite Ausdrücke für e, ex und In* als Limites S. 342 5. Unendliche Reihen
für den Logarithmus. Numerische Berechnung S. 344
§ 7. Differentialgleichungen 346
1. Definition S. 346 2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. Radio¬
aktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins S. 346 3. Weitere Beispiele. Ein¬
fachste Schwingungen S. 349 4. Newtons Grundgesetz der Dynamik S. 351
Ergänzung zu Kapitel VIII 353
§ 1. Grundsätzliche Fragen 353
1. Difierenzierbarkeit S. 353 2. Das Integral S. 355 3. Andere Anwendungen
des Integralbegriffes. Arbeit. Länge S. 355
§ 2. Größenordnungen 358
1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von * S. 358 2. Die Größenordnung
von ln(«!) S. 360
§ 3. Unendliche Reihen und Produkte 361
1. Unendliche Reihen von Funktionen S. 361 2. Die Eulersche Formel cos* +
» sin*= e x S. 365 3. Die harmonische Reihe und die Zeta Funktion. Das
Eulersche Produkt für den Sinus S. 367
§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden 369
XVIII Inhaltsverzeichnis
Anhang
Ergänzungen, Probleme und Übungsaufgaben 373
Arithmetik und Algebra 373
Analytische Geometrie 374
Geometrische Konstruktionen 379
Projektive und nichteuklidische Geometrie 380
Topologie 381
Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit 384
Maxima und Minima 384
Infinitesimalrechnung 386
Integrationstechnik 388
Hinweise auf weiterführende Literatur 392
Namen und Sachverzeichnis 394
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