Analysis in einer Variablen: eine Einführung für ein praxisorientiertes Studium
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Mannheim u.a.
BI-Wiss.-Verl.
1992
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIX, 860 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3411147415 |
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Vorwort v
Inhaltsverzeichnis IX
1 .Kapitel: Grundlagen l
§ 1. Rationale und reelle Zahlen 1
1. Rationale Zahlen 1
2. Dezimalbrüche 1
3. Die Strukturen auf den rationalen Zahlen 3
4. Reelle Zahlen 3
5. Das Rechnen mit den reellen Zahlen 4
6. Grundeigenschaften der reellen Zahlen 6
7. Abschätzungen 8
8. Intervalle 10
9. Minimum und Maximum 12
10. Intervallarithmetik 12
11. Rechengenauigkeit 13
§2. Approximation von reellen Zahlen durch rationale Zahlen 15
1. Die Gleitkommadarstellung rationaler Zahlen 15
2. Rundung 15
3. Kettenbrüche 17
4. Kettenbruchentwicklung rationaler Zahlen 25
5. Kettenbruchentwicklung zur Rekonstruktion rationaler Zahlen
(Methode nach C. Simö) 25
§3. Mengen und Funktionen 27
1. Elementare mengentheoretische Operationen und Bezeichnungen 27
2. Produktmengen 33
3. Funktionen 36
4. Umkehrfunktionen 38
5. Einschränkungen von Funktionen 39
6. Identische Funktionen 41
7. Hintereinanderausführung von Funktionen 41
8. Konstante Funktionen 42
9. Einbettungen und Projektionen 42
10. Bild und Urbildfunktion 43
11. Punktweise Verknüpfung von Funktionen 44
12. Verknüpfungssymbole 45
13. Funktionen in Produktmengen 46
14. Rechts und linkskürzbare Funktionen 47
15. Konstante und Variable 47
16. Äquivalenzrelationen 49
17. Funktionen mehrerer Variabler und Terme 55
18. Funktionale und Operatoren 60
19. Familien 61
20. Das Summationszeichen 64
X INHALTSVERZEICHNIS
21. Verallgemeinerungen des Summationszeichens 67
22. Allgemeine Relationen 68
§4. Vollständige Induktion und elementare Kombinatorik 69
1. Die vollständige Induktion 69
2. Beispiele zur vollständigen Induktion 74
3. Die Definition durch vollständige Induktion 77
4. Kombinatorische Formeln 79
A. Permutationen 79
B. Permutationen mit Wiederholung 81
C. Kombinationen 83
D. Variationen mit Wiederholung 86
E. Praktische Anwendungen der Kombinatorik 87
§5. Logische Begriffe 90
1. Aussagen und Situationen 90
2. Die Implikation 95
3. Der modus ponens 97
4. Widersprüchliche Aussagen 98
5. Das Schema des indirekten Beweises 99
6. Die Negation 99
7. Die Beweisarbeit bei Äquivalenzen 101
8. Axiome und Definitionen 102
§6. Zur geschichtlichen Entwicklung der reellen Analysis 104
1. Vorbemerkungen 104
2. Funktionen 106
A. Allgemeines 106
B. Stetigkeit 107
C. Funktionalgleichungen 110
3. Differential und Integral 111
4. Konvergenz 116
5. Nichtstandard Analysis 118
2.Kapitel: Folgen und Reihen 123
§1. Folgen 123
1. Quantoren 123
2. Konvergenz 123
3. Beispiele für Konvergenz 126
4. Eindeutigkeit des Grenzwertes 127
5. Abschatzungen 128
6. Teilfolgen 129
7. Abzählbare und überabzählbare Mengen 131
8. Zufallsgeneratoren bei Rechnern 133
9. Divergente Folgen 135
10. Schranken 135
11. Die Vollständigkeit der reellen Zahlen 136
12. Infimum und Supremum 133
INHALTSVERZEICHNIS XI
13. Unendliche Grenzwerte 142
14. Häufungspunkte 143
§2. Doppelfolgen und Vertauschen von Grenzwertbildungen 146
1. Hintereinanderausführung von Grenzwertbildungen 146
2. Simultane Grenzwerte 151
§3. Konvergenz und Wachstumsgeschwindigkeiten 153
§4. Intervallschachtelungen 154
1. Monotone Folgen 154
2. Intervallschachtelungen 155
§5. Kompakte Mengen 158
1. Kompakte Intervalle 158
2. Folgerungen für mehrere Variable 160
§6. Limes inferior und Limes superior 162
§7. Das Cauchysche Konvergenzkriterium 168
§8. Das Rechnen mit konvergenten Folgen 170
1. Nullfolgen 170
2. Rechnen mit Nullfolgen 171
3. Rechnen mit konvergenten Folgen 173
§9. Das Rechnen mit Folgen, deren Grenzwert unendlich ist 176
1. Das Unendliche 176
2. Rechnen mit °° 176
3. Die geometrische Folge 180
§ 10. Unbestimmte Formen 182
1. Die Division durch 0 182
2. Die Ausdrücke 0°, 1 und 0! 183
§11. Zahlenreihen 185
1. Zahlenreihen 185
2. Geometrische Reihe und harmonische Reihe 187
3. Cauchysches Konvergenzkriterium für Zahlenreihen 190
4. Altemierende Reihen 191
§ 12. Umordnen von Reihen, absolute und bedingte Konvergenz 192
1. Konvergenzarten 192
2. Umordnen von Reihen 193
3. Doppelreihen und ihre Umwandlung in einfache Reihen 196
§13. Majorantenkriterium, Quotientenkriterium und Wurzelkriterium 200
§ 14. Das Rechnen mit konvergenten Zahlenreihen 203
1. Linearkombinationen konvergenter Reihen 203
XII INHALTSVERZEICHNIS
2. Produkte konvergenter Reihen 203
3. Das Abelsche Konvergenzkriterium 204
4. Die Cauchysche Produktreihe 206
§ 15. Unendliche Produkte 210
3.Kapitel: Stetigkeit 216
§ 1. Stetige Funktionen 216
1. Definition und erste Beispiele 216
2. Standardbeispiele für stetige Funktionen 220
3. Rationale Funktionen 223
4. Erzeugung neuer stetiger Funktionen 224
5. Wichtige unstetige Funktionen 225
6. Das Vorzeichen stetiger Funktionen 226
7. Grenzwerte von Funktionen 227
8. Das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen 232
9. Stetigkeit aneinandergesetzter Funktionen 234
10. Periodische Funktionen 236
11. Stetigkeit in mehreren Variablen 240
12. Der Nachweis der Stetigkeit mit Hilfe der Termstruktur einer Funktion 242
13. StetigeFortsetzbarkeit 245
§2. Zwischenwertsatz und Max Min Satz 248
1. Zwischenwertsatz und Max Min Satz in einer Variablen 248
2. Max Min Satz in mehreren Variablen 251
§3. Das Intervallhalbierungsverfahren und die Regula falsi zum Lösen von
Gleichungen 253
1. Das Intervallhalbierungsverfahren 253
2. Die Regula falsi 255
§4. Umkehrfunktionen stetiger Funktionen 261
1. Monotone Funktionen 261
2. Umkehrfunktionen 262
§5. Reelle Wurzelfunktionen 267
1. Reelle Potenzfunktionen 267
2. Reelle Polynomfunktionen ungeraden Grades 270
§6. Grenzwerte rekursiv definierter Folgen 271
§7. Gleichmäßige Stetigkeit 273
1. e 8 Stetigkeitskriterium 273
2. Gleichmäßige Stetigkeit 274
§8. Diskretisierungen 278
1. Tabellen 278
2. Moire Effekte 278
INHALTSVERZEICHNIS XIII
§9. Funktionenfolgen 282
1. Umgebungen von Funktionen 282
2. Gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen 287
§ 10. Funktionenreihen (Potenzreihen) 289
1. Die geometrische Reihe 290
2. Gleichmäßige und absolute Konvergenz von Funktionenreihen 291
3. Das Majorantenkriterium für Funktionenreihen 292
4. Potenzreihen 293
5. Konvergenzradius 294
6. Das Cauchysche Quotientenkriterium 298
7. Wichtige Potenzreihen 300
8. Die Bestimmung des Konvergenzradius nach Hadamard 304
9. Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung 306
10. Das Rechnen mit konvergenten Potenzreihen 308
4.Kapitel: Differential und Integralrechnung 317
§ 1. Differenzierbare Funktionen 317
1. Differenäerbarkeit 317
2. Rechts und linksseitige Ableitungen 318
3. Höhere Ableitungen 319
4. Stetigkeit differenzierbarer Funktionen 319
5. Die Ableitung als (affin ) lineare Approximation 320
6. Elementargeometrische Interpretation der Ableitung 320
7. Interpretation der Ableitung mit Hilfe des Landausymbols 321
8. Die Leibnizsche Schreibweise der Ableitung 322
9. Erweiterung der Definition der Ableitung 324
10. Das partielle Differenzieren 326
11. Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen 328
12. Fallstudie zur Differenzierbarkeit 329
§2. Elementare Regeln des Differenzierens 330
1. Regeln für Funktionen einer Variablen 330
2. Die Kettenregel in mehreren Variablen 334
§3. Abgeleitete Differentiationsregeln 338
1. Arithmetische Regeln 338
2. Ableitung einer mittelbar gegebenen Funktion
(implizites Differenzieren) 341
§4. Newtonsches Näherungsverfahren zur Lösung von Gleichungen 345
§5. Elementare Integration 348
1. Die Definition des Integrals 348
2. Die Linearität des Integrals 354
3. Abschätzungen 354
4. Abschätzungen für funktionalanalytische Zwecke 357
XIV INHALTSVERZEICHNIS .
5. Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung 359
6. Integrationsgrenzen 360
7. Die geometrische Bedeutung des Integrals 362
8. Die Höldersche Ungleichung 365
9. Integration mittels eines Zufallsgenerators 368
§6. Der Zusammenhang zwischen Differential und Integralrechnung 371
1. Hilfssätze 371
2. Hauptsätze 374
3. Unbestimmte Integrale 377
4. Monotone Funktionen 378
5. Die historische, intuitive Art der Beweise im Zusammen¬
hang mit der Differential und Integralrechnung 379
6. Differentiale auf einem Intervall 380
§7. Vertauschbarkeit partieller Ableitungen 386
5.Kapitel: Die elementartranszendenten Funktionen 388
§ 1. Gliedweise Differentiation und Integration 388
1. Differenzieren und Integrieren von Polynomfunktionen 388
2. Gliedweises Differenzieren und Integrieren von Potenzreihen 389
3. Gliedweises Differenzieren und Integrieren von Funktionenfolgen 395
§2. Die Exponentialfunktion, der Logarithmus und die Binomialreihe im Reellen 399
1. Die Exponentialfunktion 399
2. Der natürliche Logarithmus 404
3. Potenzen und Logarithmen 405
4. Mathematische Anwendungen der Logarithmen 410
5. Reihenentwicklungen für den natürlichen Logarithmus 413
6. Logarithmisches Differenzieren 414
7. Der Dekadische Logarithmus 415
8. Der Rechenschieber 417
9. Der Logarithmus dualis 418
10. Der Logarithmus in der Zinseszinsrechnung 418
11. Einfach und doppelt logarithmische Papiere zur Darstellung von Funktionen 419
12. DerGraphvon exp(ax + ß) 421
13. Das Gesetz von Weber und Fechner 422
14. Bei und Dezibel in der Physik 422
15. Logarithmische Maße in Wissenschaft und Technik 423
16. Logarithmus und Zahlendarstellungen 425
17. Homöopathische Dosen 427
18. Die binomische Reihe 428
§3. Die Winkelfunktionen 433
1. Winkel 433
2. Winkelmaße 436
3. Sinus und Cosinus 442
4. Gerade und ungerade Funktionen 443
INHALTSVERZEICHNIS XV
5. Kurvendiskussion der Graphen von Sinus und Cosinus und die Zahl n 446
6. Spezielle Winkelmaße 450
7. Elementargeometrische Konstruktion des Kurvenverlaufs 452
§4. Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen 453
1. Der Hauptsatz über die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen 453
2. Arcus sinus und Arcus cosinus ( = zyklometrische Funktionen) 455
3. Auflösen trigonometrischer Gleichungen 458
4. Physikalische Interpretationen 460
5. Die ebenen Polarkoordinaten 460
6. Die Interpretation der komplexen Zahlen als Drehstreckungen 462
§5. Tangens und Arcus tangens 465
1. Tangens 465
2. Arcus tangens 466
3. Die Arcus tangens Reihe 469
4. Die Zurückfiihrung von Aresin und Are cos auf atn 469
5. Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten 470
6. Formeln für den Arcus tangens 472
7. Numerische Berechnung von Arcus tangens und n 475
8. Winkel zwischen zwei Halbstrahlen 477
§6. Formern für die Winkelfunktionen 481
1. Historische Begriffe 481
2. Winkelfunktion nach Umkehrfunktion und Umrechnung einer
Winkelfunktion in eine andere 481
3. Differentiation von Aresin und Are cos 483
4. Umkehrfunktion nach Winkelfunktion 484
5. Summenformeln 484
6. Doppelte Winkel, Halbwinkelformeln und Quadrate der Winkelfunktionen 485
7. Rationale Darstellung von sin (2x), cos (2x), tan (2x) durch tan(x) 487
8. Inverse Addiüonstheoreme 487
9. Cosinus und Sinus spezieller Winkelmaßzahlen 490
§7. Schwebungen und Modulationen 491
§8. Folgen und Reihen im Komplexen 493
1. Die komplexen Zahlen 493
2. Konvergenz und Stetigkeit im Komplexen 499
3. Rechnen mit konvergenten Folgen im Komplexen 502
4. Das Unendliche bei den komplexen Zahlen 503
5. Stetigkeit im Komplexen 506
6. Potenzreihen im Komplexen 510
§9. Die elementartranszendenten Funktionen im Komplexen 516
1. Die Exponentialfunktion im Komplexen 516
2. Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahlen 517
3. Geometrische Konstruktion des Kehrwertes einer komplexen Zahl 519
4. Die komplexe Exponentialfunktion als Homomorphismus 520
5. Der komplexe Logarithmus 520
XVI INHALTSVERZEICHNIS
6. Potenzen komplexer Zahlen 522
7. Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion, trigonometrischen
Funktionen und Hyperbelfunktionen 527
8. Die Additionstheoreme im Komplexen 527
9. Die Nullstellen des Cosinus im Komplexen 530
10. Der Tangens und Arcus tangens im Komplexen 531
11. Der Tangens hyperbolicus 532
12. Komplexe Linearkombinationen von Sinus und Cosinus 532
13. Die Hyperbelfunktionen im Reellen 533
14. Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen und ihre Ableitungen im
Reellen 535
15. Die Formeln von Moivre und deren Umkehrung 537
16. Die Namensgebung Arcus und Area bei den Umkehrfunktionen der
trigonometrischen Funktionen und der Hyperbelfunktionen 539
§10. Polynomfunktionen 541
1. Der Divisionsalgorithmus 541
2. Der Hauptsatz der Algebra 544
3. Eingrenzung der Nullstellen von Polynomfunktionen 551
4. Bestimmung der Nullstellen von Polynomfunktionen 551
§11. Das Aufsuchen von Stammfunktionen 553
1. Integraltafeln 553
2. Partielle Integration 554
3. Substitutionsregel 555
4. Integration rationaler Funktionen f(x) = p(x)/q(x), Partialbruchzerlegung 562
5. Aufsuchen einer Stammfunktion durch Potenzreihenentwicklung 565
§12. Differentiationsarithmetik 567
1. Berechnung der ersten Ableitung mit Hilfe der Differentiationsarithmetik 567
2. Berechnung der höheren Ableitungen mit Hilfe der Differentiationsarithmetik 570
ö.Kapitel: Elementare Anwendungen der Differential und Integralrechnung 574
§ 1. Wege und Kurven im Rn 574
1. Sprachgebrauch 574
2. Physikalische und geometrische Vorstellungen, die mit einem Weg
verbunden sind 576
A. Dynamische Auffassung einer Kurve 576
B. Zeichnerische Darstellung von Wegen 577
(a) Risse 578
(ß) Drehungen des Weges 578
(y) Wahl des Sehstrahles 579
(8) Zentralprojektionen eines Weges 580
(e) Stereobilder 580
C. Statische Auffassung eines Weges 581
3. Gleichungssysteme und Parametrisierungen 582
A. Aufsuchen eines Gleichungssystems für das Bild eines Weges 582
INHALTSVERZEICHNIS XVII
B. Aufsuchen einer Parametrisierung für die Lösungsmenge eines
Gleichungssystems 583
4. Weitere Beispiele für Wege 584
5. Umparametrisierungen 587
6. Geschwindigkeit und Beschleunigung auf Wegen im Rn 588
7. Kurven ohne Knick 589
8. Schnittwinkel zwischen Kurven 591
9. Tangential und Zentripetalbeschleunigung 592
10. Die Bogenlänge 595
11. Die Deutung des mathematischen Winkelmaßes als Bogenlänge 601
12. Die Bogenlänge der Ellipse und elliptische Integrale 601
13. Berechnung der Ableitungen einer Funktion aus einer Parametrisierung ihres
Graphen 605
14. Der Schmiegkreis 606
15. Die Parametrisierung nach der Bogenlänge 608
16. Die Scheitelkrümmungsmittelpunkte der Ellipse 613
17. Die Evolute der Ellipse 615
§2. Die einfachen Differentialgleichungen 616
1. Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung 617
2. Die Differentialgleichungen der Bewegungsaufgaben 619
A. Grundaufgabe 1: y (x) = f(x) 619
B. Grundaufgabe 2: y (x) = f(x) 621
(et) Gleichförmige Bewegung 622
(ß) Gleichförmig beschleunigte Bewegung 622
C. Grundaufgabe 3: y (t) = *(y(t)) 623
( x) Reguläre Punkte 624
(ß) Singuläre Punkte 632
D. Grundaufgabe 4: y (t) = tt(y(t)) 636
Differentialgleichung des mathematischen Pendels 637
E. Grundaufgabe 5: y (t) = a*(y (t)) 638
3. Nichtautonome Differentialgleichungen erster Ordnung 639
4. Trennung der Variablen 640
5. Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 642
A. Die Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums 642
B. Die Schwingungsgleichung 646
6. Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 654
A. Die inhomogene Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums 655
B. Die inhomogene Schwingungsgleichung 657
7. Die Lösungsmenge einer linearen inhomogenen Differentialgleichung
mit konstanten Koeffizienten 659
A. Die Lösungsmenge der Differentialgleichung des exponentiellen
Wachsums 659
B. Die Lösungsmenge der Schwingungsgleichung 661
8. Resonanz 662
§3. Interpolation und Approximation 665
1. Die Interpolationsformel von Lagrange 665
2. Differenzen, Steigungen und das Newtonsche Interpolationspolynom 668
A. Differenzen 668
XVIII INHALTSVERZEICHNIS
B. Das Newtonsche Interpolationspolynom 671
3. Satz von Henrici 672
4. Splines 673
A. Idee des Splines 674
B. Die Berechnung von Splines 3. Ordnung 677
5. Approximation durch Bemsteinpolynome 682
6. Bezierkurven 686
7. Interpolation von Drehungen (= Winkeln) 689
8. Approximation im quadratischen Mittel 691
9. Fourierreihen 693
10. Approximationseigenschaften der trigonometrischen Summen 695
11. Spezielle Formen von Fourierreihen 700
A. Cosinus und Sinusreihen 700
B. Fourierreihen im Komplexen 702
12. Gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen 704
§4. Numerische Differentiation, Integration und Konvergenzbeschleunigung 708
1. Numerisches Differenzieren 708
2. Numerische Integration 711
A. Die Keplersche Faßregel 711
B. Die Simpsonregel 712
C. Quadraturformeln von Gauß 712
D. Das Rombergschema 714
3. Konvergenzbeschleunigung 717
A. Folgen, welche wie (l/n)P konvergieren 717
B. Linear konvergente Folgen 720
C. Die Eulersche Methode für alternierende Reihen 723
7.Kapitel: Erweiterung der Differentialrechnung 724
§ 1. Die Mittelwertsätze der Differential und Integralrechnung 724
1. Der Satz von Rolle und der erste Mittelwertsatz der Differentialrechnung 724
2. Der Satz von Lochs 725
3. Der erweiterte Mittelwertsatz der Differentialrechunung 728
4. Die Integralform des erweiterten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung 729
5. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung 730
6. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Integralrechnung 730
§2. Die Taylorformel 732
1. Das Restglied nach Bemoulli 733
2. Das Restglied nach Schlömilch 733
3. Das Restglied nach Cauchy 734
4. Das Restglied nach Lagrange 7 34
5. Die Taylorsche Formel und der Taylorsche Satz 735
6. Anwendungen der Taylorformel 737
§3. Taylorpolynome und abgebrochene Potenzreihenentwicklungen 740
1. n fache Differenzierbarkeit von durch Tenne beschriebenen Funktionen 740
2. Berührung von Funktionen und Taylorpolynome 742
INHALTSVERZEICHNIS XIX
3. Jets 746
4. Das Rechnen mit Potenzreihen 753
5. Potenzreihenentwicklungen im Unendlichen 757
6. Fallstudien 75g
7. Das Taylorpolynom als Grenzwert von Interpolationspolynomen 759
§4. Unbestimmte Formen und die Regel von de 1 Hospital 762
1. Die Regeln von de 1 Hospital 762
2. Berechnung unbestimmter Formen durch Rechnen mit Potenzreihen 769
§5. Die Untersuchung einer Funktion mit Hilfe ihrer Ableitungen 770
1. Monotone Funktionen 770
2. Konvexe und konkave Funktionen 770
3. Relative Maxima und Minima 776
4. Absolute Maxima und Minima 781
5. Wendepunkte 782
6. Diskussion rationaler Funktionen 785
§6. Die Konvergenz des Newtonschen Verfahrens 788
S.Kapitel: Erweiterung der Integralrechnung 792
§ 1. Erweiterung des Integralbegriffs auf stückweise stetige Funktionen 792
§2. Uneigentliche Integrale 796
1. Konvergenz von uneigentlichen Integralen 796
2. Partielles Integrieren beim uneigentlichen Integral 802
3. Absolute Konvergenz beim uneigentlichen Integral 803
4. Die Eulersche Zahl C 805
§3. Parameter im Integranden eines Integrals 807
1. Hilfsmittel 807
2. Parameter in eigentlichen Integralen 808
3. Ableitung nach dem Parameter in eigentlichen Integralen 810
4. Vertauschung der Integraüonsreihenfolge beim eigentlichen Integral 812
5. Ableitung nach dem Parameter und den Grenzen eines Integrals 813
6. Parameter in uneigentlichen Integralen 815
7. Vertauschung der Integrationsreihenfolge beim uneigentlichen Integral 818
8. Ableitung nach dem Parameter in uneigentlichen Integralen 819
9. Laplace Transformierte und Dirichletsches Integral 820
§4. Höhere transzendente Funktionen . 824
1. Die Gammafunktion 824
2. Das Gaußsche Fehlerintegral 827
3. Der Integralsinus 830
§5. C ~ Funktionen, Glättungen 831
1. Beispiel für eine CM Funktion, welche reell analytisch ist 831
2. Beispiele für nicht reell analytische CS~) Funktionen 831
3. Konstruktion von CW Funktionen für Glättungszwecke 833
4. Glättungen 835
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