Die nichteuklidischen Geometrien und ihre Beziehungen untereinander:
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München
Oldenbourg
1957
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| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
Erster Teil
Die beiden nichteuklidischen Geometrien
Seite
1. Kapitel. Der Raum der Anschauung 13
§ 1. Historische Entwicklung 13
§ 2. Die drei möglichen Formen der Ebene 17
§ 3. Das Parallelenaxioni in den drei Ebenen 21
§ 4. Die hyperbolischen Strahlenbüschel 24
§ 5. Das Krümmungsmaß und die Flächen konstanter Krümmung 29
§ 6. Funktionsgleichung der bstandslinie 32
§ 7. Funktionsgleichung für die Sektoren 36
2. Kapitel. Sphärisch-elliptische Geometrie 39
5 8. Der Sphärische Kosinussatz 39
§ 9. Sphärische Fundamentalkonstruktion und polares Fünfeck 41
§ 10. Gerade im sphärischen Raum, Cliffordsche Parallele 44
§ 11. Der sphärisch-elliptische Raum 47
3. K ap i t el. D i e Fund amen tal kons truktion der
hyperbolischenEbene 49
§ 12. Die bleitung der Lobacevskijschen Gleichungen 49
§ 13. Verallgemeinerung der Lobacevskijschen Konstruktion 51
§ 14. Die Bedeutung der Lobacevskijschen Gleichungen 55
4.Kapitel. Die hyperbolische Trigonometrie 58
§ 15. Reelle und imaginäre Zuordnung der Winkel und Strecken 58
3 16. Eigenschaften des Grenzkreisbogens 59
§ 17. Sinusverhältnis von Kathete und Hypotenuse 61
§ 18. Die Funktion sin f (/i) = sin H 62
§ 19. Lobacevskijsche und trigonometrische Gleichungen 65
§ 20. Komplementäre Figuren
5.Kapitel. Von imaginären Polen und Polaren 73
§ 21. Rechtwinkeliges Dreieck und Spitzeck 73
§ 22. Randbild der hyperbolischen Ebene 76
INH ALTSVER ZEIGHNIS
Seite
§ 23. Die projektive Maßbestimmung 78
§ 24. Ableitung neuer Gleichungen aus bekannten 80
§ 25. Rückblick 83
Zweiter Teil
Zuordnung zwischen den Räumen konstanter Krümmung
6. Kapitel. Rechtwinklige Figuren 86
§ 26. Die Gleichung cos a • ch a = 1 86
§ 27. Der Coparallelwinkel P (a) 87
§ 28. Die zugeordneten Geraden- und Punkträume 91
§ 29. Die zugeordneten rechtwinkligen Dreiecke 93
§ 30. Die zugeordneten dreirechtwinkligen Vierecke 94
§ 31. Die zugeordneten Fünfeckskomplexe 96
§ 32. Die Cliffordschen und die Bolyaischen Parallelen im konstruk¬
tiven Zusammenhang 100
§ 33. Die Zuordnung auf der Grenzkugel 101
7. Kapitel. Das schiefwinklige Dreieck 104
§ 34. Konstruktive Zuordnung 104
§ 35. Die zugeordneten rechtwinkligen Tetraeder 106
§ 36. Ableitung der Zuordnung von Dreiecken dvrch Rechnung 109
§ 37. Geschichtliches zu den komplementären Figuren 111
8. Kapitel. Andere zugeordnete Figuren und KörperH3
§ 38. Der Pentagrammkomplex als Teil der Kugel 113
§ 39. Das allgemeine Dreieck und seine Fünfecke 116
§ 40. Die zugeordneten Quader und Pyramiden 120
9. Kapitel. Die Zuordnung der regulären Polygone 126
§ 41. Eine andere Konstruktion der Zuordnung (Tafel I und II) 126
§ 42. Einfache reguläre Polygone 127
§ 43. Sternpolygone 129
§ 44. Polygone mit überparallelen Seiten 131
§ 45. Polare Polygone 135
§ 46. Die maximalen Polygone 143
§ 47. Grenzkreispolygone 144
§ 48. Der Fall n = 2 147
§ 49. Die Polygone der regulären Flächennetze 149
§ 50. Die ÜberdeckungdersphärischenEbenedurchreguläreNetze 151
INH ALTSVER ZEICHNIS
Seite
§ 51. Halbreguläre und reguläre sphärische Netze 154
§ 52. Die Netzpolygone der hyperbolischen Ebene 155
§ 53. Die Netzpolygone und das pentagramma mirificum 157
10. Kapitel. Die Zuordnung der regulären Polyeder 160
§ 54. Die Polygonnetze und die Polyeder 160
§ 55. Die Polyeder in den einzelnen Räumen (Tafel III) 162
§ 56. Zuordnung mit Hilfe der Kantenkugel (Tafel IV, V) 165
§ 57. Die Kantenkugel sin r=shr = r=l 169
§ 58. Zerlegung der Räume in rechtwinklige reguläre Polyeder 174
§ 59. Die Grenzkugelpolyeder 176
§ 60. Dieder und Prisma 182
§ 61. Polyeder mit parallelen und überparallelen Kanten 184
§ 62. Die einfachsten Polygone bei wachsendem Inkreis 189
Dritter Teil
Abbildungen
11. Kap itel. Konforme Abbildung der beiden
nichteuklidischen Räume aufeinander 194
§ 63. Die Abbildungsgleichungen in der Ebene 194
§ 64. Verwandtschaft mit der Kleinschen Abbildung 196
§ 65. Gemeinsame Gleichung der Zyklen 199
§ 66. Abbildung der Zyklen 202
§ 67. Die dreidimensionale Abbildung 205
§ 68. Abbildung im (n + l)-dimensionalen Raum 208
12. Kapitel. Konforme Abbildung auf die Grenz kugel
§ 69. Die Abbildungsgleichungen 212
§ 70. Bilder der Geraden auf die Grenzkugel 214
13. Kap itel. Die gnomonische Projektion 219
§ 71. Vergleich mit der konformen Abbildung 219
§ 72. Abbildung der Zyklen auf die Grenzkugel 222
§ 73. Übergang zu den andren Räumen 223
§ 74. Abstandszylinder und Ciiffordsche Fläche 225
§ 75. Schlußbetrachtungen 228
Anhang 232
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