Die Neue Mathematik für Lehrer und Studenten: 1,1 Mengen, Zahlen, Relationen, Topologie
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| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Hannover ; Berlin ; Darmstadt ; Dortmund
Hermann Schroedel Verlag
1976
|
| Ausgabe: | 4. Aufl. |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 311 S. |
Internformat
MARC
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Vorwort 5
Liste der mathematischen Zeichen 10
Formelübersicht 12
1. Der Begriff der Menge und seine Verwendung im Unterricht 21
1.1. Der Begriff der Menge 21
1.1.1. Definition des Begriffs Menge (21); 1.1.2. Beispiele von Mengen aus der Um¬
welt (21); 1.1.3. Mögliche Mißverständnisse (22); 1.1.4. Die Variationsbreite der Bei¬
spiele (22); 1.1.5. Die leere Menge (23); 1.1.6. Die Unterschiedenheit der Elemente
(23); 1.1.7. Die Verschiedenheit von Mengen (24); 1.1.8. Die Elementbeziehung (24);
1.1.9. Mengen als Elemente einer Menge (24); 1.1.10.* Endliche und unendliche
Mengen (25); Aufgaben 1.1. (25)
1.2. Die Verwendung des Mengenbegriffs im Mathematikunterricht 26
1.2.1. Die Merkmalklötze (auch strukturiertes Material genannt) (26); 1.2.2. Kringel¬
mengen, Plättchenmengen (27); 1.2.3. Kindermengen, Mengen von Gegenständen aus
der Umwelt (27); 1.2.4. Zahlenmengen (28); 1.2.5. Teilermengen (28); 1.2.6. Vielfachen¬
mengen (28); 1.2.7. Geometrische Figuren als Mengen von Punkten der Ebene (29);
1.2.8. Die früher sog. geometrischen Örter (30); 1.2.9. Lösungsmengen von Glei¬
chungen (30); 1.2.10. Lösungsmengen von Ungleichungen (31); 1.2.11. Mengen von
Abbildungen (31); 1.2.12. Mengen von Figuren (32); 1.2.13. Stichprobenmengen (32);
1.2.14. Intervalle (33); Aufgaben 1.2. (34)
1.3. Die beiden Verfahren zur Vorgabe einer Menge 35
1.3.1. Einleitung (35); 1.3.2. Das aufzählende Verfahren (35); 1.3.3. Der Begriff
Grundmenge (36); 1.3.4. Das beschreibende Verfahren (36); 1.3.5. Die symbolische
Form des beschreibenden Verfahrens (37); 1.3.6. Die Vorgabe von Mengen aus der
Grundmenge der Merkmalklötze (38); Aufgaben 1.3. (39)
1.4. Teilmengen 40
1.4.1. Definition der Teilmengenbeziehung (40); 1.4.2. Venndiagramme (40); 1.4.3.
Teilmengen bei den Merkmalklötzen (41); 1.4.4. Auffassungsschwierigkeiten bei der
Teilmengenbeziehung bei Mengen von Dingen (41); 1.4.5. Die Teilmengenbeziehung
im ganzheitlichen Rechnen (42); 1.4.6. Die Teilmengenbeziehung bei Zahlenmengen
(43); 1.4.7. Die Transitivität der Teilmengenbeziehung (43); 1.4.8. Teilmengenbe¬
ziehungen im „Haus der Vierecke (44); 1.4.9. Teilmengenbeziehung bei einer geome¬
trischen Figur (44); 1.4.10. Echte und unechte Teilmengen einer Menge (44); Aufgaben
1.4. (45)
1.5. Didaktische Hinweise (Warum Mengenbegriffe im Mathematikunterricht?) ... 45
1.5.1. Warum Mengenbegriffe im ersten Schuljahr? (45); 1.5.2. Mengenbegriffe fördern
das Verständnis (46); 1.5.3. Mengenbegriffe vermitteln Überblicke (46); 1.5.4. Die
Mengenbegriffe als Bestandteil einer mathematischen Fachsprache (46); 1.5.5. Mengen¬
begriffe als Grundlage für das Verständnis weiterer Begriffe (47); 1.5.6. Wie sollte man
Mengenbegriffe nach dem 4. Schuljahr behandeln ? (47)
14 Inhaltsübersicht
2. Menge und Zahl 48
2.1. Die Gleichmächtigkeit von Mengen 48
2.1.1. Paarweise Zuordnung der Elemente von Mengen (48); 2.1.2. Definition der
paarweisen Zuordnung (48); 2.1.3. Die Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen
(49); 2.1.4. Das konkrete Herstellen einer paarweisen Zuordnung (49); 2.1.5. Natürlich
gegebene paarweise Zuordnungen in der Umwelt (50); 2.1.6. Paarweise Zuordnung
zwischen den Elementen einer Menge und einer Mengenmenge (51); 2.1.7.* Die
Gleichmächtigkeit von IN zu % (52); 2.1.8.* IN gleichmächtig zu Q 0 (53); 2.1.9.*
IN gleichmächtig zu Q (53); 2.1.10.* N nicht gleichmächtig zu K. (53); 2.1.11.* Die
Gleichmächtigkeit von IR mit einem offenen Intervall ]a, b[ (Abb. 54.1) (54); 2.1.12.*
Die Gleichmächtigkeit als Äquivalenzrelation (55); 2.1.13.* Endlich und unendlich
(56); 2.1.14.* Der Bernsteinsche Äquivalenzsatz (56); Aufgaben 2.1. (56)
2.2. Die Definition der Zahlen 57
2.2.1. Die Definition der Farben als Hinführung zur Definition der Zahlen (57); 2.2.2.
Die Definition der Kardinalzahl einer Menge (58); 2.2.3. Mengen mit den Kardinal¬
zahlen 1 bis 4 (59); 2.2.4. Das Schichtenbild, Repräsentanten und Zahlen (59); 2.2.5.
Symbole zur Bezeichnung der Kardinalzahl einer Menge (60); 2.2.6. Der Abstraktions¬
prozeß zur Zahl (60); 2.2.7. Die Zahlen als selbständige Individuen (61); 2.2.8. Die
natürlichen Zahlen als Kardinalzahlen nichtleerer endlicher Mengen (61); 2.2.9. Die
Zahl 0 (61); 2.2.10. Fehlerhafte und richtige Ausdrucksweisen (62); 2.2.11. Die tradi¬
tionellen Ausdrücke Zahlbild und Mal (62); 2.2.12.* Die Kardinalzahlen unendlicher
Mengen (63); 2.2.13.* Die mengentheoretische Definition des Kardinalzahlbegriffes
(63); Aufgaben 2.2. (63)
2.3. Die Kleinerbeziehung und die Größerbeziehung zwischen natürlichen Zahlen . . 64
2.3.1. Die Grundvorstellung, die zu diesen Beziehungen gehört (64); 2.3.2. Die Rela¬
tionen ... hat mehr Elemente als ... und ... hat weniger Elemente als ... (65); 2.3.3.
Zum Gebrauch der Wörter „mehr und „weniger (65); 2.3.4. Die Transitivität der
Beziehungen ... hat weniger Elemente als ... und ... hat mehr Elemente als ... (66);
2.3.5. Verträglichkeiten mit der Gleichmächtigkeitsbeziehung (67); 2.3.6. Genau eine
der drei Beziehungen gilt (69); 2.3.7. Die Definition von a b und a b für natür¬
liche Zahlen (69); 2.3.8. Transitivität und Linearität von a b (70); 2.3.9. Weitere
Sätze für a b (70); 2.3.10. Hinweise auf die Anwendung der Kleiner- und Größer¬
beziehung zwischen natürlichen Zahlen in der Wirklichkeit (71); Aufgaben 2.3. (72)
2.4. Die Nachfolgerbeziehung bei Zahlen 73
2.4.1. Die Relationen ... hat ein Element mehr als ..., ... hat ein Element weniger
als ... (73); 2.4.2. Verträglichkeiten mit der Gleichmächtigkeitsrelation (74); 2.4.3.
Nachfolger und Vorgänger bei natürlichen Zahlen (75); 2.4.4. Spiele zur Nachfolger¬
bildung nach Grew und Dienes (77); 2.4.5. Ein weiteres Spiel zur Nachfolgerbildung
(78); Aufgaben 2.4. (78)
2.5. Didaktische Überlegungen zum ersten Schuljahr 79
2.5.1. Eine grundsätzliche Bemerkung zur Einführung der Zahlen, Zahlbeziehungen
und Zahlverknüpfungen (79); 2.5.2. Zur Einführung der Zahlen (80); 2.5.3. Zur Ein-
Inhaltsübersicht 15
führung der Kleiner- und Größerbeziehung zwischen Zahlen (80); 2.5.4. Pränumeri¬
scher und numerischer Kurs im ersten Schuljahr (81); 2.5.5. Das Prinzip der Variation
(81)
3. Namen von Gegenständen, Mengen und Zahlen 82
3.1. Die Unterscheidung Name, Bild, Gegenstand 82
3.1.1. Beispiele (82); 3.1.2. Eigenschaften von Gegenständen, Namen und Bildern (82);
3.1.3. Zum Gebrauch des Gleichheitszeichens (82); 3.1.4. Namen von Zahlen (83);
3.1.5. Namen von Mengen (83); 3.1.6. Gleichheitszeichen zwischen Bildern (84);
Aufgaben 3.1. (84)
3.2. Die verschiedenen Positionssysteme zur Bezeichnung der Zahlen 85
3.2.1. Verschiedene Arten von Zahlwörtern (85); 3.2.2. Die Alphabete verschiedener
Positionssysteme und ihre Zahlwörter (86); 3.2.3. Das sogenannte verbale Zählen (86);
3.2.4. Die Gesetzmäßigkeiten der Nachfolgerbildung bei Zahlwörtern (87); 3.2.5.
Warum begreifen viele Menschen die verschiedenen Positionssysteme nicht? (88);
Aufgaben 3.2. (88)
3.3. Die Zuordnung des Zahlnamens zur Zahl 89
3.3.1. Problemstellung (89); 3.3.2. Das Bilden des Nachfolgers bei Zahlen und Zahlen¬
namen (89); 3.3.3. Das quantifizierende Zählen mit Grundzahlwörtern (90); 3.3.4. Das
Bündelungsverfahren (91); 3.3.5. Die Begründung des Bündelungsverfahrens (93);
3.3.6. Spiele zum Bündelungsverfahren nach Z. P. Dienes (94); 3.3.7. Das Zählen mit
den Ordnungszahlwörtern (95); 3.3.8. Die Namengebung der Zahlen im ganzheitlichen
Rechenunterricht (95); 3.3.9. Die Bestimmung der Zahleigenschaft für Mengen mit mehr
als 10 Elementen im ganzheitlichen Rechenunterricht (96); 3.3.10. Die Übersetzung
eines Zahlwortes in ein anderes Ziffernsystem (96); 3.3.11. Die Übersetzung eines
Zahlwortes in das Zehnersystem (98); 3.3.12. Die Übersetzung eines Zahlwortes des
Dezimalsystems in ein anderes System (98); 3.3.13. Die Wortendung „-mal bei der
Bezeichnung der Kardinalzahl einer Menge von Vorgängen (100); Aufgaben 3.3. (100)
3.4. Zur Didaktik der Behandlung der Stellenwertsysteme im Unterricht 101
3.4.1. Die Bedeutung des Zehnersystems (101); 3.4.2. Warum werden auch andere
Positionssysteme unterrichtet? (101); 3.4.3. Die Auffassung von Z. P. Dienes (102);
3.4.4. Die Situation in der Bundesrepublik im Jahre 1970 (102); 3.4.5. Die Unterschei¬
dung Gegenstand, Name, Bild (103); 3.4.6. Die Einführung der Positionssysteme, falls
man das Zehnersystem schon kennt (103); 3.4.7. Die Einführung der Positionssysteme,
falls man das Zehnersystem noch nicht kennt (104); 3.4.8. Weitere Hilfen bei der Ein¬
führung der Positionssysteme (105); 3.4.9. Zählen und Zahlbegriffsbildung (107);
Aufgaben 3.4. (108)
4. Durchschnitt, Vereinigung, Komplement, Restmenge 110
4.1. Der Durchschnitt von Mengen 110
4.1.1. Ein einführendes Beispiel (110); 4.1.2. Ein zweites Beispiel (110); 4.1.3. Venn-
diagramme (111); 4.1.4. Definition des Durchschnitts (111); 4.1.5. Weitere Beispiele
16 Inhaltsübersicht
(111); 4.1.6. Das logische „und (112); 4.1.7. Das Straßenkreuzungsspiel (Abb. 112.1)
(112); 4.1.8. Karnaughdiagramm (113); 4.1.9. Torspiele (113); 4.1.10. Menge ge¬
meinsamer Teiler (114); 4.1.11. Menge gemeinsamer Vielfacher (114); 4.1.12. Der
Durchschnitt in der Geometrie (114); 4.1.13. Durchschnitte von Figurenmengen (115);
4.1.14. Elementfremde oder disjunkte Mengen (115); 4.1.15. Durchschnitt bei Teil¬
mengen (115); 4.1.16. Der Durchschnitt von drei und mehr Mengen (115); 4.1.17.
Schnittmengen in Gleichungen mit Mengenbildern (116); Aufgaben 4.1. (116)
4.2. Die Vereinigungsmenge 117
4.2.1. Venndiagramm (117); 4.2.2. Definition der Vereinigungsmenge (118); 4.2.3.
Beispiele zur Vereinigung von Mengen (118); 4.2.4. Das logische „oder (118); 4.2.5.
Das Straßenkreuzungsspiel (Abb. 119.2) (119); 4.2.6. Karnaughdiagramm (Abb. 119.3)
(119); 4.2.7. Torspiel (119); 4.2.8. Tätigkeiten, Vorgänge und Sachverhalte, die zur
Vereinigungsmenge führen (120); 4.2.9. Die Analyse der Beispiele (120); 4.2.10. Die
Vereinigung von mehr als zwei Mengen (121); 4.2.11. Die Vereinigungsmenge in einer
Gleichung mit Mengenbildern (122); Aufgaben 4.2. (122)
4.3. Das Komplement einer Menge 123
4.3.1. Venndiagramm (Abb. 123.1) (123); 4.3.2. Definition des Komplements einer
Menge (123); 4.3.3. Straßenkreuzungsspiel und Karnaughdiagramm (124); 4.3.4.
Torspiel (124); Aufgaben 4.3. (125)
4.4. Die Restmenge (mengentheoretische Differenz) 125
4.4.1. Venndiagramm (Abb. 125.1) (125); 4.4.2. Definition der Restmenge (125); 4.4.3.
Straßenkreuzungsspiel und Karnaughdiagramm (Abb. 126.1 und 126.2) (126); 4.4.4.
Torspiel (126); 4.4.5. Tätigkeiten, Vorgänge und Sachverhalte, die auf die Restmenge
führen (126); 4.4.6. Analyse der Beispiele (127); 4.4.7. Die Restmenge in einer Glei¬
chung mit Mengenbildern (127); Aufgaben 4.4. (127)
4.5. Zur Didaktik der logischen Schulung in der Grundschule 128
4.5.1. Gründe für die Einführung von Durchschnitt, Vereinigung, Komplement und
Restmenge (128); 4.5.2. Die Merkmalklötze, Schulung der Kombinationsfähigkeit
(129); 4.5.3. Spiele zur Schulung des „nicht (-.) (130); 4.5.4. Spiele zur Schulung des
„und ( A ) (131); 4.5.5. Spiele zur Schulung des „oder ( v ) (131); 4.5.6. Regelspiele
nach H. Freund (132); 4.5.7. Verzicht auf logische Schulung? (132); 4.5.8. Warum
kann man mit den Kringelmengen des ganzheitlichen Unterrichts keine logische
Schulung betreiben? (132); Aufgaben 4.5. (133)
4.6. Mengenalgebra 134
4.6.1. Die de Morganschen Regeln (134); 4.6.2. Die Bedeutung der de Morganschen
Regeln für die Logik (134); 4.6.3. Die Distributivgesetze (134); 4.6.4. Beweis von
Formeln durch Mitgliedstabellen (135); 4.6.5. Empirischer Nachweis der Distributiv¬
gesetze durch Torspiele (137); 4.6.6. Empirischer Nachweis der de Morganschen Regeln
durch Torspiele (138); 4.6.7. Weitere Formeln (138); 4.6.8. Mengenalgebra (139);
4.6.9. Beziehungen zwischen Mengenalgebra und Logik (139); 4.6.10. Die Ungültigkeit
gewisser Formeln (140); Aufgaben 4.6. (140)
Inhaltsübersicht 17
5. Addition und Subtraktion 142
5.1. Die Addition 142
5.1.1. Die bisherige Situation (142); 5.1.2. Die mit der Addition verknüpfte Grund¬
vorstellung (142); 5.1.3. Ein wichtiger Satz für disjunkte Mengen (142); 5.1.4. Die
Definition der Addition zweier Zahlen (143); 5.1.5. Die Unabhängigkeit der Definition
1 von der Wahl der Repräsentanten (144); 5.1.6. Die Formulierung der Beziehung der
Addition zur Realität (144); 5.1.7. Reine Zahlenaufgaben zur Addition; Standardnamen
von Zahlen (145); 5.1.8. Anwendungen der Addition (145); 5.1.9. Bemerkungen zum
Fortschritt der Didaktik der Mathematik (146); 5.1.10. Nachfolgerbildung und Addi¬
tion von 1 (147); 5.1.11. Addition mehrerer Summanden (147); 5.1.12. Wo steckt der
Fehler?(148); 5.1.13. Situationsskizzen zur Addition (148); 5.1.14.* Addition bei unend¬
lichen Kardinalzahlen (149); Aufgaben 5.1. (149)
5.2. Die Subtraktion natürlicher Zahlen 150
5.2.1. Die Grundvorstellung der Subtraktion (150); 5.2.2. Ein wichtiger Satz für end¬
liche Mengen (151); 5.2.3. Die Definition der Subtraktion (152); 5.2.4. Die Anwendung
der Subtraktion (153); 5.2.5. Bemerkungen zum Fortschritt in der Didaktik der Mathe¬
matik (153); 5.2.6. Einige schwierigere Anwendungen der Subtraktion (154); 5.2.7.
Reine Zahlenaufgaben zur Subtraktion (155); 5.2.8.* Warum kann man keine Sub¬
traktion für unendliche Kardinalzahlen definieren? (155); Aufgaben 5.2. (156)
5.3. Eigenschaften der Addition und Subtraktion 157
5.3.1. Die bisherige Situation unserer Überlegungen (157); 5.3.2. Zusammenhang
zwischen Addition und Subtraktion (157); 5.3.3. Der Beweis der Sätze (158); 5.3.4. Das
Kommutativgesetz der Addition (159); 5.3.5. Tauschaufgaben bei der Subtraktion
(160); 5.3.6. Das gegenläufige Verändern von Summanden (161); 5.3.7. Das Zurück¬
führen auf eine Nachbaraufgabe. Das Assoziativgesetz (162); 5.3.8. Das gleichsinnige
Verändern der Glieder einer Differenz (163); 5.3.9. Zurückführen einer Subtraktions¬
aufgabe auf eine Nachbaraufgabe (164); 5.3.10. Subtraktion mehrerer Glieder (165);
5.3.11. Monotoniegesetze (166); 5.3.12. Monotoniegesetz der Subtraktion (167); 5.3.13.
Die Addition führt zu größeren Zahlen (168); 5.3.14. Zusammenhang zwischen Addition
und der Kleinerbeziehung (168); 5.3.15. Rückblick auf die Beweise dieses Kapitels 5.3.
(169); Aufgaben 5.3. (170)
5.4. Strukturelle Betrachtungen zur Nachfolgerbeziehung 171
5.4.1. Nachfolger und Addition der Zahl 1 (171); 5.4.2. Die wiederholte Nachfolger¬
bildung (171); 5.4.3. Addition und wiederholte Nachfolgerbildung (171); 5.4.4. Nach¬
folger von Zahlen und Zahlwörtern (172); 5.4.5. Die Bedeutung der Isomorphie
zwischen Zahlen und Zahlwörtern für das Rechnen (173); 5.4.6. Weitere Mengen mit
Nachfolgerrelation, welche den Zahlen isomorph sind (174); 5.4.7. Die Bedeutung der
Beispiele (176); 5.4.8. Die Peanoaxiome (177); 5.4.9. Die Subtraktion als Vorgänger¬
bildung (177); Aufgaben 5.4. (177)
5.5. Zur Didaktik der Zahlverknüpfungen 179
5.5.1. Eine grundsätzliche Entscheidung (179); 5.5.2. Was heißt Zahlbegriff? (180);
5.5.3. Soll man die Beziehungen zwischen den Zahlen sofort im Unterricht mitbehan¬
deln? (180); 5.5.4. Was ist Rechnen? (181); 5.5.5. Arten des Rechnens (181); 5.5.6. Ist
18 Inhaltsübersicht
Rechnen überflüssig geworden? (182); 5.5.7. Der eiserne Grundbestand an Aufgaben,
deren Lösungen spontan angegeben werden können. (183); 5.5.8. Zurückführen auf
andere Aufgaben (183); 5.5.9. Das didaktische Problem der Terme (184); 5.5.10. Wie
liest man +, —und = ? (184); 5.5.11. Über die Begriffe „Hinzufügen , „Zerlegen ,
„Ergänzen (184); Aufgaben 5.5. (185)
6. Multiplikation und Division 186
6.1. Multiplikation 186
6.1.1. Beispiele zur Hinführung auf die Grundvorstellung, die zur Multiplikation ge¬
hört (186); 6.1.2. Mengen gleichmächtiger Mengen (187); 6.1.3. Definition der Multi¬
plikation von Zahlen (187); 6.1.4. Zusammenhang mit der Addition (188); 6.1.5. An¬
wendungen der Multiplikation (189); 6.1.6. Eine weitere Analyse der Beispiele von
6.1.1. (190); 6.1.7.* Berechnungen bei unendlichen Mengen (190); Aufgaben 6.1. (192)
6.2. Eigenschaften der Multiplikation im Bereich der natürlichen Zahlen 193
6.2.1. Das Kommutativgesetz a ¦ b = b ¦ a (193); 6.2.2. (2a) ¦ b = 2(a ¦ b) (194);
6.2.3. Das Assoziativgesetz der Multiplikation (195); 6.2.4. Das Distributivgesetz (196);
6.2.5. Ein Distributivgesetz bezüglich der Subtraktion (197); 6.2.6. Weitere Distributiv¬
gesetze (197); 6.2.7. Null als Faktor in einem Produkt (198); 6.2.8. 1 als neutrales Ele¬
ment der Multiplikation (198); 6.2.9. Die didaktische Bedeutung der Überlegungen
dieses Abschnittes 6.2. (198); 6.2.10. Rechnen im Bereich der Multiplikation (199);
6.2.11. Das Einmaleins eines Positionssystems (200); 6.2.12. Die Beziehung der Multi¬
plikation zur Nachfolgerbildung (201); Aufgaben 6.2. (202)
6.3. Multiplikation und Cartesisches Produkt 203
6.3.1. Einführendes Beispiel (203); 6.3.2. Definition des Cartesischen Produktes zweier
Mengen (203); 6.3.3. Weitere Beispiele zum Cartesischen Produkt (204); 6.3.4. Zu¬
sammenhang zwischen dem Cartesischen Produkt und der Multiplikation (205);
6.3.5. Die Bedeutung von Satz 9 (206); 6.3.6. Einführung der Multiplikation mit Hilfe
des Cartesischen Produktes in der Schule? (206); 6.3.7. Einfache Beispiele zum Carte¬
sischen Produkt für die Grundschule (207); 6.3.8.* Der Beweis des Kommutativge-
setzes der Multiplikation (208); 6.3.9.* Der Beweis des Assoziativgesetzes (a ¦ b) ¦ c
= a ¦ (b ¦ c) (208); 6.3.10.* Der Beweis des Distributivgesetzes a(b + c) = ab + ac
(209); 6.3.11. Ein für den Unterricht geeigneter Beweis des Distributivgesetzes (209);
6.3.12.* Der Beweis des Distributivgesetzes a(b — c) = ab — ac (210); 6.3.13. Schlu߬
bemerkung (210); Aufgaben 6.3. (210)
6.4. Aufteilen (Einteilen) 212
6.4.1. Was ist Aufteilen? (212); 6.4.2. Aufbauen einer Menge aus gleichmächtigen
Mengen (Enthaltensein) (213); 6.4.3. Die Zerlegungsrelation (213); 6.4.4. Die Anzahl
der Teilmengen einer Aufteilzerlegung (214); 6.4.5. Zusammenhang mit der Multipli¬
kation (214); 6.4.6. Zusammenhang mit Addition und Subtraktion (214); 6.4.7. „Auf¬
teilen oder „Einteilen ? (215); Aufgaben 6.4. (215)
6.5. Verteilen (Teilen) 216
6.5.1. Verteilen als Tätigkeit mit Mengen (216); 6.5.2. Die dem Verteilen zugrunde
liegende mathematische Relation (217); 6.5.3. Zusammenhang mit der Multiplikation
(217); Aufgaben 6.5. (218)
Inhaltsübersicht 19
6.6. Division 218
6.6.1. Die Gleichungen a ¦ D = b und D ¦ a = b (218); 6.6.2. Die Problematik des
Divisionszeichens (219); 6.6.3. Die mit der Division verbundenen Vorstellungen (220);
6.6.4. Eigene Zeichen für Aufteilen und Verteilen? (220); 6.6.5. Was ist Rechnen im
Bereich der Division? (221); 6.6.6. Der Beweis der Gesetze zur Division (221); Auf¬
gaben 6.6. (222)
7. Relationen 224
7.1. Die Beschreibung einer Relation durch einen sprachlichen Ausdruck
(eine Aussageform) 224
7.1.1. Die bisherige Situation (224); 7.1.2. Zusammenstellung der bisherigen zwei¬
stelligen Relationen (224); 7.1.3. Bisher vorgekommene dreistellige Relationen (224);
7.1.4. Bisher vorgekommene vierstellige Relationen (225); 7.1.5. Analyse der Beispiele
(225); 7.1.6. Variable (226); 7.1.7. Grundmengen für die Variablen (227); 7.1.8. Aus¬
sagen und Aussageformen (228); 7.1.9. Terme (229); 7.1.10. Gleichungen, Unglei¬
chungen (230); 7.1.11. Beschreibung einer Relation durch Aussageformen; Relations¬
vorschriften (230); 7.1.12. Aussageformen mit einer Variablen (231); 7.1.13. Erfüllungs¬
mengen (Lösungsmengen) von Aussageformen (232); 7.1.14. Die Bedeutung der Re¬
lationen (232); Aufgaben 7.1. (233)
7.2. Pfeildiagramm (Pfeilzeichnung), Tabellenschema, Graph 234
7.2.1. Beispiele aus dem ersten Schuljahr (234); 7.2.2. Weitere Beispiele (235); 7.2.3.
Was sind Pfeildiagramme? (236); 7.2.4. Das Tabellenschema (237); 7.2.5. Der Graph
einer Relation (238); Aufgaben 7.2. (239)
7.3. Äquivalenzrelationen 241
7.3.1. Überblick über die folgenden Abschnitte (241); 7.3.2. Die Transitivität (241);
7.3.3. Die Symmetrie (242); 7.3.4. Die Reflexivität (243); 7.3.5. Äquivalenzrelationen
(244); 7.3.6. Klasseneinteilungen oder Zerlegungen (245); 7.3.7. Die Definition durch
Abstraktion (247); Aufgaben 7.3. (247)
7.4. Strenge, lineare und identitive Ordnungsrelationen 249
7.4.1. Einführende Beispiele (249); 7.4.2. Strenge Ordnungen (249); 7.4.3. Lineare
Ordnungen (250); 7.4.4. Identitive Ordnungsrelationen (251); 7.4.5. Hassediagramme
(253); 7.4.6. Anwendungen der Hassediagramme im Unterricht (254); 7.4.7. Beispiele
für die lexikographischen Ordnungen (257); 7.4.8. Baumdiagramm zur lexikographi¬
schen Ordnung (259); 7.4.9. Die Definition der lexikographischen Ordnung (260);
7.4.10. Die didaktische Bedeutung der lexikographischen Ordnung (261); 7.4.11. Die
Übertragung der Ordnungsrelation von der Menge der natürlichen Zahlen auf eine
andere Menge (262); 7.4.12. Die ordinale Verwendung der natürlichen Zahlen, Nume¬
rieren (262); Aufgaben 7.4. (263)
7.5. Operatoren, Funktionen, Abbildungen 264
7.5.1. Drei Wörter mit derselben Bedeutung (264); 7.5.2. Beispiele (264); 7.5.3. Die
Definition des Begriffs Operator (Funktion, Abbildung) (265); 7.5.4. Maschinen zur
Konkretisierung von Operatoren (266); 7.5.5. Zustand-Operator-Zustand-Spiele (267);
7.5.6. Der didaktische Wert der Maschinenspiele (268); 7.5.7. Operatoren (Funktionen)
20 Inhaltsübersicht
als rechtseindeutige Relationen (268); 7.5.8. Das Tabellenschema eines Operators (269);
7.5.9. Der Graph einer Funktion (270); 7.5.10. Neue Schreibweise bei Funktionen, die
einen Graphen haben (270); 7.5.11. Geometrische Abbildungen (270); Aufgaben 7.5.
(271)
7.6. Verknüpfungen 272
7.6.1. Beispiele (270); 7.6.2. Die Definition der Verknüpfung (273); 7.6.3. Zu Ver¬
knüpfungen passende Maschinen (274); 7.6.4. Die Verwendung der Maschinen zur
Verdeutlichung einiger Gesetze (275); 7.6.5. Verknüpfungen als Relationen (276);
7.6.6. Verknüpfungstafeln (276); 7.6.7. Die Hintereinanderschaltung von Deackabbil-
dungen einer Figur (277); Aufgaben 7.6. (278)
7.7. Die Definition des Begriffs der Relation 279
7.7.1. Hinführung zur Definition (279); 7.7.2. Vom Tabellenschema zur Definition (280);
7.7.3. Die Eigenschaften der Relationen in neuer Formulierung (281); 7.7.4. Die Kom¬
plementärrelation (281); 7.7.5. Die Kehrrelation einer Relation (282); 7.7.6. Umkehrung
von Funktionen (283); 7.7.7. Die Definition einer dreistelligen Relation (285); Auf¬
gaben 7.7. (285)
8. Einige Begriffe und Probleme aus der Topologie 287
8.1. Was ist Topologie? 287
8.1.1. Hinführung zur Erklärung (287); 8.1.2. Die Definition von „topologisch (287);
8.1.3. Topologische Begriffe werden vom Kinde eher gebildet (290); 8.1.4. Warum
topologische Begriffe zu Beginn des ersten Schuljahres? (290); Aufgaben 8.1. (291)
8.2. Topologische Probleme 292
8.2.1. Das Vierfarbenproblem (292); 8.2.2. Was sind topologische Probleme? (292);
8.2.3. Abwandlungen des Vierfarbenproblems (292); 8.2.4. Verformung von Buch¬
staben (293); 8.2.5. Brückenprobleme (293); Aufgaben 8.2. (294)
9. Eine didaktische Schlußbemerkung 296
9.1. Zur Einordnung des Buches in die Didaktik der Mathematik 296
9.2. Neue schulpädagogische Methoden 296
9.3. Ein Plan für das erste Schuljahr 297
9.4. Rechenfertigkeit und Rechenfähigkeit 299
9.5. Verinnerlichte Handlungen und Operationen und ihre Bedeutung für die Didaktik
der Mathematik 300
Anhang*
1.* Endliche und unendliche Mengen 301
2.* Die Eigenschaften der Nachfolgerbeziehung für Kardinalzahlen nichtleerer
endlicher Mengen 302
3.* Die Peanoaxiome 304
4.* Der Bernsteinsche Äquivalenzsatz 305
5.* Die logischen Junktoren 306
Register 307
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