Ausführliches Lehrbuch der höhern Mathematik: mit besonderer Rücksicht auf die Zwecke des practischen Lebens 3 Die Differentialrechnung nebst ihrer Anwendung auf Gegenstände der höhern Analysis und Geometrie ... : mit fünf Kupfertafeln
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wien
Gerold
1833
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Volltext // Exemplar mit der Signatur: Bamberg, Staatsbibliothek -- AGB P 2(3 Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Bayerische Staatsbibliothek -- Math.p. 61 m-3 Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Bayerische Staatsbibliothek -- Math.p. 61 n-3 Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Deutsches Museum -- 1934 A 331 (3 Inhaltsverzeichnis |
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|---|---|
| adam_text | In hall des dritten Bandes-
rf
Erster Abschnitt.
Die Differentialrechnung.
Erstes Capitel,
Von der Differentiation der Functionen einer Variablen,
Seite
JLjr.lilärung......................................... . . . 3
Differentiale der vorzüglichsten Functionen einer Variablen 4
Schema, welche« die Hegeln für die ersten Differentiale der
Haupt - Functionen enthalt...................................
Uebungsbcispiele (von 1 bis i5)......................i3
Die hohem Differentiale................................18
.Beispiele (von 1 bis 6)............................. 19
Entwicklung der hßlicrn Differentiale, wenn dabei dx selbst
wieder veränderlich ist .......... 21
Beispiel............................................24
Zweites Capitel.
Ableitung des Taylor sehen, Maclaar in sehen und
Lagrange sehen Lehrsatzes.
Das Taylor’sehe Theorem............................. ։5
Beispiele (von 1 bis 2)........................... 29
Anwendung des Taylor sehen Satzes auf die Entwicklung der
Functionen in unendliche Reiben..................3o
Beispiele (von ։ bis 4)...............................—
Fälle, in welchen die Taylor sehe Formel nicht anwendbar ist 3z
Beispiele (von 1 bis 3)................................... —
» (von 1 bis 3).............................. 34
Die flfaclaurin’sche Formel .............................. . 38
Beispiele (von 1 bis 4) ...... ..........................39
» (von 1 bis 3) · . ............................... 4
Lagrange’s Umkehrungsformel....................................43
Beispiele (von t bis 2).................................. 4b
Drittes Capitel.
Von der Differentiation der Functionen mehrerer
Variablen. Die partiellen Differentiale. Das Tajrlor1-
sche Theorem auf zwei veränderliche Gröfscn ausge-
dehnt. Eulers Lehrsatz über die homogenen Functionen.
Seite
Vollständiges und partielles Differential von u — f(x, y) . 49
Beispiele (von i bi^ S)................................. 5i
Ueber die höliern Differentiale der Functionen mehrerer
Variablen.............................................62
Das Tuylor’sehe Theorem ausgedehnt auf Functionen von
zw ei Variablen.......................................55
Anmerhung.
Anwendung dieses erweiterten Satzes auf die Entwick-
lung solcher Functionen in unendliche Reihen,
sammt Beispiel ................................57
Entwicklung des durch die Gleichung
/ / dm+nU
d x™ dyn) dyn d x ‘)
ausgesprochenen Satzes , sammt Beispiel .... 58
Bedingungsglcickung, welche bestehen mufs, wenn Pdx Qdy
das vollständige Differential einer Function f (x, y)
scyn soll, sammt Beispiel............................62
Euler s Lehrsatz über die h omo gen en Functionen ... 63
Beispiel.................................................65
Viertes Capitel.
Von der Differentiation der Gleichungen mit zwei
oder mehreren veränderlichen Gröfscn.
Bestimmung des Differentialquotientcn •yy, wenn y=f(w)
und w r= (¡ (x) ist . ..............................
Beispiel..................................................
Anmerkung.
Yd u / d u
Bestimmung der Quotienten und ^ ¿ ~y ։ wenn
u = ƒ [x, y, p (x, ^y)] ist, sammt Beispiel . . .
dy d-y
Bestimmung der Quotienten -yy , u· s· w-, wenn
y = f(w) und x = t( (w) ist . ............
67
69
7®
A
Seit«
. . dv
Bestimmung des Differentialquotienten -rjj^ aus der Gleichung
f(x,y)=io, wenn y eine Function von « ist, sainmt
Beispiel........................ ........ 73
. d y d?y
Fernerder hohem Dmerentialquotienten ¿xz u s.w·
sammt Beispiel..................... .............74
Entwicklung von du aus der Gleichung u=f(x, y, z) = o,
wenn z eine Function von x und y ist.............77
Ableitung der Differentialgleichungen, welche von den in der
ursprünglichen Gleichung verkommenden constan-
ten Gröt scn u n a b Ii ä n g i g sind........78
Fünftes Capitcl.
Anwendung und Gebrauch der Differentialrechnung in
der Analysis.
I. Bestimmung der wahren Werthe gebrochener Func-
tionen , welche unter der Form £ erscheinen . . 8i
Beispiele (von 1 bis ö).............................85
Leber die Vcrfahrungsart, wenn der 5ull machende Factor
irrational ist . . . . ....................87
Bestimmung der unter der Formerscheinenden Brucli-
functionen , sammt Beispiel......................89
Bestimmung des Productes zweier Functionen von der Form
o. OO, sammt Beispiel ....................... 90
Bestimmung der unter der Gestalt OO — OO vorhommendeu
Differenz zweier Functionen , sammt Beispiel ... 9։
II. Bestimmung der gröfsten und kleinsten
Werthe der Functionen.
A) Für Functionen einer Variablen.
Erklärung...............................................93
Entwicklung einer bequemen Regel zur Bestimmung der
gröfsten und kleinsten Werthe einer Function
y = ƒ (* ..........................................93
Beispiele (von t bis i5)...............................99
Aufgaben über die Lehre des Maximums und Minimums (von
■ bis 15), sainmt Auflösungen.....................109
B) Für Functionen zweier Variablen.
Entwicklung der hierzu nüthigen Regeln..................i3i
Aufgaben hierüber (von 1 bis 5), sammt deren Auflösungen i36
«
VIII
Stiitø
An m erk u n g.
Anwendung der Differentialrechnung zur Hcrleitung
summirbarer Reihen..............................i43
Beispiele hierüber (von i bis 4)...................»44
Sechstes Capitel.
Anwendung der Differentialrechnung auf die Theorie
der ebenen Curven oder krummen Linien von ein-
facher Krümmung.
Methode der Tangenten...................................147
Ausdrücke für die Tangente,, Subtangente, Normale und
Subnormale..................................... 149
Beispiel...............................................—
Gleichungen der Tangente und Normale....................i5o
Beispiel ............................................ —
Das Differential des Bogens einer Curve und der von dieser
bogrenzten Fläche.............................. i5i
Das Differential des Curvensectors................ . . ։53
Beispiel .......................................... . i55
Von den Asymptoten der Curven...................■—
Beispiele (von ) bis 2)............................. i5j
Kennzeichen für die Conve%ität und Concavität der
Curven 159
Beispiele (von ։ bis 2) . 161
Von den berühren den Curven .......................16a
Beispiele (von 1 bis a) .... 166
K rüm in u n g s k r e i s .........................169
Beispiel (.Entwicklung dos Krümmungshalbmessers für die
Linien zweiter Ordnung) ........... 172
Von den Evoluten der krummen Linien.............174
Beispiele (von 1 bis 2) . , ....................... 178
Anmerkung.
fJeber das Verfahren, um aus der gegebenen Gleichung
der Evolute jene der Evolvente zu finden . . . 181
Von den b esonder n Puncten der Curven.
Erklärung .............................181
A) Die gröfsten und kleinsten Ordinaten ... 183
Erläuterung durch ein Beispiel...................... ։85
B) Die Wendungs- oder Flexionspuncte . , , 187
Beispiele (von 1 bis 4) .... 189
d
Seite
— IX
C) Die Rü ckk e hr p un c t e oder Spitzen .... 191
Beispiele (von 1 bis 3).....................193
D) Die vielfachen Puncte .................196
Beispiele (von 1 bis 4) . ............ . , 199
Anmerkung.
Die Spitzen als vielfache Puncte betrachtet, sammt
Beispiel...............................2o3
E) Die conjugirten oder beigeordneten Puncte 204
Beispiele (von 1 bis 9)................... . so5
Anmerkung;.
Beispiele über die Lesondern Puncte zur Sclbstübung 306
Siebentes Capitel.
Uebertragung mehrerer im Vorhergehenden entwickel-
ten Ausdrücke auf Polarcurven.
Erklärung...................................... 207
Ausdrücke für die Subtangente, Subnormale ctc.; Element
des Bogens , der Fläche; Krümmungshalbmesser . . 209
Formeln, um von Polarcoordinaten auf reclitwin·
kelige Coordinatcn zurück zu gehen.............
Achtes Capitel.
Anwendung der bisher entwickelten Sätze auf einige
transcendente Curven.
Die Cycloidc oder Radlinie ......... 2։3
Anmerkung.
Ableitung der allgemeinen Gleichung, in welcher die
gemeine, gedehnte und verkürzte Cy-
cloidc enthalten ist .....................319
Kote über die Trochoide. . . . , , . , , . . 230
Die Epicycloide............................ . . 221
Die Cardioide..................................223
Anmerkung.
Die Kreis-Evolvente.......................225
Die Hypocycloide...............................226
Anmerkung.
lieber den besondern Fall, wenn der Durchmesser des
Erzeugungskreises gleich ist dem Halbmesser des
Grundkreises..............................
Die 1 ogari t h jnisehe Linie . , ........... . 228
Seite
Von den Spirallinien............................ . . · 23o
a) Die Archimedische Spirale.................—
b) Die hyperbolische Spirale. . .. , . . ■ · 233
c) Die parabolischeSpirale.............................*34
d) Die 1 o g ar i t h m*i scbeSpiralc . · . . · · · 236
A n m c r h u n g e n.
I. Dolilinien . . . . 239
Beispiel............................................. 240
II. Die V eoi do oder Spinnlinie f . . . . » . . 241
III. Die Cissoide (des Dioldes)....................... *4*
(Note.) Verfahren, um mittelst dieser Curve zwischen
zwei gegebenen Linien , zwei mittlere geometrische
oder stetige Proportionallinien zu coustruiren . 243
IV. Die Cohchoidc oder Muschellinie . . . . . 244
V. Die Lemniscata......................................247
VI. Die Quadratrix........................................24B
Neuntes Capitel.
Anwendung der Differentialrechnung auf die Theorie
der krummen Flächen und Curvcn von doppelter
Krümmung.
Betrachtung über die Art und Weise, wie man von irgend
einem Puuet der Fläche zu einem folgenden fortgelien
bann..........................................249
Bedingungsgleichung für die Continuität der Fläche . . 25o
Die Linie des stärksten Falles......................*32
Beispiele (von 1 bis 2)...........................253
Berührungen der brummen Flächen.....................284
lierii hrungsebene..................................2З6
Beispiel........................................ 258
Die Normale . . .................................259
Von den В e r ü li r u n g s b u g е 1 ..............260
Von der Krümmung der Flächen . . . *.............262
Beispiel .........................................260
In jedem Punete einer brummen Fläche können zwei, und
auch nur zwei Krüijnniungsliinen gezogen werden;
diese stehen auf einander p е rp e n d i b ul är . . . 267
Bestimmung der Krümmungshalbmesser dieser beiden Linien 269
Dieser ist für die eine Krümmungslinie ein Maximum und für
die andere ein Minimum (in der Note)...........270
Seite
Von den gröfsten und. kleinsten Ordinaten der
Flächen................................· . 27։
Beispiel........................................
Die Curven von doppelter Krümmung.............. . 274
Dcveloppable Flächen..............................277
Bestimmung der beiden Krümmungen einer Curve von dop-
pelter Krümmung.............................280
Ausdruck für den Krümmungshalbmesser einer Curve
von doppelter Krümmung.................... 283
Beispiel........................................——
Die Evoluten einer Gurvc von doppelter Krümmung . . 284
Anmerkung.
Die loxodrömische Linie.....................286
Zweiter Abschnitt.
Die Integralrechnung.
Einleitung........................29։
Erstes Capitel.
Von der Integration der algebraischen Differential-,
und zwar A) der rationalen und B) der irratio-
nalen Functionen einer Variablen, oder Bestim-
mung des Integrals fX d x.
J) Bestimmung des Integrals fXdx, wenn X eine ra-
tionale Function von x ist.
n) Für ganze Functionen
Beispiele (von 1 bis 8) ·
b) Für gebrochene Functionen . , . ♦ · - · . · . 3oo
p dx
Bestimmung des Integrals J fl -J- b x2
i p dx
* . * s J a --- bx՝2·
Weitere Beispiele (von 1 Bis 3) mit der Entwicklung des In-
xm d x
XII
Bestimmung des Integrals r dx Seit«
f 0 -f ßx -f yxz .....3o8
P xdx • · · ·՛ · 3 i 0
s , » j } X֊ -Hx- -yxZ *
B) Bestimmung des Integrals fXdxt wenn X eine ir-
rationale Function von x ist.
i , P dx p dx
Bestimmung der Integrale I -.7—r-,—— und I —-------;—— .
J + Jyjya-bx-)
ƒ dx p dx
^(.a-f-ßx + yx*) J xVi + x+ßx+f*2)
Beispiele (von 1 bis 4)................................
31ethoden, um den irrationalen Diffcrentialausdrucli Xdx
rational zu machen, wenn X heine andere Irratio-
nalgröfse als jene ,V(« + ß-ry a?*) enthält . . . .
Beispiele (von 1 bis 3).............................
p dx
Bestimmung des Integrals I 7----;-----:...................
0 J Vta + ^Jt lxZ)
Die Integration der Differentialgleichung der Bcttenlinic
Bestimmung des Integrals $Xdx, wenn X den Bruch
(i b x _ p
■ , , ,7“ zur Potenz enthält.......................
U -J- U X (f
Ai։i
3i5
3 ■ 8
3ao
3a t
3s 2
3a3
Zweites Capitol.
Von der Integration der binomischen Differential-
formeln: xn d x (a -J- i x”1)’’·
Entwicklung zweier Fülle, in welchen sich der vorige Dille-
rentialausdruck ebenfalls genau integriren läfst . . . 3i5
Beispiele (von 1 bis 3) ,.........................3s6
Ileductionsförmeln für das Integral fxn dx (a֊ -b xm)p 3z8
Formel, welche die Regel des thcilw eisen Integrirens
enthält . . ..................................329
Reductions formet des vorigen Integrals, nach welcher
p vermindert (dabei aber 11 vergrüfsert) wird . . —·
Defsgl., nach welcher p vergrüfsert (dabei n vermin-
dert) wird ........................... —
Beispiele (von 1 bis 2)............................331
Keductionsformel des vorigen Integrals , mittelst welcher p
ungeändert bleibt, « aber vermindert wird . . . 333
Setto
XIII —
Bcductionsformel des vorigen Integrals, mittelst wclclier p
ungeändort bleibt, n aber vergröfsert wird . .
Beispiele (von i bis 4) · · . *........................
Beductionsformeln für das obige Integral, nach welchen
ohne Aenderung von n der Exponent p vermindert
oder vermehrt wird.................................
Beispiele (von i bis 2l.................................
Entwicklung des
O
» »
» der
ƒ xn d X
¡^7—^ ^r n~ ։’ 2 3, etc.
C dx
» I--------------—■ » »
J xn v f « — x )
_ , P xn dx f*
Integr-aie j und J-
xn V(.T։— ։)
Bestimmung der Integrale von der Form dx {aXr -J- bx*y
Beispiele (von i bis 2). Bestimmung der Integrale
xn dx C dx
L
und I —
—· 3f1) J xn V(2 o֊x — x՛1)
Beductionsformeln für einige besondere Fälle des Integrals
ƒ* + Y x՛1)1 sammt Beispiele............
Beductionsformeln für die Integrale fxn d x V(« -f* ß x -J- y x3)
, C_________£f_________
un J X» V(« + ß X + y x2)
Beispiele (von ։ bis ?.).................................
335
338
339
341
342
344
345
348
35o
351
Drittes Capitel.
Von der Integration einiger transcendenten DifTercn-
tialformeln.
A) Bestimmung des Integrals fX dx, wenn X logarithmische
oder Exponentialgröfsen enthält......................353
Beispiele (von j bis 3) über das Integral fX dx ln x . . 354
Entwicklung des Integrals fXa*dx, nebst Beispiele . . 356
B) Bestimmung des Integrals fXdx, wenn .XKreisfunctioücn
von x enthält.........................................358
Entwicklung der Integr.fsin.nx cos-mxdx, Jcos.nx cos.mx dx
und ƒsin. n x sin. m x d x . , .........................36o
Beispiele, um nach diesen Formeln die Integrale fsin.* x dx,
fcos.mx dx und fsin.n x cos.m x dx zu bestimmen . - 36։
Allgem, Beductionsformeln für das Integral fsin.n x cos.mx dx 36a
Beispiele (von 1 bis 3)................................. 368
Integration t r a n s c e n d e n t c r Diüerenüalformeln . . . 871
Scite
XIV s»-.
. i* dx
Be.sp.elo: J(a + 6coj.~.................■· ··■*
fXd X arc■ sin. X.........................
f.va cos. X dx, fxnsin.xdx, u. s. w. . .
372
՝ 374
3?3
Viertes Capitel.
Von der Integration mittelst Reihen und innerhalb be-
stimmter Grenzen; allgemeine Näherungsrnethode.
Das Integriren mittelst Reihen..................... . . 377
Beispiele (von j bis i3) ........................ 373
ƒ!dxV (1 —e2x՞) p dx
—Ti —77— u· I ~7~.-----77—I—71 385
✓(։—x·) J V Lvi—ar’-Xa+x)]
Die BernoullTsehe Reihe, samint Beispiel..............387
Taylors Vereinfachung beim Gebrauche dieser Reihe (A n m.) 388
Von der Integration innerhalb bestimmter Grenzen . 389
Beispiele über die bestimmten Integrale (von 1 bis3) . 3q3
Allgemeine Methode, ein Integral durch IV ä herung zu finden 396
Beispiel................................................
Fünftes Capitel.
Von der Integration der hohem Diffcrentialausdrüclie
Einer, und der Partialdifferentiale mehre-
rer Variablen,
d -y d~Y
Bestimmung des Integrals iy aus den Quotienten etc.
Reispiel...................................... . . -
Bestimmung der hohem Integrale f Xd x, f’Xdx,_____mit-
telst der theilweiscn Integrationsmethode_________
Beispiel...........................................
Integration der p a rtie 11 en Differentiale..........
Beispiele (von ։ bis 2)............................
Bedeutung des dreifachen Integrals fffv dx dy dz . .
/jo5
407
409
/¡11
4*3
t Sechstes Capitel.
Von der Integration der vollständigen, dann ho-
mogenen Differentiale zweier oder mehrerer Va-
riablen der ersten Ordnung.
Integration der V o 11 s t a ndi gen Differentialformeln , ։ 4,g
A ninerkung, ,
Ueber das Dilferentiireu unterm Integralzeichen . . 4
XY
Seite
Beispiele (von i bis a)........................ 4*°
Bestimmung der ursprünglichen Function aus dem Differen-
tial einer Function von drei Variablen . . . . ՛ . · 4*։
Beispiel...............................................4*3 ՝
Integration der homogenen Differentialansdrückc der er-
sten Ordnung...................................... . . . 4*4
Beispiele (von i bis a)......................; ■ ■ 4*c’
Siebentes G a p i L e 1.
Anwendung der bisher entwickelten Integralformeln
auf die Rectification und Quadratur der ebe-
nen Curven; Quadratur oder Complanation der
krummen Oberflächen und Cubatur der von sol-
chen Flächen begrenzten Körper.
■Rectification der Curven ....................... 4*7
Beispiele (von і bis n)........................... 4*8
(Quadratur der Curven............................ 4^9
Beispiele (von ։ bis 8)..........................44°
Complanation und Cubatur der durcli Umdrehung
erzeugten Flächen und Körper.................4®1
Beispiele (von і bis 3) ... -...................454
Quadratur und Cubatur der krummen Oberflä-
chen und Körper überhaupt.....................4®9
Beispiele (von 1 bis !i)..........................4^
Anmerkung in Bezug auf das bei der Rectification der
Ellipse gefundene Integral $dу v4 —e~ sin.՝1 und
der elliptischen Transcendenten . . . . 47°
Achtes Capitel.
Von der Integration der Differentialgleichun-
gen der ersten Ordnung zwischen zwei Variablen.
Anführung der Methoden, nach welchen man aus der Diffe-
rentialgleichung Mdx -]- Ndj = o die ursprüngliche
Gleichung oder Function findet.................47^
A) Von der Absonderung der veränderlichen Gröfsen . 476
Beispiele (von ։ bis 3)...........................—
Die Absonderung ist für homogene Differentialgleichungen
immer möglich .......................................477
Beispiele (von ։ bis 2)...................................478
Seite
— XVI
Absonderung der Variablen in der linearen Differential
gleiclmng dy -f- Py dx es Qdx . .....................479
Beispiele (von I bis ։)............... 4Ö°
Absonderung der Variablen in der Aiccaii sclien Differential-
gleichung . .......................... 48 t
Betrachtung jenes Falles, in welchem der Differentialgleichung
Xdx — Ydy eine algebraische Integralgleichung
entsprechen kann, obschon sich die Integrale fXd.r,
fY dy n i c h t algebraisch darstellen lassen ....
3) Aufsuchung des i nt egr i r e nd e n Fa c t o rs . . . . 4^4
Beispiele (von I bis a) ............ . 489
Bestimmung dieses Factors für homogene Differentialglei-
chungen ............................... ..... 491
Beispiel....................................... .... 49^
Anmerkung.
Anwendung der Integralrechnung zur Auffindung s um-
mirbarer Reihen, sammt Beispiele . . . . 4q^
Entwicklung der Euler s eben Summationsformel .... 497
Neuntes Capitel.
Von der Integration der Differentialgleichungen der f
ersten Ordnung, in welcher h ö here Potenzen von
dx und dy Vorkommen; dann von den besondern
oder particulären Auflösungen.
Allgemeine Intcgrationsmethode der Gleiclnjpg
dyn -J-Pdyn—՝ d X +... -f- Udy d x*~-1 -(- Vdxn =s o 499
Beispiel ................................................5oi
Besondere Fälle, in denen man das vorgetragene allgemeine
Verfahren umgehen kann, sammt erläuternden Bei-
spielen (von 1 bis 5).......................5o2
Von den besondern oder particulären Auflösungen Sog
Beispiele (von 1 bis 3) ...... ..........................5,5
Zweites erfahren, die besondern Auflösungen zu finden,
wenn das erstere unbrauchbar ist - . . . , . . , 517
Beispiele (von 1 bis 2) , . ................. . B19
— XVII —
Zehntes Capitcl.
Auflösung einiger geometrischen Aufgaben, welche auf
die Integration von Differentialgleichungen zwischen
zwei Variablen führen.
Aufgaben.
Seite
i. Die Curve finden, deren Subtangente eine gegebene
Function der Abscisse ist . ,....................5a։
Specielle Fälle a) und b) ......................... 5a2
2. Die Polarcurve finden, deren Subtangente gleich dem Leit-
strahle ist........................................ .—
3. Die Curve finden, bei welcher die Länge des Bogens AM,
vom tiefsten Punct A bis zu einem andern beliebigen
Punct M derselben, der trigonom. Tangente des Nei-
gungswinkels proportional ist, welchen die in M gezo-
gene Tangente mit der Ilorizontallinie bildet (Kcttcnlinie) 5a3
4. Die Curve finden, deren Krümmungshalbmesser sich wie
die {dritten Potenzen ihrer Normalen verhalten . . . 5*7
5. Die Curve finden, für welche in jedem Puncte der Krüm-
mungshalbmesser der entsprechenden Normale gleich ist 528
6. Die Curve finden , deren Krümmungshalbmesser eine be-
ständige Gröfse ist................................629
7. Die Trajectorie, d. h. jene Curve finden, welche ein Sy-
stem von, zu derselben Gattung gehöriger Curven
unter einem bestimmten Winkel schneidet............53o
a) Für ein System gerader Linien.................53*
b) Die orthogonalen Trajcctorien.................533
c) Die orthog. Traject. für ein System ähnlicher
Ellipse ..................................534
8, Die Brennlinie durch 7.urückwerfung, oder die Catacau-
stica zu finden..................... 535
a) Für den Kreis, wenn der strahlende Punct mit
dem Endpunct des Durchmessers zusammcnfallt 537
b) Für die Ellipse, wenn der strahlende Punct
mit dein einen Brennpunct zusammcnfallt . . 53p
c) Für die gemeine Parabel, wenn der strahlende
Punct im Brennpunct liegt ........ 54o
d) Wenn die einfallendcn Strahlen unter sich pa-
rallel sind................................—
dd) Beispiel für die gern. Parabel.................—
*
sa XVIII =
Anmerkung. Seite
Brennlinie für den Halbkreis und die Cyclo ide
bei parallel einfallenden Strahlen . ..541
A n h a ii g.
Die Elemente der Variationsrechnung.
Einleitung .............................................545
Untersuchung di;s Einflusses, welchen eine Variation in der
Relation y = f(x) auf das unbestimmte Integral ƒ Fdx hat 55o
Entwicklung von §ƒ£/, wenn Cf eine Function von x, y, dx,
dy, d2x, d2y, u. s. w. ist........................ 55y
Entwicklung von S fFdx, oder wenn U auf die Form F.dx
gebracht werden kann...............................55g
♦
Ueber die gröfsten und kleinsten Werthe der
unbestimmten Integralformeln.
A) Absolute Maxima und Minima......................562
Bedingungsgleichungen furs Maximum oder Minimum . . 566
Grenzengleichungen......................................568
Aufgaben.
1. Die kürzeste Linie zu finden, welche man a) zwischen
zwei gegebenen Puncten , und b) zwischen zwei gege-
benen, in einer Ebene liegenden Curven ziehen kann . 57a
2. Dasselbe Problem aufzulösen , wenn die vorigen Gröfscn
im Raume gegeben sind..............................577
Besondere Fälle a), b), c) , d), e)...................578
Beispiele zur Erläuterung des letzten Falles (von 1 bis 2) 680
3. Die ebene Curve finden, welche zwei gegebene Puncto ver-
bindend, durch Umdrehung um die Axe der x die
kleinste Oberfläche erzeugt........................583
4. Die Linie des schnellsten Falles (Brachistochrone)
zu finden................... ....................535
B) Relative Maxima und Minima . · . . . . . 689
5. Unter allen durch zwei gegebene Puncte gehenden gleich
langen (isoperimetrischen) Curven jene zu finden, welche
mit der Abscissenaxe und den beiden äufsersten Ordi-
naten die gröfste oder kl eins t e Fläche einschliefst 090
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