Einführung in die Zahlentheorie:
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Springer
1992
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Teilbarkeit 1
§ 1. Fundamentalsatz der Arithmetik 2
1. Natürliche und ganze Zahlen 2. Teiler 3. Primzahlen 4. Satz von
EUKLID 5. Der Fundamentalsatz der Arithmetik 6. Kanonische Prim¬
faktorzerlegung 7. Teileranzahl- und Teilersummenfunktion 8. Voll¬
kommene Zahlen 9. Irrationalität 10. Anmerkung zum Eindeutig¬
keitsbeweis
§ 2. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfa¬
ches 15
1. Größter gemeinsamer Teiler (ggT) 2. Divisionsalgorithmus 3. Zwei
Charakterisierungen des ggT 4. Idealtheoretische Deutung des ggT
5. Rechenregeln 6. Teilerfremdheit 7. Charakterisierung der Prim¬
zahlen 8. Nochmals: Eindeutigkeit im Fundamentalsatz 9. Euklidi¬
scher Algorithmus und ggT 10. Regelmäßiger Kettenbruch rationaler
Zahlen 11. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 12. Zusammen¬
hang zwischen ggT und kgV
§ 3. Lineare diophantische Gleichungen 27
1. Warum diophantisch ? 2. Lösbarkeitsbedingung 3. Der Fall
zweier Unbestimmten 4. Spezielle Lösung, numerisches Beispiel
5. Reduktion des allgemeinen Falls 6. Struktur der Lösungsgesamtheit
§ 4. Zahlentheoretische Funktionen 35
1. Einige Definitionen 2. Multiplikative und additive Funktionen
3. Produktdarstellung unendlicher Reihen 4. RlEMANNsche Zeta-
funktion 5. Zweimal EUKLIDS Satz 6. Faltung 7. Inverse bezüglich
X Inhaltsverzeichnis
Faltung 8. Die Gruppe der multiplikativen Funktionen 9. MÖBI-
USsche Müfunktion 10. Weitere spezielle multiplikative Funktionen
11. EuLERs Phifunktion und Verallgemeinerungen 12. Eine Aussage
im Mittel 13. Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit 14. Histori¬
sche Anmerkungen
§ 5. Teilbarkeit in Integritätsringen 53
1. Teiler, Einheiten, Assoziiertheit 2. Die Begriffe ggT und kgV
3. Unzerlegbare Elemente, Primelemente 4. Faktorielle Ringe
5. Hauptidealringe 6. Euklidische Ringe 7. Polynome 8. Polynom¬
ringe über Körpern 9. Polynomringe über faktoriellen Ringen
§ 6. Algebraische Zahlkörper, insbesondere quadratische . . 65
1. Algebraische Zahlen, Minimalpolynom 2. Konjugierte 3. Algebrai¬
sche Zahlkörper 4. Normen 5. Ganzheit 6. Quadratische Zahlkörper
7. Deren Ganzheitsring 8. Einheiten quadratischer Zahlringe 9. Eu¬
klidische quadratische Zahlringe 10. Primzahlen als Summe zweier
Quadrate 11. DEDEKINDs Beispiel
Kapitel 2. Kongruenzen 78
§ 1. Lineare Kongruenzen 79
1. Definition der Kongruenz, elementare Eigenschaften 2. FERMAT-
Zahlen 3. Kürzungsregel 4. Vollständige Restsysteme 5. Lineare Kon¬
gruenzen 6. Bruchschreibweise 7. Restklassenring 8. Prime Restklas¬
sengruppe 9. Historische Bemerkungen
§ 2. Simultane lineare Kongruenzen 88
1. Reduktion des Problems 2. Paarweise teilerfremde Moduln 3. An¬
wendungen, numerische Beispiele 4. Restklassenring als direkte Sum¬
me 5. Prime Restklassengruppe als direktes Produkt 6. Historische
Bemerkungen
§ 3. Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson 94
1. DlRICHLETs Schubfachprinzip 2. Kongruenzverhalten von Poten¬
zen 3. Der kleine FERMATsche Satz 4. Der EüLERsche Satz 5. Nu¬
merische Anwendungen 6. Zusammengesetzt oder Primzahl? 7. FER-
MAT-EULER und geheime Nachrichtenübermittlung 8. Satz von WIL¬
SON 9. Anwendung auf eine quadratische Kongruenz
Inhaltsverzeichnis XI
§ 4. Polynomiale Kongruenzen 104
1. Problemstellung 2. Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln 3. Über¬
legungen zur weiteren Reduktion 4. Reduktion auf Primzahlmoduln
5. Polynomkongruenzen bei Primzahlmoduln 6. Ein Beispiel
§ 5. Primitivwurzeln 109
1. Definition 2. Primitivwurzeln modulo Primzahlen 3. Tabellen für
Primitivwurzeln 4. Zu welchen Moduln sind Primitivwurzeln möglich?
5. Bestimmung aller Moduln mit Primitivwurzeln 6. Zweierpotenzen
als Moduln 7. Basisdarstellung
Kapitel 3. Potenzreste, insbesondere quadratische Reste . . . 121
§ 1. Indexrechnung und Potenzreste 121
1. Indizes 2. Ein Beispiel 3. n-te Potenzreste, quadratische Reste und
Nichtreste4. Kriterium für n-te Potenzreste 5. Folgerungen aus dem
Kriterium 6. n-te Potenzreste, Modulzerlegung in Primzahlpotenzen
§ 2. Quadratische Reste 127
1. Quadratische Kongruenzen und quadratische Reste 2. Kriterium
für quadratische Reste 3. Das LEGENDRE-Symbol 4. EULERs Kri¬
terium 5. GAUSSsches Lemma 6. Quadratisches Reziprozitätsgesetz,
Ergänzungssätze 7. Beweis des Reziprozitätsgesetzes 8. Ein nu¬
merisches Beispiel 9. Quadratische Nichtreste modulo Primzah¬
len 10. Primzahlen in arithmetischen Progressionen 11. Primfakto¬
ren von FERMAT-Zahlen 12. MERSENNE-Primzahlen 13. Historisches
zum Reziprozitätsgesetz
§ 3. Verteilung quadratischer Reste 147
1. Summen über gewisse LEGENDRE-Symbole 2. Paare sukzessiver
quadratischer Reste 3. Tripel sukzessiver quadratischer Reste 4. Ei¬
genschaften jACOBSTHALscher Summen
XII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4. Additive Probleme und diophantische Gleichungen 153
§ 1. Potenzsummen, insbesondere Quadratsummen .... 154
1. Primzahlen als Summe zweier Quadrate 2. THUEs Lemma 3. Na¬
türliche Zahlen als Summe zweier Quadrate 4. Natürliche Zahlen als
Summe von vier Quadraten: LAGRANGEs Satz 5. Nochmals Primzah¬
len als Summe zweier Quadrate 6. Summen dreier Quadrate 7. Wa-
RINGs Problem und HlLBERTs Satz 8. Anmerkungen über Darstel¬
lungsanzahlen
§ 2. Polynomiale diophantische Gleichungen 167
1. Pythagoräische Tripel 2. EUKLIDS Satz über pythagoräische Tri-
pel 3. Rationale Punkte auf Kurven zweiten Grades 4. Rationale
Punkte gewisser Kurven dritten Grades 5. Resultate von PoiNCARE,
MORDELL und FALTINGS 6. Pythagoräische Dreiecke quadratischer
Kathetenlängen 7. FERMATs Vermutung 8. Weitere Entwicklung des
FERMAT-Problems
§ 3. Die Pellsche Gleichung und Verwandtes 183
1. Problemstellung 2. Der DlRICHLETsche Approximationssatz 3. Un¬
endlich viele Lösungen der PELL-Gleichung 4. Lösungsstruktur der
PELL-Gleichung 5. Pythagoräische Dreiecke mit Kathetendifferenz
Eins 6. Einheiten reell-quadratischer Zahlkörper 7. Ganze Punkte
auf Kurven zweiten Grades 8. Anmerkungen dazu
Kapitel 5. Verschiedene Entwicklungen reeller Zahlen .... 199
§ 1. Die g—adische Entwicklung 199
1. Entwicklung natürlicher Zahlen 2. Teilbarkeitsregeln 3. Der gebro¬
chene Teil reeller Zahlen 4. Entwicklung reeller Zahlen 5. Entwick¬
lung rationaler Zahlen 6. Periodizitätseigenschaften der Ziffernfolge
7. Dezimalbruchentwicklungen 8. Rationale Zahlen mit gleichen Nen¬
nern 9. Eine Anwendung des Irrationalitätskriteriums 10. Existenz
transzendenter Zahlen 11. Dezimalbruchentwicklung und Dichtung
12. Historische Anmerkungen
Inhaltsverzeichnis XIII
§ 2. Die Cantorsche Entwicklung.Weitere Irrationalitätskriterien 215
1. Beschreibung der Entwicklung 2. CANTORsche Reihen und Irra¬
tionalität 3. Verwandte Irrationalitätskriterien 4. Anwendungen
§ 3. Die regelmäßige Kettenbruchentwicklung 221
1. Der Kettenbruchalgorithmus 2. Konvergenz unendlicher Ketten¬
brüche 3. Eindeutigkeit. Irrationalität 4. Periodische Kettenbrüche
5. Der Satz von Lagrange 6. Zur Minimallösung der PELLschen
Gleichung 7. Annäherung reeller Zahlen durch rationale 8. Beste
Näherungen 9. Anmerkungen dazu 10. Approximation algebraischer
Zahlen zweiten Grades durch rationale 11. Eine arithmetische Eigen¬
schaft von e2 k 12. Kettenbruchentwicklung von e
Kapitel 6. Transzendenz 241
§ 1. Entdeckung der Transzendenz 241
1. Historisches 2. Der LlOUVILLEsche Approximationssatz 3. Kon¬
struktion transzendenter Kettenbrüche 4. Transzendente 5-adische
Reihen
§ 2. Schärfere Approximationssätze 247
1. Der THUE-SlEGEL-RoTHsche Satz 2. Anwendungen auf Transzen¬
denz 3. THUE-Gleichung und ROTHS Verallgemeinerung 4. Reduk¬
tion auf den THUE-SlEGEL-ROTHschen Satz 5. Effektivitätsfragen
6. Schmidts Sätze über simultane Approximation
§ 3. Die Sätze von Hermite, Lindemann und Weierstraß . . 256
1. Historisches 2. Hauptergebnisse von HERMITE und LINDEMANN
3. Der Satz von LlNDEMANN-WEIERSTRASS 4. Zur Äquivalenz der
vier Versionen
§ 4. Die Methode von Hermite—Mahler 262
1. Vorbemerkungen 2. Ungleichungen für algebraische Zahlen 3. Kon¬
struktion geeigneter Exponentialpolynome 4. Eigenschaften dieser
XXV Inhaltsverzeichnis
Exponentialpolynome 5. Eine Determinantenbetrachtung 6. Gewin¬
nung einer nichtverschwindenden algebraischen Zahl 7. Untere Ab¬
schätzung 8. Obere Abschätzung 9. Parameterwahl 10. Historische
Anmerkung
§ 5. Der Satz von Gel fond-Schneider 270
1. HlLBERTs siebtes Problem 2. Ein Schubfachschluß 3. SlEGELsches
Lemma 4. Hilfsfunktiön für GEL FOND-SCHNEIDER 5. Gewinnung ei¬
ner zur Abschätzung geeigneten Zahl 6. Untere Abschätzung 7. Obere
Abschätzung 8. Parameterwahl 9. Ausblicke
Kapitel 7. Primzahlen 281
§ 1. Elementare Ergebnisse 281
1. Darstellung von Primzahlen durch Polynome 2. Exponentielle Fol¬
gen von Primzahlen 3. Große Lücken 4. Sieb des ERATOSTHENES,
Primzahltafeln 5. Anzahlfunktion 6. Primzahlzwillinge 7. Die GOLD-
BACH-Probleme
§ 2. Anzahlfunktion: Tchebychefs Sätze 292
1. Vermutungen von LEGENDRE und GAUSS 2. LEGENDREs Identität
3. Obere Abschätzung 4. Partielle Summation 5. Zwei asymptotische
Ergebnisse von MERTENS 6. Letzte Vorstufe des Primzahlsatzes
§ 3. Der Primzahlsatz 300
1. RlEMANNs Anstoß 2. Konvergenz einer Folge und Primzahlsatz
3. Die Reste der Zetareihe 4. Fortsetzung und Nullstellenfreiheit
der RlEMANNschen Zetafunktion 5. Über gewisse DlRICHLET-Reihen
6. Die Existenz des Grenzwerts 7. Anwendung des CAUCHY-Kri-
teriums 8. Konvergenzsatz 9. Mittelwert der MÖBIUS-Funktion
10. Funktionalgleichung der Zetafunktion 11. Pole und Nullstel¬
len der Zetafunktion 12. RlEMANNsche Vermutung 13. Schlußbemer¬
kungen
Literaturverzeichnis 323
Namen— und Sachverzeichnis 327
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