Linear-implizite Runge-Kutta-Methoden und ihre Anwendung:
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Teubner
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Inhaltsverzeichnis
KAPITEL 1. Theoretische Grundlagen für gewöhnliche
Differentialgleichungen
1.1. Existenz und Eindeutigkeitstheoreme für nichtsteife
Anfangswertprobleme 11
1.2. Sensitivität für nichtsteife Anfangswertprobleme 14
1.3. Stabilitätstheorie 16
1.3.1. Ljapunovsche und exponentielle Stabilität 16
1.3.2. Einseitige Lipschitz Bedingung und dissipative Sy¬
steme 22
1.3.3. Die logarithmische Matrixnorm 24
1.4. Ein Existenz und Eindeutigkeitstheorem für steife
Systeme 28
KAPITEL 2. Runge Kutta Ketboden
2.1. Einführung 30
2.2. Struktur der Runge Kutta Methoden 35
2.3. Zur Konsistenzordnung von Runge Kutta Methoden 37
2.4. Explizite Runge Kutta Methoden 39
2.4.1. Beispiele 39
2.4.2. Eingebettete Runge Kutta Methoden 42
2.5. Implizite Runge Kutta Methoden 46
2.5.1. Die vereinfachenden Bedingungen 46
2.5.2. Methoden der Ordnung 2s 48
2.5.3. Methoden der Ordnung 2s l und 2s 2 50
2.5.4. Kollokationsmethoden 55
2.5.5. Einfach diagonal implizite Runge Kutta Methoden 57
2.5.6. Einfach implizite Runge Kutta Methoden 59
2.6. Stetige Runge Kutta Methoden 65
2.7. Lineare und nichtlineare Stabilität von
Runge Kutta Methoden 70
2.7.1. A Stabilität 71
2.7.2. AN Stabilität 80
2.7.3. B und BN Stabilität 82
2.7.4. Stabilitätsgebiete expliziter Runge Kutta Methoden 88
2.8. Implementierung impliziter Runge Kutta Methoden 91
2.8.1. Lösung der nichtlinearen Gleichungssysteme 91
2.8.2. Konstruktion eingebetteter einfach impliziter
6
Runge Kutta Methoden 95
2.8.3. Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung 98
KAPITEL 3. Steife Differentialgleichungen
3.1. Steife Differentialgleichungen und ihre numerische
Behandlung 101
3.1.1. Fehlerverhalten der expliziten und impliziten
Euler Methode 101
3.1.2. Singular gestörte Differentialgleichungssysteme 105
3.2. Einige Anwendungsgebiete steifer Systeme 111
3.2.1. Chemische Reaktionskinetik 111
3.2.2. Diffusions Reaktions Modelle 114
3.2.3. Elektrische Netzwerke 116
3.2.4. Die Van der Polsche Gleichung der Elektrotechnik 117
KAPITEL 4. Linear implizite Runge Kutta Mathoden
4.1. Definition der Methoden 120
4.2. Adaptive Runge Kutta Methoden 124
4.2.1. Konstruktion der Methoden 124
4.2.2. Konsistenz 127
4.2.3. Beispiele 129
4.3. Rosenbrock Typ Methoden 131
4.3.1. Definition der Methoden 131
4.3.2. Konsistenzbedingungen 135
4.3.3. Beispiele von Rosenbrock Typ Methoden und stetige
Erweiterung 138
4.4. Stabilität linear impliziter Runge Kutta Methoden 141
4.4.1. A und AN Stabilität 141
4.4.2. D Stabilität 146
4.4.3. Nichtlineare Stabilität 152
4.5. B Konsistenz und B Konvergenz 157
4.5.1. Motivation 157
4.5.2. B Konsistenz und B Konvergenz für die Klasse f 159
4.5.3. Beispiele B konsistenter linear impliziter
Runge Kutta Methoden 168
4.5.4. B Konsistenz von W Methoden 171
4.5.5. Zur Wahl der Matrix T 176
4.5.6. Übersicht über B Konvergenz impliziter
Runge Kutta Methoden 178
4.6. Fragen der Implementierung 182
4.6.1. Reduzierung der Matrizenoperationen 182
4.6.2. Berechnung der Jacobi Matrix und Schrittweiten
7
Steuerung 184
4.6.3. Anwendung auf implizite Differentialgleichungen 185
4.6.4. Software und Einschätzung der Verfahren 185
KAPITEL 5. Partitionierto linear impliiit« Runge Kutta
Methoden
5.1. Arten der Partitionierung 189
5.2. Automatische Verfahrenswahl 190
5.2.1. Motivation 190
5.2.2. Umschaltkriterien 192
5.2.3. Realisierung und Einschätzung der Umschaltkriterien 194
5.2.4. Der Algorithmus PÄI4 197
5.2.5. Numerische Ergebnisse 199
5.3. Linear implizite Runge Kutta Methoden mit
komponentenweiser Partitionierung 202
5.3.1. Steifheit in bekanntem Teilsystem 202
5.3.2. Definition und Konsistenzordnung partitionierter
linear impliziter Runge Kutta Methoden 204
5.3.3. Lineare Stabilität 209
5.3.4. Automatische Festlegung der steifen Komponenten 211
5.3.5. Numerische Illustration 215
5.4. Partitionierte linear implizite Runge Kutta Methoden
für singulär gestörte Systeme 220
5.4.1. Problemstellung und Formulierung der Methoden 220
5.4.2. Verhalten des lokalen Fehlers 222
5.4.3. Konstruktion geeigneter Methoden 226
5.4.4. Abschätzungen für den globalen Fehler 229
5.4.5. Resultate für nichtpartitionierte Methoden 235
KAPITEL 6. Linear implizite Runge Kutta Methoden für
Algebro Differentialgleichungen vom Index 1
6.1. Einführung und Problemstellung 237
6.2. Partitionierte linear implizite Runge Kutta Methoden . 242
6.2.1. Ableitung der Methoden 242
6.2.2. Ordnungsaussagen 243
6.3. Explizite Runge Kutta Newton Methoden 247
6.3.1. Definition der Methoden und Ordnungsaussagen 247
6.3.2. Numerische Bestimmung der Konvergenzordnung 255
6.4. Nichtpartitionierte linear implizite Runge Kutta
Methoden 258
8 ".,
i
t
KAPITEL 7. Anwendung linear impliziter Runge Kutta Methoden
auf parabolische Anfangs Randwertprobleae
7.1. Semilineare parabolische Differentialgleichungen 262
7.1.1. Die Problemklasse 262
7.1.2. Ein Stabilitätstheorem 264
. 7.2. Die Linienmethode 266
7.2.1. Finitisierung des Ortsraumes mittels finiter Dif¬
ferenzen 267
7.2.2. Finitisierung des Ortsraumes mittels finiter Elemente . 272
7.3. Konvergenz des semidiskreten Problems 276
7.4. Konsistenz und Konvergenz der Gesamtdiskretisierung . 278
7.4.1. Gleichmäßige Konsistenz 279
7.4.2. Gleichmäßige Konvergenz 284
7.5. Numerische Ergebnisse 290
7.5.1. Numerische Bestimmung der Ordnung 290
7.5.2. Praktische Auswirkung der gleichmäßigen Konsistenz¬
ordnung 292
7.6. Zur numerischen Behandlung quasilinearer paraboli¬
scher Anfangs Randwertprobleme 295
KAPITEL 8. Anwendung linear impliziter Runge Kutta Methoden
auf retardierte Differentialgleichungssysteme
8.1. Theoretische Grundlagen 300
8.1.1. Problemstellung 300
8.1.2. Einige Theoreme aus der Theorie der retardierten
Differentialgleichungen 302
8.2. Numerische Methoden zur Lösung retardierter
Anfangswertprobleme 304
8.2.1. Zwei numerische Prinzipien 304
8.2.2. Linear implizite Runge Kutta Interpolationsmethoden . 307
8.3. Stabilität 307
8.3.1. Die Testdifferentialgleichung und ihre Stabilität 308
8.3.2. Stabilitätsdefinitionen für Einschritt
Interpolationsmethoden 310
8.3.3. Stabilität des Ersatzproblems 312
8.3.4. Stabilität linear impliziter Runge Kutta Lagrange
Methoden 318
8.3.5. Beispiele P(ß) stabiler linear impliziter Runge
Kutta Lagrange Methoden 321
8.3.6. Stabilität linear impliziter Runge Kutta Hermite
Methoden 325
9
8.4. Numerische Resultate 327
Literaturverzeichnis 332
Notationen 347
Sachverzeichnis 351
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