Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure: eine computerorientierte Einführung ; mit 34 Tabellen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Fachbuchverl.
1991
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik für Ingenieure
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. [368] - 373 |
| Beschreibung: | 376 S. graph. Darst. |
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Vorwort 9
Einige Bemerkungen zur Organisation
und Bezeichnung 12
Einführung 13
1 Grundlagen 14
1.1 Ingenieurwissenschaften und nume¬
rische Mathematik 14
1.2 Computerzahlen und Computer¬
arithmetik 17
1.3 Mathematische Probleme und nu¬
merische Verfahren 23
A Mathematische Probleme und de¬
ren Kondition 23
B Numerische Verfahren und deren
Verhalten gegenüber Rundungs¬
fehlern 27
C Beschreibung numerischer Ver¬
fahren . 33
1.4 Numerische Software 34
Numerische lineare Algebra 37
2 Lineare Gleichungssysteme .... 38
2.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 38
2.2 Der GAusssche Algorithmus .... 40
A Der GAusssche Algorithmus als
Verfahren der sukzessiven Elimi¬
nation 40
B Pivotisierung 43
C Interpretation des GAüssschen
Algorithmus als £Ä-Faktorisie-
rung 45
D Computerrealisierung des Gaüss-
schen Algorithmus 47
E Direkte Lfi-Faktorisierungen . . 49
F Berechnung von Ausdrücken, die
.4 enthalten 51
2.3 Der GAüsssche Algorithmus für spe¬
zielle Klassen von Koeffizientenma-
trizen 52
A Symmetrische und positiv defi-
nite Matrizen 52
B Symmetrische indefinite Matri¬
zen 56
C Bandmatrizen 57
D Schwach besetzte Matrizen ... 59
2.4 Fehlerbetrachtungen 60
A Vektor- und Matrixnormen ... 60
B Störungstheorie linearer Glei¬
chungssysteme 62
C Fehleranalyse des GAüssschen
Algorithmus 64
D Fehlerschranken, Konditions¬
schätzung und iterative Verbesse¬
rung 65
2.5 Iterative Verfahren 66
A Struktur und Konvergenz von
Einschrittverfahren 68
B Spezielle Einschrittverfahren . . 70
C Vorkonditionierung und opti¬
male Wahl des Relaxationsfak¬
tors 71
D Variations-Iterationsverfahren . . 78
2.6 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 83
3 Lineare Quadratmittelprobleme . . 85
3.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 85
3.2 Normalgleichungsverfahren 88
3.3 Orthogonalisierungsverfahren .... 90
A GRAM-ScHMiDT-Orthogonalisie-
rung 90
B HousEHOLDER-Orthogonalisie-
rung 93
3.4 Regularisierungsverfahren 97
3.5 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 98
4 Das symmetrische Eigenwertpro¬
blem 100
4.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 100
4.2 Transformationsverfahren 104
A JACOBi-Verfahren 104
B HouSEHOLDER-Tridiagonalisie-
rung 108
C QR-Algorithmus 109
4.3 Iterationsverfahren 112
A Vektoriteration 112
B Teilraumiteration und Rayleigh-
Rrrz-Algorithmus 115
C Inverse Iteration 117
D LAKezos-Verfahren 120
E Bisektionsverfahren 121
4.4 Das allgemeine symmetrische Ei¬
genwertproblem 123
A Explizite Reduktion auf ein spe¬
zielles Eigenwertproblem 123
B Implizite Realisierung von Itera¬
tionsverfahren 124
4.5 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 125
Approximation von Funktionen und
Funktionalen 127
5 Interpolation und Approximation . 128
5.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 128
5.2 Polynominterpolation 129
A LAGRANGESche Und NEWTONSChfe
Form des Interpolationspolynoms 130
B Mittelwertsatz für Steigungen,
zusammenfallende Stützstellen,
HERMrrE-Interpolation 133
C Der Interpolationsfehler 135
5.3 Spliae-Interpolation 138
A Lineare Splines 139
B Quadratische Splines 140
C Kubische Splines 142
D Basis-Splines 145
E Parametrische Splines zur Dar¬
stellung von Kurven 148
5.4 Diskrete Quadratmittelapproxima¬
tion 150
A Lineare Quadratmittelapproxima-
tion 151
B Nichtlineare Quadratmittelappro¬
ximation 156
C Behandlung von Ausreißern . . . 157
5.5 Mehrdimensionale Interpolation
und Approximation 157
A Mehrdimensionale Interpolation 157
B Mehrdimensionale diskrete Qua¬
dratmittelapproximation 161
5.6 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 162
6 Numerische Differentiation und
Integration 166
6.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 166
6.2 Numerische Differentiation 166
6.3 Numerische Integration 173
A Interpolationsquadraturen .... 173
B Quadraturformehl vom Gauss-
Typ 176
C RoMBERG-Quadratur und Extra¬
polationsprinzip 177
6.4 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 181
Endlichdimensionale nichtlineare Pro¬
bleme 183
7 Nichtlineare Gleichungssysteme
und Quadratmittelprobleme .... 184
7.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 184
7.2 Nichtlineare Gleichungssysteme . . 187
A Fixpunktform und Verfahren der
sukzessiven Approximation ... 187
B Das n-dimensionale Newton-Ver¬
fahren 192
C Globalisierung des NEwroN-Ver-
fahrens 198
7.3 Skalare nichtlineare Gleichungen . . 204
7.4 Parameterabhängige nichtlineare
Gleichungssysteme 210
7.5 Nichtlineare Quadratmittelprobleme 216
A Ungedämpftes und gedämpftes
GAUSS-NEWTON-Verfahren .... 217
B Trust-Region-GAUSS-NEWTON-
Verfahren 220
7.6 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 222
Numerische Verfahren zur Lösung von
Differentialgleichungen 225
8 Anfangswertaufgaben für gewöhn¬
liche Differentialgleichungen ... 227
8.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 227
8.2 Runge-Kutta-Verfahren 229
A Explizite Einschrittverfahren. . . 229
B Zur Genauigkeit von Einschritt¬
verfahren 236
C Schrittweitensteuerung 239
D Implizite Runge-Kutta-Verfah¬
ren 241
8.3 Mehrschrittverfahren 245
A Explizite und implizite Mehr¬
schrittverfahren 245
B Stabilität bei endlicher Schritt¬
weite 255
C Prädiktor-Korrektor-Verfahren . . 260
8.4 Extrapolationsverfahren 262
8.5 Anfangswertaufgaben für Systeme
gewöhnlicher Differentialgleichun¬
gen 264
A Allgemeine Bemerkungen .... 264
B Absolute Stabilität 266
C Steife Systeme 269
8.6 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 271
9 Randwertaufgaben für gewöhnliche
Differentialgleichungen 274
9.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 274
9.2 Methode der finiten Differenzen
(FDM) 276
A Direkte Differenzenapproxima¬
tion 276
B Die Integro-Interpolationsme-
thode 279
C Randbedingungen mit Ableitun¬
gen 281
D Zur Theorie der Differenzenver¬
fahren 282
9.3 Methode der finiten Elemente
(FEM) und Funktionalapproxima¬
tion 287
A Das Prinzip der FEM 287
B Funktionalapproximation .... 294
9.4 Maßnahmen zur Erhöhung der Ge¬
nauigkeit 295
A Die Verwendung ungleichmäßi-
gerNetze 296
B Extrapolationsverfahren 297
9.5 Parameterabhängige und nichtli¬
neare Randwertaufgaben 297
A Eigenwertaufgaben 298
B Nichtlineare Randwertaufgaben . 300
C Parameterabhängige nichtlineare
RWA 301
9.6 Schießverfahren 302
A Schießverfahren bei linearen
RWA 304
B Schießverfahren bei nichtlinea¬
ren RWA 305
9.7 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 306
10 Partielle Differentialgleichungen . 307
10.1 Aufgabenstellung und allgemeine
Bemerkungen 307
10.2 Methode der finiten Differenzen
(FDM) 309
10.3 Stabilität von Diskretisierungsver-
fahren 316
A Stabilität bezüglich der Anfangs¬
bedingung 316
B Stabilität bezüglich der rechten
Seite 319
C Konservativst 321
D Genauigkeit, Konvergenz .... 324
10.4 Weitere Beispiele zur FDM 324
A Die eindimensionalen, instatio¬
nären Gleichungen der linearen
Gasdynamik 324
B Eine allgemeine Klasse instatio-
närerARWA 330
C Eine parabolische Aufgabe mit
Ableitungen in den Randbedin¬
gungen 333
10.5 Methode der finiten Elemente
(FEM) für Randwertaufgaben .... 336
A Das Prinzip der FEM 336
B Die Konstruktion von FEM-Räu-
men 341
C Natürliche Koordinaten 342
D Die Generierung von FEM-Syste-
men 345
E Weitere Beispiele für finite Ele¬
mente 347
10.6 Semidiskretisierung 348
10.7 Mehrgitterverfahren 354
A Motivierung der Mehrgitterver¬
fahren 355
B Ein Zweigitter-Verfahren 358
10.8 Randintegralgleichungsmethoden
(BIEM) 359
A Randintegralgleichungsformulie¬
rung für ein Modellproblem . . . 360
B Die numerische Lösung der
Randintegralgleichungen 362
C Vergleich von BIEM mit FEM
undFDM 364
10.9 Zusammenfassung und Literatur¬
hinweise 365
Literatur-und Quellenverzeichnis 368
Sachwortverzeichnis 374
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Inhaltsverzeichnis
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