Leçons sur les fonctions de lignes: professées à la Sorbonne en 1912
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE I.
l évolution des idées fondamentales du calcul infinitésimal.
Page»,
i. Les méthodes infinitésimales. — 2. Eudoxe de Cnide et Archimède.
— 3. Galilée, Kepler, Cavalieri, Descartes, Fermât, Torricelli, Pascal,
Wallis. — 4. Huygens, Neper, Mercator, Roberval, Barrow, Newton,
Leibniz. — 5. Extension des opérations du calcul infinitésimal. — 6. Cal¬
cul différentiel et intégral des substitutions. — 7. Concept de fonction.
— 8. Passage du fini à l infini dans le concept de fonction. — 9. Pro¬
blèmes qui ressortent du concept de fonction de ligne. — 10. Différents
types d évolution et différentes sortes d analyses i
CHAPITRE II.
PRINCIPES DE LA TIIÉOHIK DES FONCTIONS D UNE LIGNE. EXEMPLES.
1 4. Définition, dérivation, calcul de la variation première d une fonction
de ligne. — 5. Exemples simples : les fonctions de ligne qui généra¬
lisent les polynômes homogènes à n variables. Extension de la série de
Taylor. — 6. Les fonctions de ligne introduites par le calcul des varia¬
tions. — 7 8. Définition des fonctions de ligne par des équations différen¬
tielles.— 9 1). Digression sur les substitutions: l intégration des équa¬
tions différentielles linéaires n est que ilu calcul intégral appliqué aux
substitutions. — 12 13. Extension aux fonctions de ligne de la formule de
Stokes. Calcul d une fonction de ligne, sa dérivée étant donnée 22
CHAPITRE III.
LA THÉORIE DES FONCTIONS DE LI0NE3 ET LE CALCUL DES VARIATIONS.
1 2. Nouvel exemple de théorie qui s étend aux fonctions de lignes : la
théorie des fonctions impl icites. — 3. Les problèmes de variations conduisent
à des fonctions de lignes implicites : cas du calcul des variations ordinaires.
— 4 5. Exemples de problèmes de calcul des variations conduisant à des
équations intégrales ou inlégro différentielles. — 6 7. Nouvel ordre
d idées : les résultais de Hamilton Jacobi sur les équations de la Méca¬
nique. — 8. Nécessité, pour l extension de ces résultats aux systèmes à
infini degrés de liberté, de la considération des fonctions de lignes.
Exemples 49
228 TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE TV.
LES FONCTIONS DE LIGNES IMPLICITES.
Pages.
1 2. Cas particulier des fonctions définies par une équation intégrale trans¬
cendante. — 3. Par une équation intégrale linéaire à limites constantes t
(équation de Fredholm), à limites variables (équation de Volterra). — j
4 6. Résolution de l équation de Volterra considérée comme cas limite 1
d un système d équations linéaires ordinaires. — 7. Résolution des équa j
tions intégrales du type transcendant. — 8. Extension de la notion de S
déterminant fonctionnel. — P 10. Cas général des fonctions de lignes
implicites. — il. Extension de la théorie des parenthèses de Poisson et I
du théorème de Jacobi sur les fonctions en involulion 62
CHAPITRE V.
étude d une équation intéûro différentielle du type elliptique.
1 3. Introduction. L équation intégro différentielle elliptique tj pe. —
4. Théorèmes sur l unicité des intégrales. — 5. Formule de réciprocité. j
— 6. Calcul de la solution fondamentale. — 7 9. Application à l équation !
de la méthode de Green 76
CHAPITRE VI.
LES ÉQUATIONS INTÉQRO DIFFÉHENTIELLES DE L ÉLASTICITÉ.
1. itappel de la théorie ordinaire de l élasticité : étude de la déformation et
des tensions. — 2. Relations entre les déformations et les tensions. Loi de
Hooke. — 3 4. Application de la méthode de Green. — 5. L élasticité
en tenant compte de l hérédité : les nouvelles relations entre les déforma¬
tions et les tensions, nouvelle forme de la loi de Hooke. — 6. Nouvelle
forme du principe de réciprocité. — 7. Les solutions fondamentales dans
le cas isotrope. — 8. La résolution, dans le cas héréditaire, des pro¬
blèmes de l élasticité. — 9. Étude de problèmes simples de vibration... 88
CHAPITRE VIL
LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ.
1. Introduction. — 2. Postulat de la dissipation de l action héréditaire. —
3 4. Invariabilité de l hérédité. Condition du cycle fermé. — 5. Principe
du cycle fermé. — 6 9. Conséquences et applications de ce principe à
des cas tant linéaires que non linéaires. — 10. Il est utile d introduire
l hérédité non linéaire pour rendre compte des particularités de certains
phénomènes. — lt. Les équations fondamentales de l électromagnétisme
en tenant compte de l hérédité. — 12. Cas statique : importance de
l équation intégro différentielle du Chapitre V 101
TABLE DBS MATIÈRES. 22g
CHAPITRE VIII.
LE PROBLÈME DE LA SPHÈRE ÉLASTIQUE ISOTROPE AVEC HÉRÉDITÉ.
Pages.
1 2. Les équations de l élasticité héréditaire dans le cas d un corps iso¬
trope. — 3. Théorème de M. Almansi sur les fonctions biharmoniques.
Grâce à ce théorème le problème rie la sphère élastique (déplacements au
contour donnés) est réduit à l intégration d une équation intégro dilîé
rentielle. ¦— 4 6, La nouvelle transcendante entière V (s | oc,y). Son
théorème d addition. — 7. Intégration de l équation intégro diflërentielle
précédente. — 8. Résolution du problème de la sphère élastique (dépla¬
cements au contour donnés) ... 121
CHAPITRE IX.
LA COMPOSITION ET LA PERMUTABIUTÉ DE PREMIÈRE ESPÈCE.
1 5. Définitions et règles de calcul. — 6 7. Recherche des fonctions permu¬
tables avec l unité. Elles forment le groupe du cycle fermé. — 8. Exten¬
sions diverses de la composition. — 9 12. Les séries de fonctions permu¬
tables. — 13. Application de la théorie à la résolution générale des
équations intégrales. — 14 16. Résolution de quelques équations particu¬
lières. Unicité de la solution.— 17. Application au problème de la sphère
isotrope, les tensions au contour étant données 133
CHAPITRE X.
APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE A LA SOLUTION DES EQUATIONS
INTÉGRO DIFFÉRENTIELLES.
1. Généralisation d un résultat précédent. — 2. Il permet de déduire d une
équation différentielle dont on connaît une solution, une équation inté
gro différenlielle dont on connatt une solution. — 3. Application à
l équation considérée dans le Chapitre V. — 4. Autre application aux
fonctions elliptiques. — 5. Transformations des théorèmes d addition. —
6. Le théorème d addition de la fonction V(s[x,y). — 7. Relation de
la théorie avec d autres ordres de recherches 151
CHAPITRE XI.
ÉTUDE DES FONCTIONS PERMUTABLES DE PREMIÈRE ESPÈCE.
1 2. Détermination de tontes les fonctions permutables avec une fonction
du premier ordre.— 3 5. Propriétés des fonctions permutables. Définition
des fonctions des divers ordres entiers supérieurs à i. —6. Détermination
des fonctions permutables avec une fonction du deuxième ordre. —
7 11. Application des résultats précédents à la résolution des équations
intégrales à points critiques 161
230 TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE XII.
LA PERMUTABILITK DK DEUXIÈME KSPÈCK.
Pages.
1. Définition. — 2. Différences entre les deux permutabilités. Les fonctions
permutables de deuxième espèce avec l unité. — 3 7. Relations avec la
théorie des substitutions; application à la résolution d une équation inté¬
grale 179
CHAPITRE XIII.
LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES ET INTÉQRO DIFFÉRENTIELI.ES
A LIMITES FIXES.
1 3. La permutabilité de deuxième espèce considérée comme cas limite d une
permutabilité de quantités à deux indices. — h. Les séries de fonctions per¬
mutables. — 5. Application de la théorie à la résolution des équations
intégrales ou intégro différentielles : le problème corrélatif de la résolu¬
tion d une équation algébrique ou différentielle. — 6. Le problème corré¬
latif relatif à la permutabilité de première espèce (cf. Chap. IX etX). —
7 8. Applications. Transformation des théorèmes d addition. — 9 13. Ap¬
plication à l élude de l équation intégro différentielle à limites constantes
analogue à celle du Chapitre V 189
CHAPITRE XIV.
l application du calcul aux phénomknks d hérédité.
1. Introduction. — 2. Développement de la Mécanique classique. — 3. Dé¬
veloppement de la Physique mathématique classique. — 4. Mécanique et
Physique héréditaire. — 5. Objections à la Mécanique et à la Physique
héréditaire. — 6. Les méthodes analytiques qui s appliquent à l étude de
l hérédité. — 7. Applications de la théorie de l hérédité. — 8. Conclusions. 205
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