Analytische Geometrie der höheren ebenen Curven:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Teubner
1873
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| Online-Zugang: | kostenfrei Inhaltsverzeichnis |
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| adam_text | Inhaltsverzeichniss.
I. Kapitel.
Von den Coördinaten.
Artikel Seite
1. Projectivisckc und metrische Sätze der Geometrie........... 1
4. Allgemeine Definition der trimetrischen Coördinaten .... 2
9. Einheitpunkt und Einhcitlinic ............................ 4
11. Speeielle Fälle . . . ։.................................... 5
17. Liniencoordinaten........................................... 7
20. Speeielle Fälle............................................. 9
22. Projectivische Coördinaten.................................10
23. Transformation derselben...................................12
lí. Kapitel.
Von den allgemeinen Eigenschaften der algebraischen Curven.
I. Abschnitt, lieber die Anzahl der Glieder in der all-
gemeinen Gleichung.
24. Die Zahl der unabhängigen Constanten als Kennzeichen der
Allgemeinheit einer Gleichungsform.........................15
26. Gliederzahl der allgemeinen Gleichung ntem Grades..........17
27. Zahl der Punkte, welche eine Curve «(e։ Ordnung bestimmen 18
29. Ausnahmefällc; Curvenbüschel n Ordnung . .՛............19
31. Wenn von den Schnittpunkten von zwei Curven nt,T Ord. np
auf einer Curve p‘ Ord. liegen, so liegen die übrigen auf
einer Curve der (n—p)tm Ordnung..........................21
33. Sätze über die Durchsclmittspunkte von zwei Curven .... 23
II. Abschnitt. lieber die Natur der vielfachen Punkte und
Tangenten der Curven. 36 37 38 * * 41
36. Die Tangente der Curve im Anfangspunkt der Coördinaten . 26
37. Der Anfangspunkt als Doppelpunkt der Curve...............27
38. Drei Arten der Doppelpunkte; erläuterndes Beispiel .... 28
40. Der Anfangspunkt als dreifacher Punkt; vier Arten desselben.
Der vielfache Punkt und die äquivalente Zahl von Doppel-
punkten .................................................31
41. Zahl der Bedingungen, die ein gegebener vielfacher Punkt
vertritt.......... . . ..................................32
VIII
ArUKel , Beno
42. Grenze der Zahl von Doppelpunkten in einer eigentlichen
Curvo ......................................................... 33
44. Geschlecht und Defect einer Curve; Fundamontaleigenschaft
der Unicursalcurven......................................34
46. Die Abscissenaxe als vielfache Tangente der Curve; drei Arten
der Doppeltangenten......................................37
47. Die Reciprocität der Singularitäten....................30
48. Berührung zwischen Curven ohne und mit Durchschneiden
derselben; Neigung einer Curve gegen eine Coordinatenaxe . 40
50. Undulationspunkte und Punkte sichtbarer Inflexion.......43
51. Beispiele...............................................—
• 52. Untersuchung der unendlich fernen Punkte einer Curve und
der Asymptoten.........................................45
III. Abschnitt. V on der graphischen Darstellung der Cur ven.
55. Allgemeine Regeln und Beispiele.........................48
56. Newton’s Methode zur Bestimmung der Form einer Curve in
der Nachbarschaft eines singulären Punktes und zur Bestim-
mung der unendlichen Aeste ...........................53
58. Die Schnabelspitze und höhere Singularitäten überhaupt . . 55
IV. Abschnitt. Pole und Polaren.
59. Die Schnittpunkte der geraden Linie zwischen zwei Punkten
mit einer Curvo ...........................................56
60. Die Reihe der Polarcurven eines Punktes, insbesondere des
Anfangspunktes.............................................58
61. Die erste Polarcurve und die gerade Polare ; Pole einer Geraden 59
62. Die Beziehung der vielfachen Punkte zu den Polarcurven . . 60
V. Abschnitt. Allgemeine Theorie der vielfachen Punkte
und Tangenten.
64. Alle Polarcurven eines Punktes berühren sie in ihm .... 61
65. Die Berührungspunkte der Tangenten der Curve aus einem
Punkte und die Ordnung ihrer Reciprok en.................62
66. Der Einfluss singulärer Punkte der Curven auf die Ordnungs-
zahl ihrer Reciproken . .................................—-
69. Von der Discriminante einer Curve ....................... 64
70. Wenn die erste Polare von A einen Doppelpunkt in B hat,
so hat der Polarkegelschnitt von B einen Doppelpunkt in A;
die Hesse’scke und die Steiner’sche Curve..................65
72. Die Bedingungen für die Existenz einer Spitze..............67
74. Die Anzahl der Inflexionspunkte und ihre Verminderung durch
vielfache Punkte .... -..................................68
78. Das Büschel der Tangenten aus einem Punkte ; Eigenschaften
desselben bei Curven dritter Ordnung.....................71
VI. Abschnitt. Reciproké Curven.
80. Doppeltangenten und stationäre Tangenten als gewöhnliche
Singularitäten einer Curve nUr Ordnung.....................74
81. Die Plücker’sehen Gleichungen und Cayley’s Ausdrucksform
derselben..................................................75
83. Die Constanz des Geschlechts für Curven, welche sich ein-
deutig entsprechen............................................ 77
IX
III. Kapitel.
Theorie der Envelopper։.
Artikel Seile
84. Die zwei Hauptformen dea Problems..............................79
85. Enveloppe einer Curve, deren Gleichung einen veränder-
lichen Parameter enthält. Beispiele: Enveloppe von
a eos 6 5sm’ 0 = c; Parallelcurve eines Kegelschnitts ... 80
86. Die Enveloppe einer Geraden, welche einen Parameter alge-
braisch enthält; die Charaktere derselben...................83
87. Enveloppe einer Curve mit k durch (k — 1) Gleichungen ver-
bundenen Parametern. Methode der unbestimmten Multipli-
catoren................................................ . 85
89. Enveloppe einer Curve, deren Gleichung mehrere unabhängige
Parameter enthält.......................................87
90. Reciprocalcurven; erste Methode.............................. 88
91. Zweite Méthode. Die Gleichung der Reciprocalcurven in
svmbolischer Form; insbesondere für die Curve vierter Ord. 89
93. Das Tangentenbüschel aus einem Punkte und die Oerter der
Punkte mit Tangentenbüscheln von vorgeschriebenen Inva-
rianten-Relationen ............................................ 91
95. Gleichung der Reciprocalcurve in Polarcoordinaten.......92
96. Die Bedingung der Berührung zwischen zwei Curven .... 93
97. Der Grad der Berührungs-Invariante in den Coefficienten der
Ciirvengleichungen........................................ . 94
99. Die Evolute einer Curve als Enveloppe ihrer Normalen. Beispiele 96
100. Die Coordinaten des Krümmungscentrums..................98
101. Der Werth des Krümmungsradius..........................99
103. Die Bogenlänge der Evolute.............................101
104. Der Werth des Krümmungsradius in Polarcoordinaten . . . 102
105. Die Gleichung der Evolute aus der Gleichung der Curve in
Liniencoordinaton.......................................103
106. Quasi-Normale und Quasi-Evolute, Anwendung auf Kegel-
schnitte ..................................................104
107. Allgemeine Form der Gleichung der Quasi-Normale . . . . 107
109. Die Quasi-Normale und Evolute für den absoluten Kegelschnitt 108
110. Die Normale in einem unendlich fernen Punkte der Curve . 109
111. Charaktere der Evolute: Classe und Ordnung ..................110
113. Stationäre Tangenten und Punkte der Evolute; die vier-
punktig berührenden Kreise..............................112
115. Brennhnio durch Reflexion; Methode von Quotclot. Fuss-
punktcurven ..................................................114
117. Brennlinien durch Refraction ................................116
118. Die Parallelcurven und ihre Charaktere. Ihre Gleichungen in
Liniencoordinaton und ihr Zerfallen in Tkoile ................118
122՛. Negative Fusspunktcurven und ihre Beziehung zu den Parallel-
curven ....................................................123
123. Die Inverse einer Curve und ihre Charaktere und die der
positiven und negativen Fusspunktcurve. Beispiele für Pa-
rabel und EBipse..................................... 124
IV. Kapitel.
Metrische Eigenschaften der Curven.
124. Der Satz von Newton über das Verhältniss der Producte der
Abschnitte in zwei Transversalen durch einen Punkt .... 128
X
125. Der Satz von Carnot über den Schnitt eines Polygons mit der
Curve.........................................................
126 Beispiele. Drei Inflexionspunktc einer Curve dritter Ordnung
liegen in einer Geraden. Zwei Arten von Doppeltangenten
der Curven vierter Ordnung ...................................
128. Das Centrum der mittleren Entfernung und der einer Richtung
conjugierte Durchmesser einer Curve; Abschnitte zwischen
den Curven und ihren Asymptoten...............................
130. Diametralkegelschnitte und krummlinige Durchmesser überhaupt
132. Mittelpunkte der Curven ................................
133. Der Satz von Cotes und die Theorie der Polaren..........
136. Die Diametraleurven als Polaren unendlich ferner Punkte
137. Mac La,urin’s Erweiterung des Nowton’schen Satzes von den
Asymptoten...............................................
138. Anwendung auf Liniencoordinaten.........................
131). Die allgemeine Definition der Brennpunkte; Zahl derselben
HO. Antipunkte................................................
141. Bestimmung der Brennpunkte; erste Methode ..............
142. Zweite Methode. Geometrische Interpretation der Bestimmungs-
gleiclmngen. Brennpunkte von Involuten und Evoluten . .
113. Sätze über die Brennpunktsabstände der Tangenten ....
144. Sätze über die Winkel der Radien vectorcn aus den Brenn-
punkten und der Tangenten.....................................
145. Relationen zwischen den Brennpunktsdistanzen von Punkten
der Cnrvon...............................................
146. Ort des Doppelbrennpunktes einer durch N — 3 Punkte be-
stimmten ■ circularen Curve ..................................
147. Ort des Brennpunktes einer durch JV — 1 Tangenten be-
stimmten Curve nt։r Classe. Brennpunkte der Parabeln, welche
von fünf gegebenen Geraden vier berühren.................
V. Kapitel.
Curven dritter Ordnung.
148. Allgemeine Eintheilung der Curven dritter Ordnung ....
T. Abschnitt, Durchschnitt mit anderen Curven.
149. Alle Curven dritter Ordnung durch acht Punkte enthalten
einen neunten Punkt......................................
150. Tangentialpunkt eines Punktes und Begleiterin einer Geraden
151. Die Berührungspunkte der Tangenten der Curve aus einem
ihrer Punkte.............................................
152. Mac Laurin’s Theorie des Entsprechens von Punkten einer
Curve dritter Ordnung....................................
155. Der Gegenpunkt oder der beigeordnete Rest von vier Punkten
der Curve ...............................................
156. Die Kegelschnitte durch vier, fünf und sechs aufeinander fol-
Eende Punkte der Curve...................................
as Schnittpunktssystem mit einer algebraischen Curve und
Sylvcster’s Theorie der Restbilduug......................
163. Gebilde erster und zweiter Stufe aus Curven dritter Ordnung;
Analoga dor projectivischen Eigenschaften der Kegelschnitte .
II. Abschnitt. Pole und Polaren.
166. Die gerade und die conische Polare eines Punktes; insbesondere
in Bezug auf die Curven dritter Ordnung mit zwei resp. drei
Doppeljmnkten.................................................
Seite
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xr
Artikel Seite
1.67. Die constructive Bestimmung derselben...............................174
168. Das Doppelverh ältniss des Büschels der Tangenten aus einem
Punkte der Curve als absolute Invariante; zwei Classen der
Curven dritter Ordnung ohne singulären Punkt...............175
169. Die sechszehn Brennpunkte einer circularen Curve dritter Ord.
liegen in vier Kreisen — als Specialfall eines allgemeinen Satzes 176
170. Die harmonische Theilung der von einem Punkte der Curve
ausgehenden Sehne im Polarkegelschnitt .....................177
171. Die harmonische Polare eines Inflexionspunktes ...... 178
174. Die neun Inflexionspunkte einer Curve dritter Ordnung sind
für jede andre durch sic gehende Curve dritter Ordnung die
Inflexionspunkte; das System der zwölf Geraden durch sie . 180
176. Die Hesse-Steiner’sche Öurve der Curve dritter Ordnung und
die Correspondcnz ihrer Punkte...............................181
177. Dieselbe Curve als Jacobi’sche Curve des Systems der Polar-
kegelschnitte für die Punkte der Ebene..................... 182
178. Die Cayley’sche Curve nach ihren verschiedenen Definitionen 183
179. Die Polargerade eines Punktes der Hesse’schen Curve istTan-
Sente derselben im entsprechenden Punkte ....................184
de gemeinschaftlichen Tangenten der Curve dritter Ordnung
mit der Curve von Hesse; die stationären Tangenten .... 185
181. Die Tangenten der Hesse’schen Curve in correspondierenden
Punkten schneiden sich in ihr; dieselbe gehört zu drei ver-
schiedenen Curven dritter Ordnung.................................186
182. Die Berührungspunkte der Cayley’schen Curve mit ihren
Tangenten....................................................187
183, Die harmonischen Polaren der Inflexionspunkte der Curve
dritter Ordnung als die Rückkchrtangeuten der Cayley’schen
Curve .......................................................188
184. Die Coordinatcn des Tangentialpunktes.......................189
185. Der Polarkegelschnitt einer Geraden in Bezug auf die Curve
dritter Ordnung; spcciell in Bezug auf das Dreiseit der Tan-
genten in ihren Schnittpunkten mit der Curve......................190
187. Die Lagcnbeziehimg der Polarkegolschnitte der Ebene zum
singulären Punkt.............................................192
188, Der Polarkegelschnitt der unendlich fernen Geraden .... —
189. Anwendung auf die Bestimmung der Gleichung der Curve in
Liniencoordinaten ,· der Polarkegelschnitt einer Tangente der
Cayloy’sehen Curve ist eiu Punkt.............................193
190. Die zwölf Punkto von einerlei Polare in Bezug auf die Curven
eines Büschels dritter Ordnung.................................—
191. Die zwölf kritischen Contra des Büschels....................194
192. Die Jacobi’sche Curve von drei Curven dritter Ordnung, der
Ort der Doppelpunkte in dem durch sie bestimmten Gebilde
zweiter Stufe................................................195
193. Classification der Curven dritter Ordnung von Plückcr . . . 196
111. Abschnitt. Classification der Curven dritter Ordnung.
197. Jede Curve dritter Ordnung kann als eine der fünf diver-
gierenden Parabeln und eine der fünf Centralcurven dieser
Ordnung projiciert werden...........................................200
199. Classification der Kegel dritter Ordnung.....................202
201. Ans den Punkten des Ovals gehen keine reellen Tangenten
an die Curve, aus den Punkten des unendlichen Astes vier
reelle....................................................205
202. Eintheilige und zweitheilige Curven dritter Ordnung .... 206
*-
XII
Artikel Seite
203. Species der Curven dritter Ordnung nach der Natur ihrer
unendlich fernen Punkte..................................207
211. Newton’s Methode der Reduction der allgemeinen Gleichung 217
212. Die Gruppen топ Plückcr.................................219
IV. Abschnitt. Unicursalcurven dritter Ordnung.
213. Parameter eines Punktes der Curve mit Kückkehrpunkt . . 221
214. Die Berührungspunkte der Tangenten aus einem Punkte; ein-
geschriobonc Polygone; Quasi-Evolute.....................223
ie Cissoide und Ihre Eigenschaften......................225
21,6. Die Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt............ . . 220
217. Der Doppelpunkt als Pol der Verbindungslinie der drei In-
flexionspunkte in Bezug auf das Dreieck ihrer Tangenten . . 228
V, Abschnitt. Invarianten und Covarianten der Curven
dritter Ordnung.
218. Die kanonische Form ihrer Gleichung und die allgemeine
Gleichung ....................................................—
219. Die Gleichung der Hesse’schen Curve........................229
220. Die Gleichung der Cayley’schon Curve.......................230
221. Die Invariante 8 und ihre symbolische Form.................231
222. Die Invariante T und ihre symbolische Form..........._. . 232՛
223. Die allgemeine Gleichung der Reciprokcn der Curve dritter
Ordnung.....................................................234
224. Berechnung der Invarianten mittelst der Differentialgleichung 235
225. Die Discriminante in Function der fundamentalen Invarianten 237
226. Die Hesse’sehe Curve von XUft,H = Q..........................—
227. Das Zerfallen in drei gerade Linien........................239
228. Die vier Systeme von drei Geraden durch die Inflexionspunkte
und die Reduction der allgemeinen Gleichung auf die kano-
nische Form ............................................240
229. Das Tangentenbüschel aus einem Punkte der Curve an dieselbe 241
230. Das Doppelverhältniss desselben als absolute Invariante . . 212
231. Die covarianten Curven dritter Ordnung sind in der Form
1 {7+ (iH = 0 darstellbar...................................244
232. Eine dritte fundamentale Covariante 0; zwei weitere desgl. . 245
233. Die Covariante neunten Grades J, deren Quadrat erst eine
rationale Function der fundamentalen Covarianten ist. Beispiele :
Die Gleichung der neun Inflcxionstaugenten, und die der Cay-
ley’schen Curve in Punktcoordinaten.....................247
234. Die fundamentalen Contravarianten P, Q, F und die von
X U + ßfi-H und von XP ֊(- fiQ.............................249
236. Eine identische Gleichung und ihr Gebrauch.................252
237. Der Kegelschnitt durch fünf benachbarte Punkte der Curve 253
240. Die Gleichung der Curve dritter Ordnung als Summe von
vier Cuben..................................................256
241. Das Zerfallen der Curve dritter Ordnung in Kegelschnitt und
Gerade......................................................257
242. Die Discriminante als Determinante.........................258
243. Die Hessc’schc Covariante für V und UV ....... . 259
VI. Kapitel.
Curven vierter Ordnung.
244. Allgemeine Eintheilung derselben; die besonderen Formen mit
Berührungsknoten, Knotenspitze, Osculationsknotcu, Berüh-
rungsknotenspitze, oder dreifachem Punkt.................261
245. Die analytischen Unterscheidungszeichen solcher Singularitäten 264
XIII
Artikel Seife
246. Die Unterscheidung von reell und nicht reell bei den singu-
lären Punkten ............................................... , . 206
247. Einfacher und doppelter Jnfiexionsknoten ....................267
248. Undulationspunkte in Curven vierter Ordnung..................268
249. Eine Curve vierter Ordnung ohne singuläre Punkte ist höchstens
viertheilig, mit einem Doppelpunkt höchstens drei- und mit
zwei Doppelpunkten höchstens zweitheilig. Sind nie mehr als
acht Inflexionspunkte reell?.................................. —
250. Classification der Curven vierter Ordnung nach der Natur
ihrer unendlichen Aeste........................*...........270
251. Die Hesse sche Curve und die licciproealcurve der Curve
vierter Ordnung...............................................271
252. Kegelschnitte, welche die Curve viermal berühren; Discussion
der Gleichung UW =Vi..........................................272
256. Es giebt 315 Kegelschnitte, von denen jeder durch die Berüh-
rungspunkte von vier Doppeltangenten einer Curve vierter
Ordnung hindurchgeht ......................................... . . 277
258. Uebersicht des Systems........................................279
261. Hesse’s Algorithmus..........................................283
262. Cayley’s darauf gegründete Kegel und Tafel; die Gruppen von
sechs Tangenten, deren Berührungspunkte in einer Curve
dritter Ordnung liegen.................................284
264. Die Discussion des Problems der Doppeltangenten von Aronhold 287
266. Aus sieben gegebenen Doppeltangcntcn können die übrigen
durch lineare Constructionen gefunden werden..................290
268. Die algebraische Untersuchung von Aronhold ...................292
270. Curven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten................295
271. Die aus den Doppelpunkten an die Curve gehenden Tangenten-
büschel sind projectivisch; die 16 Brennpunkte einer bicircu-
laren Curve vierter Ordnung liegen zu vier in vier Kreisen 296
273. Untersuchung der Curven vierter Ordnung mit zwei Doppel-
punkten nach der Methode des Art. 252, als Enveloppe des
Kegelsclmittsystcms 12U+2117֊(-TU=0..............................298
276. Die sechszehn Brennpunkte, acht Doppeltangenten und sechs-
zehn cj clischen Punkte der bicircularen Curven vierter Ord. 301
277. Zwei Classen dieser Curven; Relationen zwischen den Focal-
distanzen eines Punktes.......................................303
278. Confocale hicireulare Curven schneiden sich rechtwinklig . . 306
280. Die Untersuchung von Hart....................................309
281. Curven vierter Ordnung mit zwei Spitzen, insbesondere Car-
tesische; die Pascal’sche Schnecke und dio Cardioide .... 310
282. Untersuchung der Bremipunktscigcnschaften durch die Methode
der Inversion.................................................313
283. Einschreibung von Polygonen in Curven vierter Ordnung mit
zwei Doppelpunkten............................................315
284. Curven vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten oder vom
Geschlecht Null ; ihre Ableitung ans Kegelschnitten durch die
Methode der Inversion....................................—
286. Eigenschaften dieser Curven; die Tangenten in den Doppel-
punkten oder aus denselben berührenden nämlichen Kegelschnitt 319
288. Ihre vier Doppeltangenten.....................................320
290. Curve vierter Ordnung mit Doppelpunkt u. Berühmngsknoten 322
291. Curven mit Osculationsknoten oder Berührungsknotenspitze . 323
292. Curven mit dreifachem Punkt . ■...........................324
293. Invarianten und Covarianten von Curven vierter Ordnung;
Enveloppe der Linien, welche in Punkten mit verschwindender
Invariante 8 schneiden; cübische Invariante A..........325
XIV
Artikel ։ Seite
295. Invariante sechstens Grades В; die allgemeine Gleichung vier-
ten Grades kann nicht auf die Summe von fünf Biquadraten
reduciert werden.................................................326
298. Biquadratische Covarianten; Entwicklung für einen Specialfall 330
300. Invarianten neunten Grades für denselben Fall..............331
301. Die Hesse’sche Covarianto, die Contravariante sechster Classe
und die quadratischen Covarianten und Contravarianten . . 332
302. Invarianten zwölften Grades, fünfzehnten u. achtzehnten Grades 334
VII. Kapitel.
Transcendente Curven.
304. Die Cycloïde . . .................................... 337
305. Tangentenconstruction ; Flüche, Bogenlänge, Krümmungsradius
und Evolute derselben; die Trochoide.......................338
306. Die Epi- und Hypo-Cycloïden und Trockoiden................340
308. Ihre Tangenten und singulären Punkte .....................342
311. Fälle, in denen diese Curven algebraisch werden. Beispiele.
Die Pascal’scke Schnecke als Epicycloide; die Enveloppe von
Steiner................................................345
312. Die Reciproke der Epicycloide ............................347
313. Krümmungsradius der Rouletten............................֊
314. Trigonometrische Curven ..................................f 348
315. Logarithmische Curve...................................... . 349
316. Kettenlinie; Tangentenconstruction .......................351
318. Tractrix und Syntractrix .................................352
319. Verfolgungscurven ........................................353
320. Kreisevolvento ...........................................354
321. Die Spirale des Archimedes..................................—
322. Hyperbolische Spirale................;...................355
323. Logarithmische Spirale....................................356
VIII. Kapitel
Transformation der Curven.
324. Begriff der rationalen Transformation............/. . . 358
325. Quadratische Transformation überhaupt .................359
326. Rationale Transformation zweiten Grades; ihre drei Haupt-
punkte, die Charaktere der transformierten oder Bildcurve . 360
328. Transformation durch reciproke Radien oder Methode der In-
version .......................................................363
330. Besondere Fälle der rationalen quadratischen Transformation 365
331. Die Transformationsmethode von Roberts................360
332. Allgemeine rationale oder Cremona’sche Transfonnation . . 367
334. Die Bedingungsgleichungen derselben und ihre geometrische
Bedeutung..............................................368
337. Die Summe der droi höchsten Ordnungszahlen der vielfachen
Punkte muss den Grad der Transformation übersteigen . . .371
338. Die Hauptpunkte; jedem Punkte ar entspricht eine Ilaupt-
curvc r։ Ordnung vom Geschlecht Null..................372
311. Die Ilauptcurven bilden in ihrer Gesammtheit die Jacobi’sche
Curve des Systems der Abbildungscurven ......................375
342. Die- Charaktere der transformierten oder Bildcurve; die IJn-
veränderlichkeit des Geschlechts..........................377
XV
Artikel Seite
343. Jode Cremona’sche Transformation kann durch eine Folge
von quadratischen ersetzt werden............................378
844. Transformation einer gegebenen Curve; rationales Entsprechen
zwischen zwei Curven; Beispiele.............................381
345. Unveränderlichkeit des Geschlechts; Erniedrigung der Ord-
nungszahl .......................................................384
346. Die Normalcurve für das Geschlecht Eins; Ausdruck der Coör-
dinaten des Punktes durch elliptische Functionen . ՛.............386
347. Die Normalcurve für das Geschlecht Zwei; die Coördinaten
als hyperelliptische Functionen ............................387
348. Begründung der Unveränderlichkeit des Geschlechts durch die
Theorie der Elimination.......................................—
349. Entsprechen von Punkten in einer gegebenen Curve .... 388
351. Das Entsprechen auf Curven vom Geschlecht Null; Verbin-
dungspunkte .....................................................390
354. Das Entsprechen auf allgemeinen Curven....................392
355. Entsprechen in Kegelschnitten und die Einschreibung von
Polygonen ..................................................394
356. Entsprechen in Curven dritter Ordnung und Einschreibung von
Polygonen ..................................................395
IX. Kapitel.
Allgemeine Theorie der Curven.
359. Das Problem der Doppeltangenten......................... 398
360. Die Methode von Cayley und ihre Anwendung auf die Inüesions-
punkte .... 399
363. Die Bildung der Gleichung der durch die Berührungspunkte
der Doppeltangenten gehenden Curve durch die Reductions-
methoue von Hesse...........................................403
. 370. Die Doppeltangentencurve der Curve vierter Ordnung . . . 410
371. Für die Curve fünfter Ordnung............ ...............411
372. Die Curve durch die Tangentialpunkte der Curve als Mittel
zur Lösung des Problems der Doppeltangenten.................412
375. Theorie der Pole und Polaren. Eigenschaften der Jacobi’schen
Curve.......................................................419
376. Die Punkte von derselben geraden Polare in Bezug auf zwei
Curven......................................................422
377. Die Berührungs-Invariante von zwei Curven; Discriminante
von der Discriminante von Xu -f- fiv und von ).tt + fiv -)֊ vw 423
379. Die Bedingung für einen Undulationspunkt und für eine In-
flexionstangentc, die ausserdem berührt.....................425
380. Die Curven von Hesse und Steiner, ihre Correspondenz und ihre
Charaktere..................................................426
382. Die Cayley’sehe Curve und ihre Charaktere.................427
383. Verallgemeinerung dieser Theorien.........................429
386. Osculierende Kegelschnitte; Abweichung einer Curve in einem
ihrer Punkte von der Kreisform............................. 432
388. Die Gleichung dos i ünfpunktig berührenden Kegelschnitts . 434
389. Punkte der Curve, iñ denen ein Kegelschnitt sie scchspunktig
berühren kann...............................................437
390. Begriff und Charakteristiken der Curvensysteme..............—
392. Die Charakteristiken von Kegelschnittsystemen und Zahl der
Kegelschnitte, welche gegebenen Bedingungen genügen; mehr-
fache Bedingungen...........................................439
XVI
Artikel Seite
394. Relationen zwischen den Charakteristiken; Methode von
Zeuthen .....................................................442
395. Degenerierte Kegelschnitte der Systeme nach Zeuthen und
Cayley.........................................................—
397. Systeme von Kegelschnitten aus Bedingungen der Berührung 445
399. Insbesondere aus mehrfachen Berührungen oder Berührungen
von höherer Ordnung..........................................448
400. Aus untrennbaren Bedingungen................................450
Literatur-Nachweisungen und Nachträge........................453
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