Numerische Mathematik: 1 Lineare und nichtlineare Gleichungssysteme, Interpolation, numerische Integration
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1992
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32 |
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| Beschreibung: | IX, 281 S. graph. Darst. |
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Einführung 1
Aufgaben.................................. 7
1 Lineare Gleichungssysteme 9
1.1 Beispiele................................... 10
Aufgaben.................................. 13
1.2 Einige Grundlagen............................. 15
1.2.1 Vektor- und Matrixnormen.................... 15
1.2.2 Die Kondition einer Matrix.................... 25
1.2.3 Elementarmatrizen.......................... 28
Aufgaben.................................. 31
1.3 Das Gaußsche Eliminationsverfahren................... 33
1.3.1 Das Prinzip des Gaußschen Eliminationsverfahrens....... 33
1.3.2 Die
Liî-
Zerlegung......................... 35
1.3.3 Die
iii-
Zerlegung von Tridiagonalmatrizen........... 40
1.3.4 Das Gauß-Jordan-Verfahren.................... 43
Aufgaben.................................. 47
1.4 Die Cholesky-Zerlegung.......................... 49
Aufgaben.................................. 51
1.5 Die
Qiî-Zerlegung
............................. 53
1.5.1 Definition und Motivation..................... 53
1.5.2 Die QÄ-Zerlegung nach
Householder
............... 55
1.5.3 Die
Q R-
Zerlegung nach
Givens
.................. 58
Aufgaben.................................. 62
1.6 Lineare Ausgleichsprobleme........................ 64
1.6.1 Einige Grundlagen......................... 64
1.6.2 Die Singulärwertzerlegung einer Matrix............. 66
1.6.3 Die Pseudoinverse einer Matrix.................. 71
1.6.4 Störung linearer Ausgleichsprobleme............... 74
Aufgaben.................................. 79
2 Nichtlineare Gleichungssysteme 81
2.1 Einführung................................. 81
Aufgaben.................................. 84
2.2 Allgemeine Konvergenzsätze........................ 85
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2.1 Der Banachsche Fixpunktsatz................... 86
2.2.2 Lipschitzstetige Abbildungen................... 91
2.2.3 Ein lokaler Konvergenzsatz.................... 95
2.2.4 Die Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens....... 96
Aufgaben.................................. 98
2.3 Das Newton-Verfahren........................... 101
2.3.1 Motivation und lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens . . . 101
2.3.2 Quasi-Newton-Verfahren...................... 106
2.3.3 Die Berechnung der Nullstellen eines Polynoms......... 114
Aufgaben.................................. 118
2.4 Iterationsverfahren bei linearen Gleichungssystemen.......... 123
2.4.1 Ein allgemeiner Konvergenzsatz.................. 123
2.4.2 Das Gesamt- und das Einzelschrittverfahren, Relaxationsver¬
fahren ................................ 125
Aufgaben.................................. 132
3 Interpolation 135
3.1 Interpolation durch Polynome....................... 136
3.1.1 Existenz, Eindeutigkeit und Darstellung des Interpolationspo¬
lynoms................................. 136
3.1.2 Der Interpolationsfehler...................... 140
3.1.3 Hermite- Interpolation....................... 141
Aufgaben.................................. 143
3.2 Trigonometrische Interpolation...................... 145
3.2.1 Problemstellung, Existenz und Eindeutigkeit des trigonometri¬
schen Interpolationspolynoms................... 145
3.2.2 Das trigonometrische Interpolationspolynom bei äquidistanten
Stützstellen............................. 147
3.2.3 Die schnelle
Fourier-
Transformation (FFT)........... 149
Aufgaben.................................. 157
3.3 Interpolation durch
Splines
........................ 160
3.3.1 Einführung............................. 160
3.3.2 Existenz, Eindeutigkeit und Extremaleigenschaften interpolie¬
render
Splines
ungeraden Grades.................163
3.3.3 Die Berechnung interpolierender kubischer
Splines
....... 166
3.3.4 Fehlerabschätzungen für interpolierende
Splines
......... 172
3.3.5 B-Splines.............................. 176
Aufgaben.................................. 191
.3.4 Darstellung von Kurven.......................... 196
3.4.1 Einführung............................. 196
3.4.2
Bézier-Kurven
........................... 199
3.4.3 B-Spline-Kurven.......................... 209
Aufgaben.................................. 214
Inhaltsverzeichnis
IX
4 Numerische Integration 219
4.1 Einführung................................. 219
4.1.1 Übersicht.............................. 219
4.1.2 Restglieddarstellung mit Hilfe des Peano-Kerns......... 221
Aufgaben.................................. 223
4.2 Interpolations-Quadraturformeln..................... 224
4.2.1 Einfache Grundlagen........................ 224
4.2.2 Die Newton-Cotes-Formeln.................... 226
Aufgaben.................................. 230
4.3 Quadraturformeln vom Gaußschen Typ ................. 230
4.3.1 Existenz und Eindeutigkeit, Fehlerdarstellung.......... 230
4.3.2 Orthogonalpolynome zu gegebener Gewichtsfunktion...... 235
4.3.3 Die Gauß-Legendre- und die Gauß-Tschebyscheff-Formeln ... 239
Aufgaben.................................. 242
4.4 Das Romberg-Verfahren.......................... 243
4.4.1 Motivation, Euler-Maclaurinsche Summenformel........ 243
4.4.2 Extrapolationsverfahren...................... 250
Aufgaben.................................. 257
4.5 Ergänzungen................................ 257
4.5.1 Konvergenz von Quadraturverfahren............... 258
4.5.2 Integrale mit Singularitäten, Integration über ein unendliches
Intervall............................... 260
4.5.3
Adaptive
Quadraturverfahren................... 264
Aufgaben.................................. 267
Literaturverzeichnis 269
Index 277
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