Groupes algébriques: 1 Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs
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Paris
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1970
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
Tablb des matières vu
Liste des théorèmes xiii
Avant propos xv
Préréquisites et références xrx
Bibliographie complémentaire xxi
Conventions générales xxv
Chapitre I. Introduction à la géométrie algébrique 1
§ 1. Le langage 1
n° 1 Espaces géométriques 1
n 2 Le spectre premier d un anneau 3
n°3 Z foncteurs 9
n 4 La réalisation géométrique d un Z foncteur 15
n° 5 Produits fibres de schémas 23
n° 6 Relativisation 26
§ 2. Modules quasi cohérents, applications 35
n° 1 Modules sur un espace géométrique 35
n° 2 Morphismes fidèlement plats quasi compacts 41
n° 3 Morphismes affines 46
n°4 Immersions fermées 50
n° 5 Immersions 58
n 6 Un critère pour qu un schéma soit affine 61
n° 7 Transporteurs 63
§ 3. Schémas algébriques 66
n° 1 Morphismes de présentation finie 66
n° 2 Schémas algébriques 70
n° 3 Parties constructibles d un schéma algébrique 74
n 4 Monomorphismes de schémas algébriques 83
n° 5 Rappels sur la dimension de Krull des anneaux noethériens 87
n° 6 Schémas algébriques sur un corps 93
VIII TABLE DES MATIÈRES
§4. Morphismes lisses 97
n° 1 Module d une immersion 97
n°2 Module des différentielles 100
n° 3 Morphismes nets 105
n° 4 Morphismes lisses 108
n° 5 Démonstration du théorème de lisseté 115
n 6 Schémas étales sur un corps 122
§ 5. Morphismes propres 127
n8 1 Morphismes entiers 127
n°2 Critère valuatif de propreté 130
n° 3 Courbes algébriques 134
Chapitre II. Groupes algébriques 139
§ 1. Schémas en groupes 139
n 1 Foncteurs groupes et schémas en groupes: définitions 139
n° 2 Exemples de schémas en groupes 147
n° 3 Opération d un fc groupe sur un Ar schéma 160
§2. Représentations linéaires 169
n° 1 Définitions 169
n° 2 Représentations linéaires des groupes affines 173
n° 3 Existence de représentations linéaires (cas d un corps de base) 181
§ 3. Cohomologie de Hocbschild des schémas en groupes 185
n° 1 Le complexe de Hochschild et la suite exacte de cohomologie 185
n° 2 Extensions et cohomologie de degré 2 189
n° 3 Cohomologie d une représentation linéaire 191
n°4 Calculs de quelques groupes de cohomologie 195
§ 4. Calcul différentiel sur les schémas en groupes 200
n° 1 Points infinitésimaux d un foncteur groupe 200
n° 2 Exemples 202
n° 3 Points infinitésimaux d un schéma en groupes 205
n° 4 Algèbre de Lie d un schéma en groupes 209
n° 5 Opérateurs différentiels 216
n° 6 Opérateurs différentiels invariants sur un schéma en groupes 223
n° 7 Groupes infinitésimaux 230
§ 5. Groupes localement algébriques sur un corps 234
n° 1 Composante neutre, groupes étales 234
n° 2 Groupes lisses 238
n°3 Orbites 242
n° 4 Groupes des points rationnels sur un corps algébriquement clos 244
n° 5 Homomorphismes de groupes algébriques 249
§ 6. Propriétés spéciales i la caractéristique 0 255
n° 1 Algèbre enveloppante et opérateurs différentiels 255
TABLE DES MATIÈRES IX
n° 2 Relations entre groupes et algèbres de Lie 259
n° 3 Application exponentielle 264
§ 7. Propriétés spéciales à la caractéristique p ^t 0 270
n° 1 Morphisme de Frobenius 270
n° 2 Puissance p ième dans Lie (©) 273
n° 3 p Algèbres de Lie 274
n°4 Groupes de hauteur g 1 sur un corps 282
Chapitre III. Applications de la théorie des faisceaux aux groupes algé¬
briques 284
§ 1. Théorie des faisceaux 284
n° 1 Faisceau associé à un Z foncteur 284
n° 2 Propriétés d exactitude de AIE 291
n° 3 Variations sur le thème faisceaux 297
§ 2. Quotient d un schéma par une relation d équivalence finie localement libre . . 299
n° 1 Groupoldes 299
n° 2 Groupes d inertie 303
n° 3 Existence du quotient pour les relations finies localement libres 307
n° 4 Démonstration du théorème 3.2 lorsque la base est affine 308
n° 5 Démonstration du théorème 3.2 dans le cas général 312
n° 6 Quotient par un groupe fini 313
n° 7 Quelques critères de représentabilité des faisceaux quotients 318
§ 3. Espaces homogènes des faisceaux en groupes 323
n° 1 Faisceau des classes à gauche 323
n 2 Quelques critères de représentabilité des espaces homogènes 326
n 3 Faisceaux en groupes quotients 329
n° 4 Automorphismes de l espace projectif 334
n° 5 Existence des quotients pour les groupes algébriques affines sur un corps 339
n° 6 Structure du schéma sous jacent à un groupe algébrique 346
n° 7 Schémas en groupes affines sur un corps. . 353
n° 8 L affinisé d un groupe algébrique 357
§4. Torseurs 360
n° 1 Généralités sur les torseurs 360
n° 2 Exemple: torseurs de groupe structural ©2»t 363
n 3 Torsion 367
n° 4 Suite exacte associée à un sous groupe 370
n° 5 Suite exacte associée à un sous groupe distingué 375
n° 6 Calcul des groupes de torseurs par la méthode de la descente 379
n° 7 Modules inversibles sur les schémas de drapeaux 387
§ 5. Interprétation et calcul de quelques groupes de torseurs 391
n° 1 Groupes d automorphismes comme groupes structuraux 391
n 2 Torseurs de groupe structural D2. 397
n° 3 Groupes de torseurs et cohomologie galoisienne 402
n° 4 Groupes de Galois infinis 407
X TABLE DES MATIÈRES
n° 5 Groupes de torseurs supérieurs 412
n° 6 Groupes de torseurs supérieurs des groupes algébriques commutatifs . . 417
n 7 Cas d un corps de base fini 425
§ 6. Extensions de faisceaux en groupes 431
n° 1 Groupes d extensions 431
n° 2 Groupes d extensions supérieurs. Comparaison avec les groupes de Hoch
schild 438
n° 3 Dérivés du foncteur points fixes 441
n° 4 Extensions de quotient étale 445
n° 5 Extensions de quotient additif 450
n° 6 Extensions de quotient multiplicatif 452
n° 7 Extensions de quotient infinitésimal 454
n° 8 Extensions de p algèbres de Lie et fl extensions 459
n° 9 Application à la cohomologie d Amitsur des extensions radicielles . . . 464
Chapitre IV. Groupes affines commutatifs, nilpotents, résolubles 471
§ 1. Groupes multiplicatifs 472
n° 1 Groupes diagonalisables 472
n 2 Groupes multiplicatifs 474
n° 3 Groupes multiplicatifs et groupes étales commutatifs 477
n° 4 Extensions de groupes multiplicatifs 480
§ 2. Groupes unipotents et trigonalisables 483
n° 1 Sous groupes du groupe additif 483
n°2 Groupes unipotents 485
n° 3 Groupes trigonalisables 491
n° 4 Groupes unipotents en caractéristique 0 497
§ 3. Groupes commutatifs 501
n° 1 Décomposition des groupes affines commutatifs 501
n° 2 Points rationnels semi simples et unipotents 504
n° 3 Application: groupes dont toutes les représentations sont semi simples 507
n°4 Homomorphisme de décalage 511
n° 5 Groupes commutatifs finis 517
n° 6 Groupes annulés par le décalage 519
§ 4. Groupes nilpotents et résolubles 525
n° 1 Groupes nilpotents 525
n° 2 Groupes résolubles 528
n° 3 Groupes fc résolubles 530
n°4 Lois de groupe sur l espace affine 536
Chapitre V. Structure des groupes affines commutatifs 539
§ 1. Groupes unipotents commutatifs sur un corps parfait 539
n°l Le calcul de Witt 539
n° 2 Extensions de groupes de Witt 545
n° 3 L anneau des endomorphismes de 2B* 548
TABLE DES MATIÈRES XI
n°4 Le théorème de structure 551
n° 5 Calcul de quelques groupes d extensions 556
§ 2. Catégories proartiniennes 560
n° 1 Un exemple: modules profinis 560
n° 2 Définition des catégories proartiniennes, exemples 563
n° 3 Structure des catégories proartiniennes 565
n° 4 Structure des objets projectifs dans une catégorie proartinienne 569
§ 3. Isogénies de groupes affines commutatifs 575
n° 1 Groupes profinis 575
n° 2 Groupes affines projectifs 577
n° 3 Extension profinie universelle d un groupe affine commutatif 579
n° 4 Variation sur le thème des extensions universelles (k parfait) 584
n° 5 Isogénies de groupes multiplicatifs 588
n° 6 Isogénies de groupes unipotents 589
n° 7 Structure des groupes affines projectifs 596
§ 4. Modules de Greenberg 601
n° 1 SSt modules et 28(fc) modules 601
n 2 Structure des anneaux locaux complets 606
n° 3 Le groupe des unités d un corps local 610
n° 4 L exponentielle d Artin Hasse (cas d égale caractéristique) 617
n° 5 Modules de Dieudonné et dualité de Cartier 621
§ 5. Anneau universel et vecteurs de Wltt 625
n° 1 Groupes réceptifs 625
n° 2 L anneau universel 631
n° 3 Décomposition de l anneau universel 635
n° 4 Retour aux vecteurs de Witt 638
n° 5 L exponentielle d Artin Hasse (cas général) 641
Appendice. Corps de classes local (par Michiel Hazewinkel) 648
n° 1 Généralités sur les extensions de corps locaux 648
n° 2 Décomposition des extensions galoisiennes d un corps local 651
n° 3 La norme 654
n 4 Groupe de Galois et groupe des unités 658
n° 5 Extensions cycliques de degré premier 662
n 6 Extensions abéliennes de K et extensions de Ur 667
n° 7 Groupe de Galois des extensions abéliennes d un corps local 671
Dictionnaire fonctorœl 675
Index des notations 682
Index terminologique 691
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