Mathematik für Ingenieure und Techniker: Ein Lehrb.
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München, Wien
Oldenbourg
1965
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Die hereingerückten Zeilen deuten auf Heryorhebenswertes unter der betreffenden
Nummer
A. Arithmetik und Algebra Mlr
§1. Potenzen 13
5 2. Binomischer Satz für ganze positive Exponenten 14
5 3. Binomischer Satz für die Exponenten —»,--. — - - 17
~ m- m
§4. Wurzeln , 20
5 5. imaginäre und komplexe Zahlen 21
§6. Logarithmen 23
5 7. Komplexionslehre 27
5 8. Determinanten 33
59. Gleichungen ersten Grades 39
Das Eliminationsverfahren von Gauß 44
Verhältnisgleichungen 44
$ 10. Gleichungen zweiten Grades 46
Exponential- und logarithmische Gleichungen 49
|H. Gleichungen dritten und höheren Grades 50
Das Divisionsverfahren nach Homer 52
Numerische Gleichungen 53
Algebraische Lösung kubischer Gleichungen 62
Algebraische Lösung biquadratischer Gleichungen 68
112. Arithmetische Reihen 71
513. Höhere-arithmetische Reihen 72
514. Geometrische Reihen 78
Zinseszins- und Rentenrechnung 80
5 15. Unendliche Reihen 83
Methode der unbestimmten Koeffizienten 90
516. Wahrscheinlichkeitsrechnung 92
B. Elementargeometrie
117. Ähnliche Dreiecke und proportionale Strecken 102
518. Flächeninhalt ebener Figuren 108
{19. Schwerpunkte Ton Linien und Flächen 116
5 20. Oberflächen- und Rauminhalt von Kärpern 119
C. Trigonometrie
521. Winkel- und Knisfunktionen 131
| 22. Berechnung ebener Dreiecke 136
5 23. Umformung trigonometrischer Ausdrücke 142
5 24. Umformung durch komplexe Zahlen 153
f 25. Berechnung sphärischer Dreiecke 158
— 8 —
D. Analytische Geometrie Seite
§ 26. Koordinaten und grundlegende Methoden 169
1. Einleitendes 169
2. Parallelkoordinaten der Ebene 170
3. Inverse Funktionen und Funktionskurven 171
4. Einfache Gleichungen ebener Gebilde 174
5. Die Gleichungen der Kegelsehnittkurven 178
6. Die Zykloiden oder Rollkurven 180
7. Polarkoordinaten der Ebene 182
8. Rechtwinklige Parallelkoordinaten des Raumes 184
9. Elemente im rechtwinkligen System des Raumes 185
10. Polarkoordinaten des Raumes 187
§ 27. Transformation der Koordinaten 188
1. Einleitendes . 188
2. Translation eines Parallelkoordinatensystems der Ebene . . 18S
3. Rotation eines Cartesischen Systems um den Ursprung • . 190
4. Allgemeine Transformation rechtwinkliger Koordinaten ¦ . 190
5. Rechtwinklige und Polarkoordinaten 191
6. Translation rechtwinkliger Koordinaten des Raumes.... 191
7. Allgemeine Transformation rechtwinkliger Raumkoordinaten 192
5 28. Die Gerade und die Gleichung ersten Grades 193
1. Einleitendes 193
2. Segmentgleichung der Geraden 194
3. Normalgleichung der Geraden . 194
4. Geradenbüschel durch einen Punkt 196
5. Die Gerade durch zwei Punkte 196
6. Teilungsverhältnis in der Geraden 197
7. Abstand eines Punktes von einer Geraden 198
8. Schnittpunkt und Winkel zweier Geraden 199
S. Gerade, bestimmt durch Punkt und Richtung 200
10. Abstand zweier Parallelen 201
11. Geradenbüschel, bestimmt durch zwei Gerade 202
12. Teilungsverhältnis im Geradenbüschel 203
13. Wiederholung einiger Aufgaben mit Determinantenlösung . ZÜS
§ 29. Die Gleichungen und die Linien zweiten Grades 207
1. Kreisgleichungen 207
2. Der Kreis durch drei Punkte 208
3. Der Kreis und die Gerade 209
4. Die Gleichungen zweier Kreise 210
5. Die Gleichung der Tangente des Kreises 211
6. Ellipse, Parabel und Hyperbel 212
7. Mittelpunktgleichungen der Ellipse und Hyperbel 214
8. Spezielle Definition für Ellipse und Hyperbel 216
9. Diskussion der Ellipsengleichungen 217
10. Sehnen und konjugierte Durchmesser der Ellipse 220
11. Gleichung der Ellipsentangente 222
12. Diskussion der Hyperbelgleichungen 223
13. Die Asymptotengleichung der Hyperbel 226
14. Sehnen, Tangenten und konjugierte Durchmesser der Hyperbel 228
15. Diskussion der Parabelgleichungen 230
16. Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale der Kegel¬
schnitte 232
— 9 —
Seile
| 30. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades 234
1. Einleitendes 234
2. Erste Transformation der allgemeinen Gleichung- 234
3. Zweite Transformation der allgemeinen Gleichung .... 236
4. Weitere Berechnungen und Kriterium 239
5. Zahlenbeispiel 240
6. Noch ein besonderer Fall der Gleichung zweiten Grades . 242
7. Die Linien zweiten Grades durch fünf Punkte 242
§31. Ebene, Gerade und Punkt im Räume 243
1. Einleitendes 243
2. Die Normalgleichung der Ebene 244
3. Die Segmentgleichung der Ebene 245
4. Die Ebene durch drei gegebene Punkte 247
5. Abstand eines Punktes von einer Ebene 248
6. Winkel zweier Ebenen 249
7. Ebenenbüschel, bestimmt durch zwei Ebenen 251
8. Teilungsverhältnis im Ebenenbüschel 251
9. Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen 253
10. Geradenbündel und parametr. Gleichung der Geraden . . . 254
11. Gerade durch zwei Punkte 256
12. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 257
13. Ebene durch eine Gerade und einen Punkt 258
14. Winkel einer Geraden mit einer Ebene 259
15. Zwei Gerade im Räume 260
§ 32. Krumme Flächen 261
1. Einleitendes 261
2. Flächengleichungen 262
3. Krumme Linien im Räume 263
4. Rotationsflächen 265
5. Affine Transformationen 268
6. Konoidflächen 270
7. Hyperbolisches Paraboloid 271
E. Differential- und Integralrechnung
§ 33. Einleitende Betrachtungen und Anknüpfungspunkte 276
Sehr große und sehr kleine Zahlen 278
Die Ordnungen des Unendlichkleinen 281
Differentialquotient und Integral 282
§ 34. Grundlehren, Methoden und Formeln 283
1. Wiederholung mit Hinweis auf Anwendungen 283
2. Allgemeine Differenzierungsregeln; x und auf . . . . . . 285
3. Tangentenbestimmungen 286
4. Differentialformeln für Summe, Produkt und Quotient . . 287
5. Die Potenzfunktion y = z 290
6. Maxima und Minjma der Funktionen 291
7. Reihen von Maclaurin und Taylor 297
8. Geometrische Bedeutung von y = / {x) und -r* = / x) . . 301
9. Bestimmte und unbestimmte Integrale 302
10, Integralformeln fflr Summe und Potenz mit Beispielen . . 306
11. Die wichtige Funktion e 308
— 10 —
Seite
12. Die Integrale axdx, e*dx, j -£ und logarithm. Reihen 311
13. Die wichtige Funktipn sin x 316
14. Die Reduktionsformel: { udv = uv—I vdu 324
0 oo
15. Ermittlung der Werte unbestimmter Formen -g-, —¦ usw. 327
16. Quadratur der Kurven 329
17. Rektifikation der Kurven 333
18. Kurvenkrümmung und Krümmungsradius . 335
19. Allgemeine Wiederholung in einem Beispiel 338
20. Die Hyperbelfunktionen 341
21. Differential- und Integralformeln der Hyperbelfunktionen . 346
§35. Fortsetzung der Differentialrechnung 349
1. Partielle und totale Differenzierung von / (x, y) 349
2. Endlichkeit und Stetigkeit der Funktionen 353
3. Ableitung nicht entwickelter Funktionen 35S
4. Funktionen der Form x = p (i), y = y (t) sowie y — f [y (z)] 356
5. Singuläre Punkte einer Kurve 358
6. Einhüllende Kurven und Umhüllungslinien 362
7. Maxima und Miniina von z = / (x, y) 364
Kürzester Abstand zweier Geraden im Räume 366
§ 36. Fortsetzung der Integralrechnung . 367
1. Integration rationeller Brüche durch Zerlegung in Teilbrüche 367
2. Integration irrationaler Differentiale 372
3. Integration transzendenter Differentiale 380
4. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale 387
Rektifikation der Ellipse 392
Elliptisches Integral zweiter Gattung 392
5. Anwendung von Polarkoordinaten 397
6. Volumen und Mantelflächen von Rotationskörpern .... 401
7. Fouriersche Reihen mit Beispielen 403
Addition von Sinuswellen 403
Gerade und ungerade Funktionen 405
5 37. Fortsetzung der Anwendungen 414
1. Gradlinige Bewegung eines Punktes 414
2. Trägheit, Kraft, Masse, Wurfbewegung, freier Fall .... 417
3. Arbeit, kinetische Energie, Bewegungsgröße, Impuls ... 422
4. Krummlinige Bewegung, Zentripetalbeschl., Fliehkraft. . . 425
5. Statische Momente, Schwerpunktbestimmungen 428
6. Trägheitsmomente 432
Trägheitsellipse, Trägheitsellipsoid 438
7. Parallele Kräfte, graphische Integration 439
Trägheitsmoment einer unregelmäßigen Figur 442
F. Differentialgleichungen
538. Gewöhnliche Differentialgleichungen 443
1. Geometrische Bedeutung der Differentialgleichung!. Ordnung 443
2. Trennung der Variablen 444
3. Totale Differentialgleichung und integrierender Faktor. . . 448
— 11 —
Seite
4. Substitution neuer Variablen 454
Lineare Differentialgleichungen 455
5. Differentialgleichungen verschiedener Grade 457
Singulares Integral einer Differentialgleichung 460
6. Differentialgleichungen 2. Ordnung 460
7. Weitere Beispiele von Differentialgleichungen 2. Ordnung . 467
Bewegung eines Massenpunktes durch Anziehungszentrum . 468
Pendelschwingungen 470
Genauere Pendelformel 471
Elliptisches Integral erster Gattung 472
Bewegung eines Massenpunktes durch Abstoßungszentrum . 473
Catenaria oder Kettenlinie 474
Kurven mit Krümmungshalbmessern proport. der Normalen 476
8. Homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konst. Koef¬
fizienten 479
Gedämpfte Schwingungen 482
9. Homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit veränderl,
Koeffizienten 488
Substitution von Reihen . 489
10. Vollständige lineare Differentialgleichung 2. Ordnung . . . 493
11. Homogene Differentialgleichung nter Ordnung mit konst.
Koeffizienten 497
§ 39. Partielle Differentialgleichungen 499
1. Geometrische Bedeutung der partiellen Differentialgleich. . 499
2. Die Integration linearer partieller Differentialgleichungen
1. Ordnung 502
3. Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung .... 505
Zwei besondere Gleichungen 508
Das allgemeine Integral einer part. Differentialgleichung
2. Ordnung 509
4. Ein ausführliches Beispiel aus der theoretischen Physik . . 510
G. Vektoranalysis
5 40. Die Elemente und Rechnungsregeln 516
1. Geschichtliches 516
2. Skalare, Vektoren und vektorielle Addition 517
3. Beispiele aus der Bewegungslehre 520
4. Richtungszahlen und vektorielle Multiplikation 522
Skalares oder inneres Produkt 522
Vektorielles oder äußeres Produkt . . . 523
5. Summen von Vektorprodukten und Zerlegungen 525
J41. Erweiterung der Theorie mit Anwendungen 528
1. Potential, Kraftfelder und Gradient 528
2. Kraftlinien, Kraftröhren, Feldstärke 531
Die Darstellung des elektrischen Feldes 534
3. Divergenz und Rotation; divgrad, rotgrad, div rot .... 535
Vektorielle Differentialquotienten höherer Ordnung .... 538
4. Der Integralsatx von Stokes und die Rotation 539
- 12 —
Seite
H. Differentialgeometrie
§ 42. Differentialgeometrie in der Ebene 543
§ 43. Raumkurven 549
§ 44. Flächentheorie 558
I. Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Qua¬
drate
§ 45. Allgemeines und Ausgleichung direkter Beobachtungen 569
1. Einleitung und Geschichtliches 569
2. Erklärung über Beobachtungsfehler 570
3. Der durchschnittliche Fehler 571
4. Der mittlere Fehler 573
5. Fehlerfortpflanzungsgesetze 575
6. Das einfache arithmetische Mittel 578
7. Gewichte und das allgemeine arithmetische Mittel 581
8. Winkelausgleichung in einem Dreieck 585
9. Bestimmung des mittleren Fehlers aus Beobachtungsdifferenzen 588
§ 46. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 591
1. Allgemeines Ausgleichungsprinzip 591
2. Vermittelnde Beobachtungen mit 2 Unbekannten 592
3. Auflösung der Normalgleichungen nach Gauß 595
4. Gewichtskoeffizienten und Gewichtsgleichungen 600
5. Bestimmung des mittleren Fehlers der Beobachtungen .... 604
6. Ausgleichung eines Nivellementsnetzes 605
§ 47. Ausgleichung bedingter Beobachtungen 609
1. Bedingte zurückgeführt auf vermittelnde Beobachtungen . . 609
2. Bedingte Beobachtungen mit Korrelaten fi11
3. Nivelliernetz-Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen . . 614
4. Gewicht einer Funktion der ausgeglichenen Elemente 618
5. Ausgleichung der 3 Winkel eines ebenen Dreiecks 622
6. Winkelmessung und Richtungsmessung 623
7. Bedingungsgleichungen im Dreiecksnetz 624
8. Größeres Beispiel einer Triangulierungs-Ausgleichung .... 629
§ 48. Wahrscheinlichkeitstheorie in bezug auf Ausgleichungsrechnung ... 634
1. Wahrscheinlichkeit der Beobachtungsfehler 634
2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion 636
3. Reihenentwicklungen 638
4. Der wahrscheinliche Fehler r 640
5. Wahrscheinlicher Fehler r und mittlerer Fehler m 641
6. Durchschnittlicher Fehler t und Fehlerbeziehungen 642
7. Graphische Darstellung des Fehlergesetzes 644
Dasgriechische Alphabet 6
Bedeutung einiger Zeichen 6
Sachverzeichnis 647
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