Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie: eine Revision der Principien ; Vorlesung, gehalten während des Sommersemesters 1901
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Seite
Einleitung.......................................................... 1
I. Von den Funktionen reeller Veränderlicher
und ihrer Darstellung im rechtwinkeligen
Koordinatensystem.
1. Erläuterungen über die einzelne unabhängige
Variable x
Empirische und abstrakte Genauigkeit. Der moderne Zahlbegriff ... 5
Präcisions- und Approximationsmathematik, auch in der reinen Geometrie 11
Anschauung und Denken, erläutert an verschiedenen Teilen der Geometrie 20
Exemplification an zwei einfachsten Sätzen über Punktmengen .... 25
2. Funktionen топ x.
Die abstrakte und die empirische Festlegung einer Funktion (Idee des
Funktionsstreifens).................................................32
Von der Leistungsfähigkeit der räumlichen Anschauung................39
Von der Genauigkeit der Naturgesetze (mit Excurs über die verschiedenen
Ideen betr. die Constitution der Materie)...........................11
Attribute der empirischen Curve: Zusammenhang, Richtung, Krümmung 50
Cauchy’s Definition der stetigen Funktion. Wie weit reicht die Analogie
mit der empirischen Curve?......................................... 59
Die Integrierbarkeit der stetigen Funktion ........................... 65
Der Satz von der Existenz des Maximums, bezw. Minimums..............72
Die 1 Grenzwerte des Differenzenquotienten.............................76
Weierstrass’ nicht differentierbare Funktion; ihr Allgemeinverlauf ... 83
Ihre Nichtdifferentierbarkeit..........................................93
Die „vernünftigen“ Funktionen ........................................101
3. Yon der angenäherten Darstellung der Funktionen. Seite
Approximation empirischer Daten durch vernünftige Funktionen .... 103
Annäherung vernünftiger Funktionen durch einfache analytische Ausdrücke 109
Lagrange’s Interpolationsformel......................................110
Der Taylor’sche Satz und die Taylor’sche Heike.....................117
Annäherung des Integrals und des Differentialquotienten durch die Tay-
lor’sche Reihe......................................,......121
Von den analytischen Funktionen und ihrer Verwendung für die Natur-
erklärung . . . ,.............................................126
Interpolation durch eine endliche trigonometrische Reihe.............139
4. Nähere Ausführungen zur trigonometrischen Dar-
stellung der Funktionen.
Fehlerabsehätzung bei der Darstellung empirischer Funktionen .... 114
Trigonometrische Interpolation Jgemüss der Methode der kleinsten Quadrate 150
Der harmonische Analysator, nebst Beispielen trigonometrischer Reihen . 152
Art der Annäherung durch endliche trigonometrische Reihen..........158
Tschebycheff’s Arbeiten über Interpolation...........................166
5. Funktionen zweier Veränderlicher.
Grundbegriffe der Stetigkeit u. s. w., der Entwickelbarkeit........172
d 2 f d2f
Praktische Beispiele von Funktionen, für welche -,—,֊ C- —=- . . . 179
* dxdy ^ d y dx
Approximative Darstellung von Funktionen der Kugelfläche durch Reihen
nach Kugelfunktionen..............................................190
Die Werteverteilung der Kugelfunktionen über die Kugel hin.........202
Fehlerschätzung bei der abbrechenden Kugelfunktionenreihe............205
II. Freie Geometrie.
1. Präcisionstheoretische Betrachtungen zur ebenen
Geometrie.
Sätze über Punktmengen...............................................211
Punktmengen, die durch Inversion an 2 oder mehr sich nicht schneidenden
Kreisen hervorkommen..............................................213
Eigenschaften dieser Mengen. Allgemeine Wichtigkeit der Punktmengen
in der Geometrie..................................................228
Begriff des 2-dimensionalen Continuums. Allgemeiner Curvenbegrift . . 233
Von der Peano-Curve, die ein ganzes Quadrat überdeckt ...............238
Engerer Curvenbegriff: die Jordan-Curve..............................247
Weitere Einengung des Curvenbegriffs : die reguläre Curve............251
Approximation anschaulicher Curven durch reguläre Idealcurven .... 257
Seite
Vorstellbarkeit der Idealcurven.......................................260
Spezialisierung der Idealcurven: Analytische, algebraische Curven. Geo-
metrische Erzeugung der letzteren nach Grassmann...............262
Beherrschung des Empirischen durch Idealgebilde; Perry’s Standpunkt . . 272
2. Fortsetzung; der präcisionstheoretischen Betrach-
tungen zur ebenen Geometrie.
Iterierte Inversion an 2 sich berührenden Kreisen.....................275
Dasselbe an 3 sich berührenden Kreisen („Modulfigur“).................284
Der Normalfall von 4 sich in cyklischer Reihenfolge berührenden Kreisen
(grosse Figur auf pg. 296)......................................... 293
Der allgemeine Fall von 4 sich in cyklischer Reihenfolge berührenden
Kreisen (grosse Figuren auf pg 304, 307)........................... 298
Eigenschaften der hierbei entstehenden nicht-analytischen Curven . . . 309
Voraussetzung dieser ganzen Entwickelungen. Weitere Idealisierung bei
Veronese..........................................................317
3. Uebergang zur praktischen Geometrie: A) Geodäsie.
Ungenauigkeit aller praktischen Messungen. Ausführungen beim Po-
thenot’schen Problem...............................................328
Festlegung des Genauigkeitsmaasses durch iterierte Messungen. Principielle
Auffassung der Methode der kleinsten Quadrate .....................333
Approximatives Rechnen, erläutert am Legendre’schen Satze für kleine
sphärische Dreiecke................................................336
Die geodätische Bedeutung der kürzesten Linie auf dem Erdsphäroid (nebst
Postulaten betr. die Theorie der Differentialgleichungen)..........339
Von dem Geoid und seiner praktischen Festlegung .................„... . 349
4. Fortsetzung der praktischen Geometrie: B) zeich-
nende Geometrie.
Postulierung einer Fehlertheorie auch für die zeichnende Geometrie, erläutert
an der zeichnerischen Wiedergabe des Pascal schen Satzes...........358
Von der Möglichkeit, aus der empirischen Gestalt auf Eigenschaften der
Idealcurve zu schliessen...........................................366
Anwendung des Verfahrens speziell auf algebraische Curven. Algebraische
Vorkenntnisse, die wir voraussetzen................................371
Aufstellung des zu beweisenden Theorems : w’ + 21” = n (n—2) .... 381
Prinzipien des zu führenden ՛ Continuitätsbeweises....................386
Uebergang der Cn durch eine Form mit Doppelpunkt......................392
Beispiele von Curven, bei denen das Theorem stimmt, für gerade n . . 398
Desgleichen für ungerades n...........................................407
Erläuterung des Continuitätsbeweises an Beispielen ................ 413
Durchführung des Continuitätsbeweises.............................. 421
#
III. Anhang: Von der Versinnlichung idealer
Gebilde durch Zeichnungen und Modelle. Seite
Gestaltliche Verhältnisse bei singularitätenfreien Raumcurven, insb. Cs
(Projektionen der Curven und ebene Schnitte der Developpablen) . . 424
Die 7 Arten singulärer Punkte von Raumcurven..........................347
Allgemeines über die Gestalt singularitätenfreier Flächen.............441
Von den Doppelpunkten der F3, insbesondere ihren biplanaren und uni-
planaren Punkten...................................................447
Von dem gestaltlichen Verlauf der F3 überhaupt........................457
Appell zu immer erneuter Correktur des traditionellen Wissenschaftsbetriebes
durch Naturbeobachtung.............................................467
Berichtigung:
pg. 45 Zeile 24 statt Genauigkeit lies Unbestimmtheit.
pg. 46 Zeile 5 und 6 statt und für das Intervati bis zu den entferntesten
Planeten als völlig unbestimmt und gering an lies und nur für das Inter-
vall bis zu den entferntesten Planeten als sehr gering an.
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