Précis élémentaire de la théorie des fonctions elliptiques avec tables numériques et applications:
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Gauthier-Villars
1898
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Pagp»
Préface v
Errata XII
CHAPITRE I.
Notions préliminaires 1
Représentation des quantités imaginaires. — Points critiques, fonctions
holomorphes, méromorphes, uniformes.
CHAPITRE II.
Des séries [formules (i) à (19)] 7
Étude préliminaire d une fonction holomorphe, périodique de troisième
espèce. — La fonction 8: périodes, zéros; équation à trois termes. —
Les fonctions 8,, 8j, 83 : développements en séries d exponentielles ou
de lignes trigonométriques, changement de signe de l argumeDt, addi¬
tion des périodes et des demi périodes, zéros, relations quadratiques,
développements en produits. — Exercices.
CHAPITRE III.
Fonctions Su, o au, %u [formules (20) à (4o)] 38
Définitions : parité, zéros, développement suivant les puissances de «;t,,,
Ti2, TU! addition des périodes et des demi périodes. — Équation à trois
termes: formules d addition. — Ç«: addition des périodes, parité, for¬
mule d addition. — Exercices.
CHAPITRE IV.
Des fonctions elliptiques [formules (4i) à (69)] 39
Premier point de vue : pu, double périodicité, parité, racines de la déri¬
vée, introduction de pu dans les formules du Chapitre précédent.—
Deuxième point de vue: sn«, cnu, dnu; parité, périodicité, zéros,
X TABLE DES MATIÈRES.
Pages
pôles, relations fondamentales. — Première formule d addition de pu;
équation différentielle de pu. — Les puissances de pu en fonction li¬
néaire de pu et de ses dérivées. — Deuxième formule d addition de pu.
y pu—erJ_ est uniforme. — Expression de ea en fonction des 9. — Rap¬
prochement entre les différentes constantes. — Relation entre pu et
sn«.— Équations différentielles de sn«, en m, dn«. — Variation de pu
(valeurs réelles); formule d homogénéité.— Variation de sou. — Exer¬
cices.
CHAPITRE V.
Intégration par les formules elliptiques [formules (70) à (73)] 73
Intégration des fonctions qui sont rationnelles par rapport aux fonctions
elliptiques. — Inversion. — Intégrales complètes de Legendre. — Exer¬
cices.
CHAPITRE VI.
Calculs numériques : usage des Tables 86
Calcul de u,, »2, t)1; ¦% dans les deux cas du discriminant positif et du dis¬
criminant négatif. — Connaisssant u et k, calculer snu, cnu, dna, pu,
p u, Ç« et problème inverse. — Exercices.
CHAPITRE VII.
Applications 106
Applications mécaniques: Pendule simple; élastique plane; mouvement
d un projectile dans un milieu où la résistance est proportionnelle au
cube delà vitesse ; moyen de former une Table des valeurs de p « lorsque
o 2 = o, intégrales pseudo elliptiques; pendule sphérique, équation de
Lamé.
Applications géométriques : Arc d ellipse, théorème de Fagnano; aire de
• l ellipsoïde, expression au moyen des fonctions de Weierstrass, compa¬
raison avec la formule de Legendre.
Application algébrique : Résolution de l équation du quatrième degré;
exemple numérique. — Exercices.
CHAPITRE VIII.
Deuxième méthode de calcul : emploi des séries 8 163
Les constantes K, K , q, u,, i 2, r,,, t,2. Les fonctions snw, cn«, dna, pu,
Ç«, ru connaissant u, et problème inverse. — Mêmes problèmes avec le
discriminant négatif. — Exercices.
TABLE DES MATIÈRES. XI
CHAPITRE IX.
Pages
Compléments : décomposition en facteurs et en éléments simples; multi¬
plication de l argument; addition de sn« 182
Rappel des théorèmes relatifs à l intégration le long de contours imagi¬
naires. — Application aux fonctions elliptiques; construire une fonc¬
tion elliptique : i° connaissant ses pôles et ses zéros; 20 ses pôles et ses
parties infinies dans le voisinage de chaque pôle. — Multiplication de
l argument pour pu. — Deuxième démonstration des formules qui
donnent sn(« + e), cn( u + v), àn(u+ v).
NOTES.
I. — Réduction de quatre intégrales aux fonctions elliptiques 193
II. — Dégénérescences 197
III. — Inversion en quantités réelles par les fonctions de Jacobi 198
; IV. — Application numérique des fonctions elliptiques au mouvement
, presque vertical des projectiles 300
Exercices divers 206
Quelques valeurs des fonctions de Jacobi 212
résumé des principales formules 2l3
Comparaison des notations du Précis avec celles de quelques Ouvrages. 222
Tables numériques 225
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