Traité d'analyse: 3 Calcul intégral : intégrales définies et indéfinies
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Paris
Gauthier-Villars
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| adam_text | TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I.
Introduction.
Payes.
1. Dccomposiiion des fractions rationnelles en éléments simples... i
2. Remarque sur le mode de décomposition............................ 5
3. Calcul des coefficients........................................*.. 7
CHAPITRE II.
Calcul des intégrales.
1. Définitions...................................................... ։i
2. Des intégrales définies.......................................... i»
.1. Cas dans lesquels une fonction admet une intégrale définie..... i5
Théorème sur les fonctions continues........................... 17
Nouveau cas où l’intcgrale existe.............................. 18
fi. Propriétés fondamentales des intégrales définies.................. 20
7. Généralisation de la notion d’intégrale définie................... 24
8. Des intégrales indéfinies......................................... 2G
9. Intégration par parties........................................... 28
10. Différentiation sous le signe ƒ................................ 29
U. Intégration par substitution..................................... 3i
12. Intégration des fonctions rationnelles..... ..................... 3a
13. Nouvelle méthode pour intégrer les fonctions rationnelles..... 37
1 i. Sur les intégrales des fonctions imaginaires..................... 3g
15. Intégration des fonctions rationnelles de x et d’un radical... 4°
16. Méthode rapide pour le calcul de l’intégrale d’une fonction ration-
nelle de x et d’un radical !ax։ ■+֊ bx H- c................ 44
17. Intégration de quelques fonctions réductibles aux fonctions ration-
nelles ........................................................ 48
18. Intégration des différentielles binômes.......................... 4g
19. Intégrales des fonctions exponentielles.......................... 53
20. Intégrales des fonctions logarithmiques.......................... 57
21. Intégrales des fonctions trigonomètriques....................... 58
22. Intégration de sin“a; cos6a;.................................... 61
5o4 TAULE DES MATIÈRES.
Rages
23. Intégration des fonctions contenant des lignes trigonomètriques et
des exponentielles ou des puissances de la variable........ 6j
24. Méthodes diverses de quadrature................................ GG
25. Diverses expressions de l’aire de l’ellipse.................. 70
26. Aires de l’hyperbole et de la parabole....................... 71
27. Exemples divers................................................ 70
28. Longueur de quelques arcs...................................... 79
29. Quelques aires et quelques ares eu coordonnées polaires...... 82
30. Sur quelques courbes dont l’arc peut s’obtenir en termes finis.. 83
Exercices et notes.................................................. 84
CHAPITRE III.
Théorie des intégrales définies.
1. Calcul direct de quelques intégrales définies................ 89
2. Des intégrales définies singulières de Cauchy................ 92
3. Étude du cas où la fonction placée sous le signe d’intégration de-
vient infinie................................................. qfi
4. Explication d’un paradoxe........................................ 99
5. Des intégrales prises entre des limites infinies............. iot
G. Théorème de Cauchy............................................... io5
*7. Rapprochements entre les séries et les intégrales définies........ 107
8. Sur les précautions à prendre quand 011 passe de l’intcgrale indé-
finie à l’intégrale definie......................................... 109
*9. Théorie des indices de Cauchy................................... un
10. Des précautions à prendre quand on effectue un changement de
variables...................................................... 116
11. Remarques au sujet de l’intégration par parties................ 120
12. Différentiation sous le signe J™............................... iî3
13. Cas où les limites sont variables.............................. 128
14. Intégration sous le signe J՝...................................... ։3o
15. Application des règles précédentes................................ ։3i
16. Quelques intégrales obtenues par diverses méthodes.............. 13j
17. Des intégrales des differents ordres............................. i38
18. Formule de Taylor.............................................. i ji
Exercices et notes..................................................... i43
CHAPITRE IV.
Sur les intégrales multiples.
1. Définitions....................................................
*2. Du changement de variable dans les intégrales multiples......... i5i
*3. Différentiation des intégrales multiples........................ iSj
TABLE DES MATIÈRES.
5o5
Paires.
4. Application à l’évaluation des volumes....................... i5G
5. Volumes en coordonnées obliques.............................. 1G0
6. Emploi des coordonnées polaires.................. ........... 162
7. Volumes trouvés par des méthodes diverses.................... i63
8. Sur la mesure des surfaces courbes........................... 166
*9. Aires des surfaces en coordonnées polaires................... 168
10. Quadrature de quelques surfaces............................. 170
11. Théorèmes de Gauss.......................................... 175
*12. Sur la différence des valeurs que peut prendre une intégrale mul-
tiple en intervertissant l’ordre des intégrations............ 176
13. Remarques au sujet des intégrales multiples prises entre des
limites infinies............................................ 179
*14. Théorème général sur les séries doubles........................ 181
*15. De l’hypercspace................................................ i83
*16. Surfaces fermées................................................ 184
*17. Mesure de l’étendue des variétés................................ 186
,*18. Surface de l’hypersphcrc....................................... 187
*19. Théorème de Green.............................................. 189
*20. Théorème de M. Kronccker ...................................... 190
Exercices et notes.................................................. 19.»
CHAPITRE V.
Intégrales des différentielles totales.
1. Conditions pour qu’une fonction soit une différentielle exacte... 198
2. Remarques au sujet des conditions d’intégrabilité............. 201
3. Application.................................................. 204
4. L’intégration d’une différentielle exacte se ramène à une seule
quadrature.................................................. 20.4
5. Application de la méthode précédente.......................... 208
G. Intégration d’une fonction le long d’une ligne. — Théorème de
Cauchy....................................................... 209
*7. Interprétation géométrique des conditions d’intégrabilité..... 2։3
*8. Conditions pour qu’une expression soit une dérivée............ 21Ó
9. Intégration..............................................r .. 217
*10. Condition pour qu’une fonction soit une dérivée d’ordre supérieur
au premier................................................... 220
Exercices et notes.................................................. 22 r
CHAPITRE VI.
Intégrales définies prises entre des limites imaginaires et résidus
de Cauchy. 1 2
1. Fonctions monogènes............................................ 228
2. Fonctions monodromes........................................... 224
5o6
TABLE DES MATIÈRES.
Pages
3. Exemples des fonctions non monodromes....................... 2a5
4. Application des considérations précédentes à la fonction logarith-
mique........................................................ 228
5. Intégrales des fonctions imaginaires.......................... 23o
G. Théorème de Riemanu.......................................... a3/¡
7. Théorème fondamental de Cauchy................................ 237
8. Cas où le théorème de Cauchy est en défaut.................... 240
Í). Différentiation sous le signe j ............................... 241
10. Calcul des résidus de Cauchy.................................... 242
11. Application du calcul des résidus à la recherche des intégrales
définies. — Fractions rationnelles.......................... ։_48
12. Sur l’intcgrale f S—— 25,
J 0 x
13. Sur l’intégrale J՝ ^x................................ 284
50 gas
dz................................. a55
15. Intégrales de Fresnel............................................ 207
16. Sur une formule générale propre à faire connaître un grand
nombre d’intégrales définies.................................... 260
*17. Intégrales définies de fonctions non monodromes.................. 203
18. Formule de Frullani................................................ 265
Exercices et notes.................................................... 268
CHAPITRE VII.
Intégration par les séries.
1. Théorèmes do Cauchy...................................
2. Extension du théorème de Cauchy.......................
*3. Sur la continuité des fonctions représentées par des séries
4. Calcul des intégrales par les séries..................
5. Série de Rernoulli....................................
6. Application au développement de quelques fonctions....
7. Sur la résolution des triangles par les séries..
8. Résolution de l’équation tangs = m tanga..............
*9. Formule du binôme.......................................
10. Théorème de Cauchy sur le développement des fonctions.
11. Formule du binôme......................................
12. Quelques autres développements.........................
*13. Puissance d’une série... ..............................
*14. Formule de Laurent.....................................
x15. Du point de vue auquel 011 peut considérer les résidus-
*10- Quelques théorèmes concernant les produits infinis.....
*17. Conversion des produits en séries......................
-1/1
276
278
282
286
287
290
29։
?9:5
294
296
299
Зої
3o3
305
306
З10
TABLE DES MATIÈRES.
507
Pain*֊
*18. Séries d’Euler............................................... 3i2
*19. Formules de Gauss........................................... 3i5
*20. Développement d’une fonction en fractions rationnelles...... 017
*21- Développement de tanga;, cola;, construction des Tables de
sinus........................................................... 3ig
*22. Développements de tanga;, cota.՛, .... nombres de Bernoulli. 3aa
*23. Expression des nombres de Rernoulli par des intégrales definies. 326
Exercices et notes...................................................... 327
CHAPITRE VIH.
‘Propriétés des fonctions monogènes et monodromes.
1. Préliminaires.............................................. 331
2. Sur une formule fondamentale...................................... 33i
3. Formule de Taylor................................................. 333
4- Quelques définitions, classification des singularités. 334
5. Théorèmes de Cauchy sur les fonctions............................ 336
fi. Théorèmes de Cauchy sur les zéros et les infinis d’une fonction,
contenus dans l’intérieur d’un contour fermé................... 34-3
7. Application des principes précédents.............................. 347
8. Série de Burmann.................................................. 34g
9. Série de Wronski.................................................. 35։
10. Série de Lagrange................................................ 356
11. Séries de Laplace et de Legendre ................................ 3»9
12. Propriétés des fonctions rationnelles............................ 36o
13. Théorèmes de M. Weierstrass sur les fonctions douces de points
essentiels...................................................... 364
14. Décomposition d’une fonction en facteurs primaires .............. 3G8
15. Théorème de M. Mittag-Leffler.................................... 372
16. Sur les fonctions qui présentent une ligne de points critiques... 3^3
17. Des fonctions représentées par des intégrales définies........... 377
18. Étude de l’intégrale^/( t + z)dt................................. 379
19. Réflexions sur la métaphysique de l’hyperespace.................. 38i
Exercices et notes................................................. 38a
CHAPITRE IX.
*Des fonctions périodiques.
1. Définition et propriétés des fonctions périodiques................ 384
2. Formule d’Abel............................................... 385
3. Introduction à la théorie des séries trigonomètriques. — Démon-
stration d’une formule d’Analyse........................... 387
4. Séries trigonomètriques. — Méthode de Dirichlet............. 392
5. Quelques applications....................................... 397
5o8
TABLE DES MAT1ÈBES.
Paçes.
6. Méthode de Cauchy............................................ 4°°
7. Formule de Fourier, ses applications à la recherche des intégrales
définies.................................................... 4°i
8. Généralisation des formules précédentes...................... /|o6
9. Théorie des restricteurs, méthode d’intégration de Dirichlet. 4^7
10. Théorème de Parseval............................................ 4rü
11. Formule de Cauchy.............................................. 411
17. Etude d’une fonction singulière considérée par Weierstrass..... 412
Exercices et notes.................................................. 4։
CHAPITRE X.
Sur l’interpolation des fonctions numériques.
1. Préliminaires.....................
2. Formule d’Euler..... ...........
*3. Formule de Boole....................
n
*4. Interpolation de n‘.................
1
*5. Fonctions de Bernoulli..............
f ft.V t m
*G. Sur le développement de I------) ■
4.8
4.8
4։··»
4afi
4-» »
*7. Développement de J ...............................
*8. Théorème d’Hcrschel............................................
9. Intei’polation du produit i .2.3... x — x!..................
*10. Sur une formule d’Euler destinée à augmenter la convergence des
séries............................................................
11. Propriétés de la fonction P.......................
*12. Propriétés de la fonction logr(a?) et de ses dérivées
*13. Décomposition de T (x) en facteurs primaires......
*14. Formules de Stirling et de Gudermann..............
15. Formes diverses de la fonction T..................
16. Discussion de la courbe y — T (a?)................
*17- Analogie des puissances et des factorielles.......
et log p ( gç )
*18. Développement de --------—- en factorielles....... *
*19. Calcul de la constante d’Euler.....................
20. Intégration par les fonctions T...................
21. Formule de Dirichlet...............................
*22. Les fonctions de M. Prym...........................
*2.1. Du logarithme intégral............................
*24. Calcul des dérivées à indices quelconques..........
*25. Dérivées de diverses fonctions.....................
*26. Dérivée d’un produit...............................
436
438
45o
453
454
459
463
464
465
46fi
4 70
479
483
484
487
49»
493
TABLE DES MATIÈRES.
OO9
Pages
*27. Différences à indices quelconques................................ 4g4
Exercices et notes.................................................... 4g5
CHAPITRE XI.
Formules de quadrature.
1. Formule de Poncelet....................................... 498
2. Méthode de M. Th. Simpson................................. 499
.1. Formule de quadrature de Côtes............................ aoo
FIN DE LA TABLE DU TOME TROISIEME.
ERRATA.
Tome II (suite).
Pages. Lignes. An lieu de l.isez
4t4 1՜) d2s ds1
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4i i 16 ֊ ds d --- a --- ds d --- a
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‘45 4 développée polaire réciproque
rapport à un cerc
Tome III.
i3 3o au moins égal à C(1 au plus égal à C
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