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Traité d'analyse: 2 Calcul différentiel : applications géométriques

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Main Author:	Laurent, Hermann (Author)
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Published:	Paris Gauthier-Villars 1887
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adam_text	TABLE DES MATIERES CHAPITRE I. Des questions de Géométrie plane qui dépendent des infiniment petits du premier ordre. 1. Préliminaires................................................. 2. Coordonnées homogènes......................................... 3. Sur les tangentes aux courbes planes.......................... 4. Questions diverses sur les tangentes.......................... 5. Quelques mots sur les points singuliers....................... G. Sur une propriété des tangentes............................... 7. Conditions pour qu’une droite soit tangente à une courbe donnée. 8. Mener une tangente par un point extérieur..................... 9. Tangente commune à deux courbes............................... 10. De la normale................................................ 11. Des lignes appelées normale, tangente, sous-normale, sous-tan- gente....................................................... 12. Coordonnées trilinéaires....................................... 13. Tangentes en coordonnées multilinéaires........................ 14. Théorème do Poinsot............................................ 15. Tangentes en coordonnées multipolaires......................... 16. Tangentes dans le système pôle-directrice...................... 17. Tangentes en coordonnées polaires............................. 18. Des podaires................................................... 19. Énumération de quelques podaires............................... 20. Transformation par rayons vecteurs réciproques................. 21. Description de l’appareil Peauccllier et de ses dérivés........ 22. Théorie des enveloppes...................................... 23. Recherche de quelques enveloppes............................ 24. Sur quelques simplifications que présente le calcul des enveloppes. 25. Des coordonnées tangentielles.................................. 20. Résolution de quelques problèmes............................... 27. Recherche des points de contact d’une courbe avec ses tangentes. 28. Coordonnées trilinéaires....................................... 29. Remarque au sujet des coordonnées tangentielles................ Påses. 1 2 4 5 fi 8 9 12 i5 i5 ։7 •9 a3 26 28 31 3a 37 39 4i 43 47 5o 53 57 60 62 65 67 TABLE UES MATIÈRES. Pages. 30. Figures polaires réciproques.................................. 68 31. Polaires réciproques par rapport au cercle.................... 70 32. Calcul des coordonnées d un point d’une courbe en fonction des coordonnées du point correspondant de la polaire réciproque. 70 33. Podaires inverses............................................. 72 34. Sur les ombilics et les droites isotropes..................... 72 35. Foyers des courbes planes. — Exercices et notes.................. 75 CHAPITRE II. Étude des questions qui dépendent d infiniment petits d’ordre supérieur au premier. 1. Longueur d’un arc de courbe.................................. 81 2. Différentielle de l’arc dans divers systèmes de coordonnées. 84 3. Des divers ordres de contact des courbes planes................ 86 4. Droite osculatrice........................................... 92 5. Cercle osculatcur.............................................. 96 6. Applications................................................... 99 7. Propriétés diverses concernant la courbure.................... 101 8. Développées des courbes planes................................ io5 9. Applications des théories précédentes......................... 109 10. Rayon de courbure en coordonnées obliques................... i։3 11. Rayon de courbure en coordonnées homogènes................. ։ 15 12. Rayon de courbure en coordonnées polaires................... 117 13. Rayon de courbure en coordonnées bipolaires.................. 120 14. Rayons de courbure en coordonnées multipolaires............... 122 15. Rayons de courbure des podaires................................. 124 16. Quelques observations sur la théorie du contact............... 126 17. Théorie des roulettes......................................... 128 18. Digression sur un théorème de Cinématique..................... 3a 19. Épicycloïdes.................................................. ։35 20. Sur les courbes remarquables de la famille cpicycloïdale..... i3g 21. Cycloïde et développante de cercle........................... r4 22. Épicycloïdes allongées ou raccourcies. — Exercices et notes.... 142 CHAPITRE III. Étude des points singuliers. 1. But et utilité de la théorie................................... 4® 2. Digression sur une question d’Algèbre, solution de Minding.. i4d 3. Solution de Newton............................................ 102 4. Caractère des points singuliers............................... ։54 5. Remarques..................................................... 167 6. Points singuliers ordinaires.................................. r68 7. Points singuliers extraordinaires............................. ։63 TABLE DES MATIÈRES. 473 8. Remarques.................................................... 167 9. Théorie des asymptotes.......................................... 168 10. Asymptotes non parallèles à l’axe des y........................ 171 11. Équation des asymptotes........................................ 174 12. Étude des points à l infini.................................... 178 13. Sur les tangentes singulières.................................. 179 14. Remarque au sujet des courbes algébriques...................... 180 15. Exemples de points singuliers.................................. 181 16. Nombre des conditions déterminant une courbe algébrique........ 186 17. Nombre des conditions imposées par la donnée d’un point singulier. 189 18. Intersection de deux courbes algébriques. Étude d’une intersecLiou en particulier................................................ 191 19. Des émanants et des polaires..................................... rgj 20. Définition géométrique des polaires.............................. 196 21. Propriétés des polaires.......................................... 198 22. Influence des points singnliers sur la classe d’une courbe..... 200 23. De la hessienne et de l’influence des points singuliers sur les points d’inflexion............................................ 20a 23. Formules de Plückcr.............................................. 210 24. Sur la courbe appelée jacobienne................................. 21։ 25. Sur le nombre des normales que l’on peut mener par un point donné à une courbe algébrique................................. 2։5 26. Sur les développées des courbes algébriques. — Exercices et notes. 217 CHAPITRE IV. Des questions de Géométrie dans l’espace qui dépendent d infiniment petits du premier ordre. 1. Coordonnées homogènes........................................ 221 2. Tangentes aux courbes gauches................................ 22-3 3. Plan normal, plan tangent...................................... 226 4. Plan tangent aux surfaces.................................... 227 5. Nouvelle forme de l’cquation du plan langent................. 262 6. Coordonnées tétraédriques...................................... 236 7. Coordonnées polyédriques....................................... a38 8. Surfaces podaires, surfaces parallèles, etc.................... 24* 9. Transformation par rayons vecteurs réciproques................. 245 10. Projection sléréographique....................................... 247 11. Théorème de M. Yvon Villarceau et ses conséquences............... 24® 12. Surfaces coniques et cylindriques............................. ։5o 13. Reconnaître si une surface est conique ou cylindrique........ 2-55 14. Cènes et cylindres circonscrits............................... 258 15. Contour apparent des surfaces................................. 264 16. Surfaces de révolution........................................ 265 17. Conoïdes...................................................... 26® 18. Surfaces enveloppes........................................... 269 TABLE DES MATIÈRES. Pages. 19. Application aux surfaces de révolution......................... 276 20. Surfaces des canaux.......................................... 276 ■ 21. Nouvelle espèce d enveloppes.................................... 277 22. Surfaces polaires réciproques.................................... 279 23. Digression sur les surfaces apsidales............................ 284 24. Surface des ondes................ ............................. 25. Nouveau point de vue sous lequel on peut considérer la surface des ondes......................................................... 289 26. Surface apsidale de l’ellipsoïde................................. 292 27. Enveloppes des courbes gauches................................. 29a 28. Remarques sur les enveloppes de courbes........................ 296 29. Surfaces développables......................................... 298 30. Équation différentielle des surfaces développables............. 3o3 31. Surfaces touchées par un plan suivant une ligne................ 3og 32. Circonscrire une développable à une surface donnée............. 3io 33. Étymologie du mot développable................................. 3i2 34. Développables isotropes.......................................... 3i4 35. Foyers et focales des surfaces................................... 3i6 36. Focales et foyers des surfaces du second ordre................... 3i8 37. Surfaces homufoeales du second degré............................ .62։ 38. t’oints correspondants........................................... 3a3 39. Théorème de Chasles.............................................. 325 40. Parabolo fdcs homofocaux....................................... 327 41. Coordonnées tangentielles........................................ 329 42. Quelques problèmes sur la droite, le plan, les développables... 333 43. Recherches des points de contact des surfaces avec leurs plans tangents...................................................... 336 44. Des coordonnées tétraédriques.................................... 338 45. Remarques au sujet des coordonnées tangentielles. — Exercices. 341 CHAPITRE V. Des questions qui dépendent d’infiniment petits d’ordre supérieur. 1. Longueur d’un arc de courbe.................................. 346 2. Plan osculaleur............................................... 347 3. Projections cylindriques et coniques des courbes gauches...... 352 4. Du contact des courbes gauches............................... 353 5. Contact des courbes et des surfaces.......................... 355 6. Droite osculatrice et plan osculaleur........................ 358 7. Cercle osculateur............................................. 35g 8. Des deux courbures d’une courbe gauche....................... 362 8. Discussion des formules relatives à la courbure.............. 367 9. Évaluation do quelques infiniment petits...................... 368 10. Formules de Serret............................................. 371 11. Démonstration nouvelle de ces formules....................... 374 TABLE DES MATIÈRES. 475 Pages. 12. Enveloppe des plans oscillateurs d’une courbe gauche, lieu de leurs tangentes................................................ 376 13. Enveloppe des plans normaux, sphère osculatrice, lieu des nor- males principales.............................................. 377 14. Développées des courbes gauches.................................. 38u 15. Lieu des centres de courbure..................................... 386 10. Plan rectifiant et surface rectifiante........................... 388 17. Sur le déplacement des figures................................... 3go 18. Axe de glissement................................................ 3q3 19. Sur le déplacement des lignes remarquables liées à une courbe. 390 20. De l hélice............. ...................................... 396 21. Hélicoïde développable.. ....................................... /\|00 22. Développées de l’hélice.......................................... 401 23. Projection de l’hélice........................................... 4oa 24. Théorèmes de MM. Puiseux et Bertrand............................. 4°4 25. Sur les courbes sphériques....................................... 4°® 26. Formule de Hesse. — Exercices et notes........................... 4°9 CHAPITRE VI. Des questions qui dépendent d’infiniment petits d’ordre supérieur au premier dans les surfaces. 1. Des contacts des différents ordres............................. 4։7 2. Plan oscillateur............................................... 420 3. Sphère osculalrice. — Ombilics................................. 421 4. Surface dont, tous les points sont des ombilics................ 423 5. De la courbure des surfaces.................................... 4s5 G. Équation simpliiiée de l’indicatrice............................ 43« 7. Théorème de M. Bertrand....................................... 43r 8. Recherche des rayons de courbure principaux.................... 434 9. Discussion de l’équatiou aux rayons de courbure principaux____ 43/ 10. Suite de la discussion précédente............................. 442 11. Discussion des équations qui font connaître les sections principales. 444 12. Sur une propriété de maximum relative aux rayons de courbure. 446 13. Sur une forme remarquable que l’on peut donner à l’équatiou aux rayons de courbure............................................ 449 14. Application aux surfaces du second ordre........................ 45o 15. Surface lieu des centres de courbure de l’ellipsoïde............ 463 16. Courbure des courbes tracées sur une surface ou théorème de Mcusnier et scs conséquences ................................ 4^7 17. Théorème de Hachette............................................ 4^9 18. Des points singuliers des surfaces.............................. 46։ 19. Points singuliers des courbes gauches. — Exercices et notes.... 465 FIN DE LA TABLE DL TOME DEUXIÈME.
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