Traité d'analyse: 2 Calcul différentiel : applications géométriques
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I.
Des questions de Géométrie plane qui dépendent des infiniment petits
du premier ordre.
1. Préliminaires.................................................
2. Coordonnées homogènes.........................................
3. Sur les tangentes aux courbes planes..........................
4. Questions diverses sur les tangentes..........................
5. Quelques mots sur les points singuliers.......................
G. Sur une propriété des tangentes...............................
7. Conditions pour qu’une droite soit tangente à une courbe donnée.
8. Mener une tangente par un point extérieur.....................
9. Tangente commune à deux courbes...............................
10. De la normale................................................
11. Des lignes appelées normale, tangente, sous-normale, sous-tan-
gente.......................................................
*12. Coordonnées trilinéaires.......................................
*13. Tangentes en coordonnées multilinéaires........................
*14. Théorème do Poinsot............................................
*15. Tangentes en coordonnées multipolaires.........................
*16. Tangentes dans le système pôle-directrice......................
17. Tangentes en coordonnées polaires.............................
*18. Des podaires...................................................
*19. Énumération de quelques podaires...............................
*20. Transformation par rayons vecteurs réciproques.................
*21. Description de l’appareil Peauccllier et de ses dérivés........
22. Théorie des enveloppes......................................
23. Recherche de quelques enveloppes............................
24. Sur quelques simplifications que présente le calcul des enveloppes.
*25. Des coordonnées tangentielles..................................
*20. Résolution de quelques problèmes...............................
*27. Recherche des points de contact d’une courbe avec ses tangentes.
*28. Coordonnées trilinéaires.......................................
*29. Remarque au sujet des coordonnées tangentielles................
Påses.
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57
60
62
65
67
TABLE UES MATIÈRES.
Pages.
*30. Figures polaires réciproques.................................. 68
*31. Polaires réciproques par rapport au cercle.................... 70
*32. Calcul des coordonnées d un point d’une courbe en fonction des
coordonnées du point correspondant de la polaire réciproque. 70
*33. Podaires inverses............................................. 72
*34. Sur les ombilics et les droites isotropes..................... 72
*35. Foyers des courbes planes. — Exercices et notes.................. 75
CHAPITRE II.
Étude des questions qui dépendent d infiniment petits
d’ordre supérieur au premier.
1. Longueur d’un arc de courbe.................................. 81
2. Différentielle de l’arc dans divers systèmes de coordonnées. 84
3. Des divers ordres de contact des courbes planes................ 86
4. Droite osculatrice........................................... 92
5. Cercle osculatcur.............................................. 96
6. Applications................................................... 99
7. Propriétés diverses concernant la courbure.................... 101
8. Développées des courbes planes................................ io5
9. Applications des théories précédentes......................... 109
10. Rayon de courbure en coordonnées obliques................... i։3
*11. Rayon de courbure en coordonnées homogènes................. ։ 15
12. Rayon de courbure en coordonnées polaires................... 117
*13. Rayon de courbure en coordonnées bipolaires.................. 120
14. Rayons de courbure en coordonnées multipolaires............... 122
*15. Rayons de courbure des podaires................................. 124
16. Quelques observations sur la théorie du contact............... 126
17. Théorie des roulettes......................................... 128
18. Digression sur un théorème de Cinématique..................... 3a
19. Épicycloïdes.................................................. ։35
20. Sur les courbes remarquables de la famille cpicycloïdale..... i3g
21. Cycloïde et développante de cercle........................... r4
*22. Épicycloïdes allongées ou raccourcies. — Exercices et notes.... 142
CHAPITRE III.
Étude des points singuliers.
1. But et utilité de la théorie................................... *4®
2. Digression sur une question d’Algèbre, solution de Minding.. i4d
3. Solution de Newton............................................ 102
4. Caractère des points singuliers............................... ։54
5. Remarques..................................................... 167
6. Points singuliers ordinaires.................................. r68
7. Points singuliers extraordinaires............................. ։63
TABLE DES MATIÈRES.
473
8. Remarques.................................................... 167
*9. Théorie des asymptotes.......................................... 168
*10. Asymptotes non parallèles à l’axe des y........................ 171
*11. Équation des asymptotes........................................ 174
*12. Étude des points à l infini.................................... 178
*13. Sur les tangentes singulières.................................. 179
*14. Remarque au sujet des courbes algébriques...................... 180
*15. Exemples de points singuliers.................................. 181
*16. Nombre des conditions déterminant une courbe algébrique........ 186
*17. Nombre des conditions imposées par la donnée d’un point singulier. 189
*18. Intersection de deux courbes algébriques. Étude d’une intersecLiou
en particulier................................................ 191
*19. Des émanants et des polaires..................................... rgj
*20. Définition géométrique des polaires.............................. 196
*21. Propriétés des polaires.......................................... 198
*22. Influence des points singnliers sur la classe d’une courbe..... 200
*23. De la hessienne et de l’influence des points singuliers sur les
points d’inflexion............................................ 20a
*23. Formules de Plückcr.............................................. 210
*24. Sur la courbe appelée jacobienne................................. 21։
*25. Sur le nombre des normales que l’on peut mener par un point
donné à une courbe algébrique................................. 2։5
*26. Sur les développées des courbes algébriques. — Exercices et notes. 217
CHAPITRE IV.
Des questions de Géométrie dans l’espace qui dépendent
d infiniment petits du premier ordre.
1. Coordonnées homogènes........................................ 221
2. Tangentes aux courbes gauches................................ 22-3
3. Plan normal, plan tangent...................................... 226
4. Plan tangent aux surfaces.................................... 227
5. Nouvelle forme de l’cquation du plan langent................. 262
*6. Coordonnées tétraédriques...................................... 236
*7. Coordonnées polyédriques....................................... a38
8. Surfaces podaires, surfaces parallèles, etc.................... 24*
*9. Transformation par rayons vecteurs réciproques................. 245
*10. Projection sléréographique....................................... 247
*11. Théorème de M. Yvon Villarceau et ses conséquences............... 24®
12. Surfaces coniques et cylindriques............................. ։5o
13. Reconnaître si une surface est conique ou cylindrique........ 2-55
14. Cènes et cylindres circonscrits............................... 258
15. Contour apparent des surfaces................................. 264
16. Surfaces de révolution........................................ 265
17. Conoïdes...................................................... 26®
18. Surfaces enveloppes........................................... 269
TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
19. Application aux surfaces de révolution......................... 276
20. Surfaces des canaux.......................................... 276
■ 21. Nouvelle espèce d enveloppes.................................... 277
*22. Surfaces polaires réciproques.................................... 279
*23. Digression sur les surfaces apsidales............................ 284
*24. Surface des ondes................ .............................
*25. Nouveau point de vue sous lequel on peut considérer la surface des
ondes......................................................... 289
*26. Surface apsidale de l’ellipsoïde................................. 292
27. Enveloppes des courbes gauches................................. 29a
28. Remarques sur les enveloppes de courbes........................ 296
29. Surfaces développables......................................... 298
30. Équation différentielle des surfaces développables............. 3o3
31. Surfaces touchées par un plan suivant une ligne................ 3og
32. Circonscrire une développable à une surface donnée............. 3io
33. Étymologie du mot développable................................. 3i2
*34. Développables isotropes.......................................... 3i4
*35. Foyers et focales des surfaces................................... 3i6
*36. Focales et foyers des surfaces du second ordre................... 3i8
*37. Surfaces homufoeales du second degré............................ .62։
*38. t’oints correspondants........................................... 3a3
*39. Théorème de Chasles.............................................. 325
*40. Parabolo fdcs homofocaux....................................... 327
*41. Coordonnées tangentielles........................................ 329
*42. Quelques problèmes sur la droite, le plan, les développables... 333
*43. Recherches des points de contact des surfaces avec leurs plans
tangents...................................................... 336
*44. Des coordonnées tétraédriques.................................... 338
*45. Remarques au sujet des coordonnées tangentielles. — Exercices. 341
CHAPITRE V.
Des questions qui dépendent d’infiniment petits d’ordre supérieur.
1. Longueur d’un arc de courbe.................................. 346
2. Plan osculaleur............................................... 347
3. Projections cylindriques et coniques des courbes gauches...... 352
4. Du contact des courbes gauches............................... 353
5. Contact des courbes et des surfaces.......................... 355
6. Droite osculatrice et plan osculaleur........................ 358
7. Cercle osculateur............................................. 35g
8. Des deux courbures d’une courbe gauche....................... 362
8. Discussion des formules relatives à la courbure.............. 367
9. Évaluation do quelques infiniment petits...................... 368
*10. Formules de Serret............................................. 371
11. Démonstration nouvelle de ces formules....................... 374
TABLE DES MATIÈRES.
475
Pages.
12. Enveloppe des plans oscillateurs d’une courbe gauche, lieu de
leurs tangentes................................................ 376
13. Enveloppe des plans normaux, sphère osculatrice, lieu des nor-
males principales.............................................. 377
*14. Développées des courbes gauches.................................. 38u
*15. Lieu des centres de courbure..................................... 386
*10. Plan rectifiant et surface rectifiante........................... 388
*17. Sur le déplacement des figures................................... 3go
*18. Axe de glissement................................................ 3q3
*19. Sur le déplacement des lignes remarquables liées à une courbe. 390
20. De l hélice............. ...................................... 396
21. Hélicoïde développable.. ....................................... /|00
*22. Développées de l’hélice.......................................... 401
*23. Projection de l’hélice........................................... 4oa
*24. Théorèmes de MM. Puiseux et Bertrand............................. 4°4
*25. Sur les courbes sphériques....................................... 4°®
*26. Formule de Hesse. — Exercices et notes........................... 4°9
CHAPITRE VI.
Des questions qui dépendent d’infiniment petits d’ordre supérieur
au premier dans les surfaces.
1. Des contacts des différents ordres............................. 4։7
2. Plan oscillateur............................................... 420
3. Sphère osculalrice. — Ombilics................................. 421
4. Surface dont, tous les points sont des ombilics................ 423
5. De la courbure des surfaces.................................... 4s5
G. Équation simpliiiée de l’indicatrice............................ 43«
7. Théorème de M. Bertrand....................................... 43r
8. Recherche des rayons de courbure principaux.................... 434
9. Discussion de l’équatiou aux rayons de courbure principaux____ 43/
10. Suite de la discussion précédente............................. 442
*11. Discussion des équations qui font connaître les sections principales. 444
12. Sur une propriété de maximum relative aux rayons de courbure. 446
*13. Sur une forme remarquable que l’on peut donner à l’équatiou aux
rayons de courbure............................................ 449
14. Application aux surfaces du second ordre........................ 45o
*15. Surface lieu des centres de courbure de l’ellipsoïde............ 463
16. Courbure des courbes tracées sur une surface ou théorème de
Mcusnier et scs conséquences ................................ 4^7
*17. Théorème de Hachette............................................ 4^9
*18. Des points singuliers des surfaces.............................. 46։
*19. Points singuliers des courbes gauches. — Exercices et notes.... 465
FIN DE LA TABLE DL TOME DEUXIÈME.
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