Die darstellende Geometrie: ein Grundriß für Vorlesungen an Technischen Hochschulen und zum Selbststudium
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Teubner
1871
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Bayerische Staatsbibliothek -- Math.p. 145 ud Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Bayerische Staatsbibliothek -- BHS II K 83 Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Deutsches Museum -- 1932 A 1277 Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXXVI, 592 S. graph. Darst. |
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| adam_text | Darstellende Geometrie.
S pag.
Einleitung über Zweck und Bedeutung....................... 1
Methode.................................. 2
Entwicklungsgang......................... 3
Erster Theil. Die Methodenlehre, entwickelt an der Untersuchung
der geometrischen Elementarformen und ihrer einfachen
Verbindungen.
A. Die Centralprojeetion als Darstellungsmethode
und nach ihren allgemeinen Gesetzen.
§§1-23; pag. 5-70. Fig. 1-43.
1. Die Data der Centralprojeetion: Centrum nnd Distanzkreis; die
projicierenden Strahlen.......................................... 5
Beispiele 1 —3.................................................. 6
2. Die projicierenden Ebenen; die Verschwindnngsebcne.............. 6
Beispiele 1 — 3................................................. 7
3. Die Bestimmung der geraden Linie; Durchstosspnnkt und Flucht-
punkt; Verschwindungspunkt...................................... 8
Beispiele 1 —11................................................ 9
-1. Das projicierende Strahleubüschcl der Geraden und die Umle-
gung desselben in die Bildebene. Die Abschnitte der Geraden
und ihres Bildes............................................... 10
Beispiele 1 — 6................................................ 11
5. Die Bestimmung der Ebene; Spur und Fluchtlinie; Schnitt mit
der Verschwindungsebcnc........................................ 12
Beispiele 1 —10................................................ 12
(5. Die Regionen der Ebene und ihres Bildes; Strahlenbüschel und
Ebenenbüschel bei der Projection der Ebene.................... 13
Beispiel 1 — 6................................................. 14
7. Die Normalebene zur Tafel durch eine Gerade; Auftragung der
Tafelordinaten, Theilpunkt und Theilverhältniss................ 15
Beispiele 1 — 6............................................... 16
8. Die zur Bildebene parallelen Geraden und Ebenen. Aufgaben
über die gegenseitige Lage von Punkten, Ebenen und Geraden 17
Beispiele 1 — 9 . . ........................................ 17
9. Der Winkel von zwei sich schneidenden Geraden, Bestimmung
seiner wahren Grösse ans den Bildern seiner Schenkel .... 18
Beispiele 1 — 3................................................ 20
10. Die Normalen zu einer Ebene und die Normalebenen zu einer
Geraden; die WinkeFzwischen Ebenen und Geraden und zwischen
Ebenen......................................................... 2n
Beispiele 1 — 10.............................................. 21
11. Die Umlegung der Ebene d. i. ihrer Geraden und Punkte in die
Bildebene; die Aufstellung der Ebene aus derselben........... 24
Beispiel....................................................... 26
12. Die Transformationen als Mittel znr Sicherung der practischen
Ausführung der theoretischen Lösungen; Transformationen des
XVI
Inhaltsverzeichniss.
S p»sr.
Centrums; Construction stereoscopischer Bilder; Darstellung eines
rechtwinkligen Parallelepideds mit reducierter Distanz .... 26
Beispiele 1 — 0.................................................. 27
13. Die Verschiebungen des Objects und diejenigen der Bildebene 29
Beispiele 1 — 2.................................................. 30
14. Untersuchung der Beziehung zwischen dem ebenen System und
seinem Bilde; Collineation in centraler Lage; Centrum und Axe
der Collineation; Gegenaxen derselben . . ....................... 31
Beispiele 1 — 6. Collinearverwandte Figuren...................... 32
15. Die Abhängigkeit des Bildes der Geraden vom Original; Be-
dingung der Gleichheit entsprechender Strecken................... 34
Beispiele 1 — 4.................................................. 36
16. Das Doppelverhültniss von vier Punkten einer Geraden wird
durch Projection nicht geändert; Doppelverhältniss von Strahlen-
und Ebenenbüscheln............................................... 37
Beispiele 1 — 6. Harmonische Theilung; projectivische Kcihen-
und Strahlenbüschel.......................................... 38
17. Die lineare Construction projectivischer Reihen in allgemeiner
Lage............................................................. 41
Beispiele 1— 8. Die Aehnlichkeit der Reihen; Ueberführung in
perspectivische Lage; die centralprojectivisehe Bestimmung der
Geraden......................................................... 42
18. Die lineare Construction projectivischer Strahlenbüschel in all-
gemeiner Lage ................................................... 45
Beispiele 1—4. Ueberführung in perspectivische Lage; ent-
sprechende Rechtwinkelpaare.................................. 46
19. Die Projectivität der Reihen und Büschel im ebenen System und
seinem Bilde; das charakteristische Doppelverhältniss einer Cen-
tralprojection................................................... 47
Beispiele 1—8. Die Characteristik als einfaches Vcrhältniss und
dessen geometrische Bedeutung; entsprechende Rechtwinkel-
paarein concentrischen projectivischcn Büscheln; perspectivische
Dreiecke; Umlegung ebener Systeme................................ 49
20. Classification der Centralprojcctionen nach den Werthen der
Characteristik; Involution, involutorische Reihen, Büschel, ebene
Systeme; die Doppelelementc und die harmonische Theilung. . 54
Beispiele 1 — 8. Die Ueberführung von projectivischen Reihen
und Büscheln in involutorische Lage............................. 55
21. Die fünf Specialfälle der Collineation ebener Systeme: Affinität,
axiale Symmetrie, Aehnlichkeit, centrische Symmetrie, Congruenz 57
22. Allgemeine Bestimmung und Construction der Projectivität ebener
Systeme........................................................ 60
Beispiele 1 — 6. Ueberführung zweier Vierecke in centrisch col-
lineare Lage; Eigenschaften des vollständigen Vierecks und Vier-
seits; harmonische Reihen und Büschel............................ 61
23. Rückblick und Uebersicht. Der Prozess der Projection und die
projectivischen Grundgebilde erster Stufe; ihre Zusammensetzung
zu ebenen Systemen und zu Bündeln; der Raum als System von
Punkten und von Ebenen nnd die Modellierungsmethoden; der
Raum als Strahlensystem. Das Gesetz der Dualität als Sym-
metriegesetz des natürlichen Systems der Geometrie ..... 66
B. Die construetive Theorie de r Kegelschnitte als
Kreisprojectionen §§ 24—36; pag. 71 —120. Fig. 44 — 74.
24. Die projectivischen Fnndamentaleigenschaften des Kreises und
der Kegelschnitte, Doppelverhältniss von vier Punkten und von
ihren Tangenten.................................................. 71
Inhaltsverzeichniss.
xvn
S l «g·.
Beispiel........................................................ 74
25. Erzeugung der Curven zweiter Ordnung aus projectivischen
Büscheln, der Curven zweiter Classe aus projectivischen Reihen;
Bestimmung durch fünf Punkte oder Tangenten. Kegelschnitt-
küschel und Kcgelschnittschaar.................................. 74
Beispiele 1 — 6. Die involutorischen Haupteigenschaften des
Kegelschuittbüschels und der Kegclschnittschaar; Bestimmung
der Involution aus zwei Paaren.................................. 75
26. Die Bilder des Kreises als Hyperbeln, Ellipsen, Parabeln und
die Collinearverwandten der Kegelschnitte....................... 77
Beispiele 1 — 2 ................................................ 78
27. Der Satz vom Pascal’schen Sechseck und seine constructive
Verwendung..................................................... 79
Beispiele 1 — 9. Construction der Kegelschnitte aus Punkten;
ihre Tangenten in denselben; specielle Fälle und Sätze .... 80
28. Der Satz vom Brianehon’sehen Sechsseit und seine constructive
Verwendung...................................................... 84
Beispiele 1—9. Construction der Kegelschnitte aus Tangenten;
ihre Berührungspunkte in denselben; specielle Fälle und Sätze 85
29. Projeetivische Constructionen der Schnittpunkte einer Geraden
und der Tangenten aus einem Punkte mit einem Kegelschnitt . 86
Beispiele 1 — 8................................................. 90
30. Der Kegelschnitt als sich selbst entsprechend in einer involu-
torischen Collineation; Centrum und Axe als Pol und Polare.
Die constructiven Uebergänge zwischen denselben............. 93
Beispiele 1—4................................................... 96
31. Die Probleme über involutorische Büschel und Reihen in ein-
fachster Lösung................................................. 97
Beispiele 1—16. Die Vervollständigung gegebener Involutionen;
die Arten derselben. Involution rechter Winkel und Kreispunkte
der Ebene; gemeinsames Paar von zwei Involutionen........ 97
32. Die Involutionen harmonischer Pole und Polaren in Bezug auf
einen Kegelschnitt..............................................100
Beispiele 1—8...................................................101
33. Von den reciproken Polarüguren in der Ebene...............103
Beispiele 1 — 2.................................................104
34. Die Specialfiüle der Involutionen harmonischer Pole und Polaren
mit unendlich fernem Träger in Bezug auf einen Kegelschnitt 104
Beispiele 1—20. Der Mittelpunkt, die eoujugierten Durchmesser,
die Assymptoten und Axen. Construction derselben aus den
Bestimmungsclementen; Construction der Ellipse aus zwei eon-
jugierten Durchmessern, spccicll aus dem Kreise.................105
35. Collinearverwandte des Kreises für seinen Mittelpunkt als Col-
lineationscentrum oder, die Scheitel rechtwinkeliger Involutionen
in Bezug auf einen Kegelschnitt: Brennpunkte und Direetrixen. 110
Beispiele 1 —18. Die Beziehungen der Brennpunkte zu den
Tangenten des Kegelschnitts.....................................113
36. Die Collinearverwandten des Kreises in Berührung zweiter Ord-
nung mit demselben: Osculationskreis und Krümmungshalbmesser 118
Beispiele 1 — 3.................................................119
C. Die centrische Collineation räumlicher Systeme
als Theorie der Modellierungs-Methoden.
§§ 37—45. p. 121 — 138. Fig. 75 — 80. .
37. Das Centrum, die Collineationscbonc und die Gegenebenen der
Central-Collineation räumlicher Systeme.........................121
38. Das charakteristische Doppelverhältniss derselben..............122
Fiedler, Darstellende Geometrie. b
XVIII
InliEiltsverzeiclmiss.
8 pag՛.
Beispiele 1 — 2.................................................123
39. Die Construction der entsprechenden Elemente zu gegebenen
Geraden, Punkten und Ebenen in centrischcollinearen räumlichen
Systemen..........................................................123
Beispiele 1—9.....................................................124
40. Die Ableitung der Projectionen des centrisch eollinearen Systems
zu einem gegebenen räumlichen System...........................125
Beispiele 1 — 2...................................................128
41. Die Bildlichkeit der centrisch eollinearen räumlichen Systeme.
Die Keliefperspective und ihre Anwendungen......................128
Beispiele 1 — 0...................................................130
42. Die involutorische Collineation räumlicher Systeme und die Spe-
malfalle der Symmetrie in Bezug auf eine Ebene oder ein Cen-
trum; die Affinität und die Congruenz. Die Modellierungs - Me-
thoden der Technik................................................130
43. Die Methoden der Abbildung auf eine Ebene als Grenzfälle der
centriscben Collineation der Bäume; die Nothwendigkeit der
Combination von zwei Parallelprojectionen für die Bestimmung
der Kaumformen....................................................132
Beispiele 1-3....................................................134
44. Von den projectiviseli eollinearen räumlichen Systemen und ihrer
Bestimmung.............-........................................135
Beispiele 1 — 3 . ...............................................136
45. Die Beziehung von drei räumlichen Systemen, welche paarweis
centrisch colliuear sind.........................................137
Beispiele 1 — 4................................................ 138
D. Die Grundgesetze der orthogonalen Parallelpro-
jeetion, ihre Transformation und die Axonometrie.
§§ 46 — 61; pag. 139 — 194. Fig. 81 — 120.
46. Die Bestimmung der Punkte des Baumes in Bezug auf zwei zu
einander rechtwinkelige Projeetionsebenen und einen Anfangs-
pnnct in ihrer Axe oder in Bezug auf drei zu einander recht-
winkelige Projeetionsebenen; das projicierende Parallelepiped und
die Coordiuaten; die Neigungen der Geraden....................139
Beispiele 1 — 5. Die Halbierungsebenen und die Halbierungs-
axen des Projectionssystems................................141
47. Die Ebene und ihre Spuren in den Projeetionsebenen, ihre Schnitte
mit den Halbierungsebenen und Halbierungsaxen, die Neigungen
der Ebene...................................................... 142
Beispiele 1 —16.................................................144
48. Die Gerade und ihre projieierenden Ebenen, ihre Durchstoss-
pnnkte und Punkte £ ,·; die in ihr liegenden Punkto und die
durch sie gehenden Ebenen.......................................147
Beispiele 1 —10.................................................149
49. Die Darstellung der Projectioneu eines Punktes und die sie
verbindenden Gesetze; die Gerade von ihm nach dem Anfangs-
punkt und ihre Tafelneignngen ß{.......................... 150
Beispiele 1 — 6.................................................151
50. Die Darstellung der Projectionen der geraden Linie, ihrer Durcli-
stosspunkte etc.................................................151
Beispiele 1—10..................................................153
51. Die Darstellung einer Ebene durch ihre Spuren; die des Systems
ihrer Ä,· und Hi; ihre Tafelneigungen; die Schnittlinie von zwei
Ebenen..........................................................154
Beispiele 1—20..................................................150
Inhal tsverzeichniss.
XIX
52. Die Darstellung einer Ebene durch zwei sich schneidende Gerade;
die Construction des Schnittpunktes einer Geraden mit einer
Ebene und der Schnittlinie von zwei Ebenen.....................
Beispiele 1 — 6................................................
53. Die Geraden kx-, kz-, als Äsen der Affinitäten zwischen den Pro-
jectioneu ihres ebenen Systems; ihre Verwendung zur Bestim-
mung der auf der Ebene liegenden Punkte und Geraden . . .
Beispiele 1 — 8...............................................-
54. Der Winkel von zwei Geraden und die Umlegung und Aufrich-
tung ebener Figuren.........................................’:՛·.·■
Beispiele 1 — 25. Projeetionen des Kreises; Projection eines
Dreiecks ähnlich einem gegebenen, Transversale zweier Geraden
von gegebener Länge und parallel gegebener Ebene; dreiseitige
Ecke und reguläre Polyeder.................................. ·
55. Vom ebenen Schnitt eines Polyeders, speciell von den Schnitten
der Pyramiden und Prismen......................................
Beispiele 1—5..................................................
56. Die Durchdringung von zwei Polyedern...........................
Beispiele 1 — 2........................................
57. Von den Transformationen, ihren Vortheilen respective ihrer
Nothwendigkeit; insbesondere von den Parallelverschiebungen
des Projectionssystems oder der Objecte.........................
Beispiele 1 — 2................................................
58. Von den Drehungen der Objecte um Projectiousaxen oder solche,
die ihnen parallel sind...........1............................
Beispiele 1 — 7. Ueberführung von Geraden und Ebenen in
parallele Lage zu den Projectionsaxen und Ebenen...............
59. Von den Drehungen des Projectionssystems.......................
Beispiele 1—13. Die Ebenen durch eine Gerade unter bestimm-
ten Winkeln zu einer anderen Geraden...........................
CO. Das Problem der Axonometrie für orthogonale Parallelprojection,
seine Lösung durch Transformation, durch directe Construction
aus dem Spurendreieck der Projectionsebene und durch Rech-
nung; die einfachen Verhältnisse der Maassstäbe, die isometrische,
monodimetrische und anisometrische Darstellung.................
Beispiele 1 — 9................................................
CI. Das Problem der Axonometrie für schiefwinklige Parallelpro-
jection und der Pohlke sehe Satz als Specialfall der Bestimmung
collinearer Systeme ...........................................
Beispiel 1 — 8.................................................
Zweiter Thcil. Die constructive Theorie der krummen Linien
und Flächen.
A. Von den Cnrven und den developpablen Flächen.
• §S 62 — 86;»pag. 195 — 309. Fig. 121 — 105. Taf. I —IV.
02. Die Erzeugungsweisen ebener Curven und ihre regelmässigen
Singularitäten; der Krümmungskreis.........................
Beispiele 1 — 6. Die Benutzung von Hilfscurven für Tangente,
Normale und Krümmnngscentrum; Projeetionen ebener Cnrven
03. Pie Raumcurven und ihre developpabeln Tangentenflächen; ihre
stationären Elemente. Die Schmiegungskngel.................
Beispiele 1—7. Vorbereitung für die Projection der Raum-
curven: Specialfälle.......................................
61. Die Kegel- nnd Cylinderfläcken unter Benutzung ebener Leitcur-
ven; die Bestimmung ihrer Erzeugenden, Punkte und Tangential-
՝ b*
pag··
157
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161
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198
201
203
XX
Inhaltsverzcichniss.
§ pas ·
ebenen, ihrer Schnitte mit einer Geraden und ihrer Tangential-
ebenen aus einem Punkte in Parallel- und Centralprojection; die
auf ihnen gelegenen Curven, insbesondere die Spuren..........20t
Beispiele 1 —16. Schatten und Umrisse..........................208
65. Die Collineatiou der ebenen Schnitte und die Singularitäten der
Kegclflächen; die Affinität der Cylinderschnitte............. 212
Beispiele 1—8’.................................................214
66. Die Projectionen der ebenen Schnitte von Kegel- und Cylinder-
flächen........................................................215
Beispiele 1—14.................................................218
67. Die directs Bestimmung der wahren Gestalt ebener Schnitte der
Kegelflächen...................................................221
Beispiele 1 — 2................................................222
68. Die Hauptsätze der Lehre von den Kegelilächen zweiten Grades 222
69. Von den besonderen Eigenschaften des Rotationskegels und ihrer
constructiven Verwendung.......................................225
Beispiele 1—4. Umrisse der Rotationskegel......................227
70. Die ebenen Schnitte der Rotationskegel........................230
Beispiele 1—10. Brennpunkts-Eigenschaften; Eoealkegelschnitte 231
71. Die Abwickelung des Rotationskegels.und seiner ebenen Quer-
schnitte ......................................................234
Beispiele 1 — 6..............................................236
72. Geodätische Linien auf entwickelbaren Flächen; ihreSchmiegungs-
ebeue ist normal zur Tangentialebene...........................237
Beispiele 1 — 8. Die Veränderung des Krümmungsradius einer
Curve bei der Abwickelung..................................239
73. Die Schraubenlinie als geodätische Linie des Rotationscylinders 241
Beispiele 1 — 8................................................243
74. Die developpable Fläche der Schraubenlinie und die Evolventen
der Normalschnitte...........................................244
Beispiele 1—12. Die Doppelcurven der developpabeln Schrauben-
fläche ....................................................246
75. Der Richtungskegel der developpabeln Schraubenfläche und seine
constructive Benutzung.........................................248
Beispiele 1 — 8................................................249
76. Vom ebenen Querschnitt der developpabeln Schraubeufläche und
seinen Singularitäten..........................................250
Beispiele 1—8..................................................252
77. Die Abwickelung der developpabeln Schranbenfläche und der
auf ihr gelegenen Curven.......................................253
Beispiele 1 — 8. Schraubenlinie der Krümmungscentra; Krüm-
mungshalbmesser der Ellipse in den Scheiteln............. 256
78. Ueber Hauptnormalen, Binormalen und Polarliuien der Raum-
eurven; von ihrer Polardeveloppabeln und ihrer rectificierenden
Developpabeln, von Evolventen und Evoluten....................258
Beispiele 1—17. Krümmungslinien der developpabeln Flächen;
Cycloiden und Evolventen...................................261
79. Von den Durchdringungseurven der Kegelflächen mit einander
und ihren developpabeln Flächen................................264
Beispiele 1 —11. Unendliche Aeste der Durchdringungseurven 266
80. Die Ordnungszahl der Durchdringungseurven zweier Kegel; die
Raumcurve vierter Ordnung......................................269
Beispiele 1 —10. Die einfachsten Raumcurven....................270
81. Von den Doppelpunkten der Durchdringungseurven der Kegel,
insbesondere der Curven vierter Ordnung und dem Zerfallen der-
selben in ebene Curven; die Raumcurve dritter Ordnung und
ihre developpable Fläche.......................................272
Inhaltsverzeichniss.
XXI
¡5 PaP-
Beispiele 1 —15. Die Raumcurve dritter Ordnung durch sechs
Punkte.......................................................277
82. Der Zusammenhang zwischen den Raumcurven und ihren ebenen
Abbildungen. Die Charactere m, r, k, y, ß, n................280
Beispiele 1 — 9. Schraubenlinie und Raumcurve dritter Ordnung 284
83. Der Zusammenhang zwischen den Raumcurven und den ebenen
Schnitten ihrer developpabelnFIUchen; die Charaktere r,n,sc,ff,m,a 285
Beispiele 1_12. Schraubenlinie und Raumcurve dritter Ordnung 288
84. Der projieierende Kegel der Curve und der Schnitt ihrer Deve-
loppabeln für besondere Lagen des Centrums respective der
Ebene desselben................................................290
Beispiele 1—19. Die developpable Fläche der Raumcurve dritter
Ordnung als Schattengrenze.....................................292
86. Die Entstehung eines Doppelpunktes in der Durchdringungs-
curve zweier Kegel durch die Lage der Spitze des einen Kegels
auf dem Mantel des andern; die Raumcurve vierter Ordnung
mit Rückkehrpunkt.......................................... 296
Beispiele 1 —12 298
86. Die Symmetrieverhältnisse der Raumcurve vierter Ordnung, d. i.
ihre doppeltumschriebene Developpable und ihre doppelteinge-
schriebene Curve: Vier Kegel zweiten Grades und vier ebene
Curven vierter Ordnung........................................ 300
Beispiele 1 —14 . 306
B. Von den krummen Flächen im Allgemeinen und
den Flächen zweiten Grades insbesondere.
§§ 87 — 103; pag. 310 — 399. Fig. 166 — 182. Tafel V—XL
87. Definitionen: Tangente, Tangentialebene und Normale der krum-
men Fläche in einem ihrer Punkte; Haupttangenten; hyperbo-
lische, parabolische, elliptische Punkte der Fläche . . · . . . 310
Beispiele 1 — 8....................................................311
88. Der doppelte Punkt und der Kegel zweiten Grades aus seinen
Haupttangenten·; vielfache Punkte.................................313
Beispiele 1—4..................................................... 313
89, Die Flächen zweiter Ordnung als solche mit hyperbolischen oder
mit elliptischen oder mit parabolischen Punkten....................314
Beispiele 1 — 2. Kegel zweiten Grades...........................315
90. Die Fläche zweiter Ordnung mit hyperbolischen Tunkten und
ihre beiden Regelschaaren; ihre projectivische Erzeugung. Ein-
faches Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid...................316
Beispiele 1—16. Das Parallelepipod von drei Paaren paralleler
Erzeugender, das windschiefe Viereck und seine Transversale;
Spur und Fluchtlinie des Hyperboloids.......................317
91. Von der Projoctivität des Büsebels der Tangentialebenen zur
Reibe ihrer Berührungspunkte und ihrer Verwendung .... 322
Beispiele 1 —15. Erzeugungsweisen der Regelflächen zweiter
Ordnung; längs einer Erzeugenden berührende Hyperboloide;
Centralpunkt und Normalenparaboloid...........................323
92. Schnitt mit einer Ebene und Berühruugskegel aus einem Punkte;
die Umrisse der Regelflächen zweiter Ordnung................326
Beispiele 1 —16. Der Asymptotenkegel..........................327
93. Die Punkte und die Tangentialebenen, welche eine Gerade mit
einer Regelfläche zweiter Ordnung gemein bat; Bestimmung eines
Punktes der Fläche aus einer seiner Projectionen............331
Beispiele 1 —14. Transversalen zu vier Geraden; Schnitt längs
einer Geraden sich berührender Hyperboloide...............333
XXII
Inhaltsverzcichniss.
§ pas.
94. Von den Niehtregelflächen zweiter Ordnung; Pol und Polar-
ebene; Quadrupel harmonischer Pole und Polarebenen . . . 336
Beispiele 1 —15. Flächen zweiter Ordnung als Iuvolutionsgc-
stalten; Polarreciprocität ; Bündel der Polarebenen und Büschel
derselben; conjugicrte Tangenten·...................339
95. Durchmesser, Mittelpunkt und Diametralebenen,der Flächen
zweiten Grades; Erzeugung derselben durch Bewegung von
Kegelschnitten...........................................342
Beispiele 1 —12..........................................344
96. Folgerungen für die Darstellung der Flächen zweiten Grades
in Parallel- nud Centralprojection.......................347
Beispiele 1—9. Ebener Schnitt und Berührungskegel der durch
drei conjugierte Durchmesser bestimmten Fläche zweiten Grades 349
97. Die Axen und Scheitel, die Hauptebenen und Hauptsehnittc der
Flächen zweiten Grades...................................353
Beispiele 1—18. Die Axen des Ellipsoids ans drei conjugierten
Durchmessern; Eotationsflächen; Kreisschnitte und Kreispunkte
der Flächen zweiten Grades.............,....................356
98. Die elliptischen Flächen zweiten Grades als Collinearverwandte
der Kugel; Kreisschnitte derselben.......................361
Beispiele 1 —12..........................................364
99. Durchdringungseurven und gemeinsam umschriebene Develop-
pable von zwei Flächen zweiten Grades in speeiellen Fällen 367
Beispiele 1 — 20. Ebene Schnitte von kreisförmigen Projeetio-
nen; Kegel über ebenen Schnitten und stereographische Pro-
jectionen.....................................................370
100. Die Symmetrieverhältnisse der Durchdringungscurve von zwei
concentrischen Flächen zweiten Grades; die involutorisehen
Beziehungen für den allgemeinen Fall..........................375
Beispiele 1—26. Das Büschel von Flächen zweiten Grades und
das gemeinsame Quadrupel harmonischer Pole und Polarebenen
für dieselben............................................379
101. Das Problem von der gemeinsam umschriebenen Developpabeln
von zwei Flächen zweiten Grades wird durch das Princip der
Eeciprocität auf das Vorige zurückgeführt.....................384
Beispiel 1 — 26. Die Flächenschaar zweiten Grades; Develop-
pabele von gleichem Fallen durch einen Kegelschnitt; confo-
cale Flächen zweiten Grades . ,..............................388
102. Die doppelte Erzeugung der krummen Flächen durch aufge-
schriebene Curven und umschriebene Developpable, die conj u-
gierteh Tangenten und die Indicatrix .........................393
Beispiele 1 — 8...............................................395
103. Die Curven der Ilaupttangenten oder asymptotischen Linien
der Flächen; die Krümmungslinien derselben, die Hauptnormal-
schnitte und das Normalenbündel .........................396
Beispiele 1 — 2............................................. 399
C. Von den windschiefen Segelflächen.
§§ 104 — 114; pag. 400 — 446. Fig. 183 — 197.
104. Die doppelte Erzeugung derselben durch drei Leitcurven oder
drei Leitdeveloppabele........................................400
Beispiele 1 — 8. Die Vielfachheit der Leitcurven respective
Developpabeln und die Ucbergänge derselben; singuläre Er-
zeugende und Tangentialebenen....................... . . 401
105. Drei Haupttypen und ihre einfachsten Beispiele: a) die flach-
gängige Schraube, Wölbfläche des Eingangs in den runden
Thurm, Kugel-Couoid, Normalenbündel......................404
Inhaltsverzeiclmiss.
XXIII
8 pas·
b) scharfgängige Schraube, Wölbflache des schiefen Eingangs,
Cylindroid........................................... 406
c) Die Flächen mit drei Leitcurven als Object der Theorie . 408
Í06. Ordnung und Classe oder Grad einer windschiefen Regelfläche
und Reduction derselben...................................408
Beispiele 1—9........................................... 410
107. Die Punkte der Erzeugenden einer Regelfläche und ihre Tan-
gentialebenen nach ihrem projcctivischen Entsprechen und die
constructive Bestimmung derselben..............................412
Beispiele 1 —12. Die längs einer Erzeugenden berührenden
Hyperboloide und Paraboloide einer Regelfläche............414
108. Die rechtwinkligen Involutionen von Tangentialebenen der
Regelfliiche und die Strictionslinie derselben.................419
Beispiele 1 —12. Das Normalenparaboloid, die singulären Er-
zeugenden ................................................420
109. Die doppeltaufgeschriebene Curve und die doppeltumschriebene
Developpable der Regelfläehe ..................................423
Beispiele 1 —12. Doppelcurven; Curven der Haupttangenten 425
110. Vom ebenen Querschnitt und vom Berührungskegel der wind
schiefen Regelfläche ..........................................428
Beispiele 1 —12. Umrisse und Schattengrenzen...................430
111. Vom Richtungskegel und der asymptotischen Developpab ein der
Regelfläche....................................................432
Beispiele 1 —10. Schraubenregelflächen.........................433
112. Die Schnittpunkte und die Tangentialebenen einer Regelfläche
mit einer Geraden ..................................... . . . 435
Beispiele 1—4..................................................435
113. Die Verbindungen einer Regelfläehe mit andern Flächen . . 436
Beispiele 1 —10................................................438
114. Von den windschiefen Regelflächen dritten Grades..............440
Beispiele 1—4. Die Raumcurve vierter Ordnung zweiter Art 445
D. Von den Rotationsflächen.
§§ 115—130; pag. 447 — 504. Fig. 198 — 215. Taf. XII.
115. Die Erzeugung der Rotationsflächen durch Axendrehung auf-
gesehriehener Curven: Parallelkreise und Meridiane. Parallel-
kreisberührungskegel und Meridianberührungseylinfler. Die Er-
zeugung der Rotationsflächen durch Axendrehung umschriebener
Doveloppabeln....................................................447
Beispiele 1 — 6..................................................449
116. Die constructive Bestimmung und Darstellung der Rotations-
flächen durch Axe und erzeugende Curve...................450
Beispiele 1—6....................................................451
117. Darstellung der Punkte von Rotationsflächen aus der der Axe
und der erzeugenden Curve .......................................452
Beispiele 1 — 6..................................................453
118. Darstellung der Tangentialebenen von Rotationsflächen bei ge-
gebenem Berührungspunkt. Normalen der Rotationsflächen.
Krümimingslinicn und Curven der Ilaupttangenten derselben . 454
Beispiele 1 —10..................................................456
119. Uebersicht der bei der constructiven Behandlung von Rotations-
flächen auftretenden wesentlichen Aufgaben; Ordnung derselben
in zwei nach dem Princip der Dualität sich entgegeustehende
Gruppen..........................................................458
120. Die ebenen Querschnitte der Rotationsflächen nach ihrer Con-
struetion durch Farallelkreise und durch Meridiane, ihre aus-
XXIV
Inhaltsverzeichniss.
S P»g·
gezeichneten Punkte und ihre Symmetrieverhältnisse an sich
und in den Projectionen..........................................460
Beispiele 1 —12.................................................4(12
121. Bernhrungskegel von Rotationsflächen mit gegebenem Scheitel
nach ihrer Construction durch Parullelkreisbcrührnngskegel
und Meridianberührungscylinder und Symmetrie derselben; Be-
rührungseylinder. Ihre Berührungscurven mit der Fläche und
ihre Spuren in den Projectionsebenen und deren Bedeutung für
die Beleuchtung der Fläche durch Licht aus punktförmiger Quelle 465
Beispiele 1 —13. Von den singulären Punkten der Schlag-
schattencurven und von den Beriihrungscylindern für Rotations-
flächen, deren Meridiane Kegelschnitte sind....................467
122. Die projicierenden Berührungscylinder und Kegel der Rota-
tionsflächen bei allgemeiner Lage der Axen und die Umrisse
der Bilder dieser Flächen in Parallel- und Central-Pro.jection 470
Beispiele 1—8 ............................................473
123. Punkte und Tangentialebenen, welche einer Rotationsfläche und ..
einer geraden Linie gemein sind; zwei Coustruetiousmethoden
für dieselben..................................................475
Beispiele 1 — 6............................................... 476
124. Tangentialebenen der Rotationsflächen von gegebener Neigung
gegen eine feste Gerade und Berührungspunkte derselben; um-
schriebene Developpable, deren Richtungskegel oin Rotations-
kegel von gegebener Ax^uricbtung und festem Winkel an der
Spitze ist, und ihre Berührungscurven mit der Fläche. Ihre
Bedeutung als developpable Flächen von gleicher Ilelligkeit
und als Linien gleicher Helligkeit anf den Rotationsflächen.
Mögliche Interpretation der letztem im unbeleuchteten Theil
der Fläche......................................................477
Beispiele 1 — 6..................................................479
125. Die fundamentale Bedeutung der Belouchtungsconstructionen
für Rotationskegel und Cylinder für die auf die hauptsächlich-
sten Familien der krummen Flächen bezüglichen Constructionen
dieser Art. Die einfachste Lösung für Kegel, Cylinder und
Kugel........................................................... 480
Beispiele 1 —11..................................................482
126. Die specielle Durchführung der Belouchtungsconstructionen für
Rotationsflächen und die Symmetrie Verhältnisse ihrer Intensi-
tätslinicn.......................’............................185
Beispiele 1 — 6..................................................488
127. Die Durchdringungen der Rotationsflächen mit Kegel- und Cy-
lindorflächen und ihre Bedeutung im Sinne der Schattencon-
construction................................................... 489
Beispiele 1 —11. Ein scheinbarer Doppelpunkt.....................491
128. Von den Beziehungen der Rotationsflächen zu developpabeln
Flächen.......................................................494
Beispiele 1 — 3..................................................496
129. Die gemeinsame aufgeschriebene Curve und die gemeinsame
umgeschriebene Developpable von zwei krummen Flächen über-
haupt; insbesondere im Falle von zwei Rotationsflächen mit
parallelen oder mit sieh schneidenden Axen......................496
Beispiele 1 — 8..................„............................501
130. Durchdringung und gemeinsame Developpable von zwei Ro-
tationsflächen, deren Axen sich kreuzen, insbesondere von Ro-
tationsflächen zweiten Grades. Beziehungen zwischen drei
krummen Flächen..................................................501
Beispiele 1 — 6..................................................504
Inhal tsverzeichniss.
XXV
S P»S·
E. Von den projectivischon Coördinaten.
§§131 — 145; pag. 505—580. Fig. 216 — 228.
131. Die Bedingungen der Projectivität als Grundlage der Coordi-
natenbestimmung innerhalb der geometrischen Grundgebilde der
verschiedenen Stufen.....................................505
132. Die Coordinatenbestimmung für die Gebilde erster Stufe: Punkt-
reihe, Strahlenbüschel, Ebenenbüschel.........................507
Beispiele 1 — 6............................................509
133. Die Coordinatenbestimmung in der Ebene für Punkte und für
gerade Linien, und im Bündel für Strahlen und Ebenen . . . 510
Beispiele 1 — 4................................................612
134. Die Verbindung beider Bestimmungsmethoden in der Ebene,
re8peetive im Bündel; Gleichungen der Geraden, des Punktes
— der Ebene, des Strahls....................................514
Beispiele 1—6................................................ 515
135. Die Cartesischen und Plückerschen Coördinaten als Specialfall
der projectivischon Coördinaten............ ...............516
Beispiele 1—6..................................................517
136. Die Verbindungslinie (Ebene) von zwei Punkten (Strahlen) und
der Durchschnittspunkt (Strahl) von zwei Geraden (Ebenen) , 518
Beispiele 1 — 7.............................................. 521
137. Die geometrische Bedeutung homogener Gleichungen n՝™ Grades
zwischen zwei und drei Variabein...............................525
Beispiele 1 —11. Curven und Kegel zweiten Grades .... 527
138. Die Coordinatenbestimmung für den Punkt und die Ebene
im Raum....................................................... 531
Beispiele 1 — 2................................................533
139. Die Verbindung beider Bestimmungsmethoden im Raum, Glei-
chungen der Ebene und des Punktes.............................534
Beispiele 1 — 5.............................................. 537
140. Die Specialfälle der Cartesischen und Plücker’schen Coördinaten 538
Beispiele 1 — 3................................................539
141. Die Gleichung der Ebene durch drei Punkte und die dos
Punktes in drei Ebenen; Auflösung linearer Gleichungen . . 540
Beispiele 1—6..............................-.................. 542
142. Die gerade Linie im Raum als Verbindungslinie von Punkten
respective als Schnittlinie von Ebenen, ihre sechs Coördinaten
und die Beziehungen zwischen denselben, sowie deren geome-
trische Bedeutung..............................................544
Beispiele 1—11. Construction der Geraden aus ihren sechs
Coördinaten; geometrische Ableitung der Beziehungen zwischen
den i ik und den nik...........................................548
143. Die geometrische Bedeutung von homogenen Gleichungen nte
Grades zwischen vier respective sechs Variabein; krumme
Flächen und Strahlensysteme. Bedeutung der Coexistenz von
zwei und drei solchen Gleichungen..............................551
Beispiele 1 —17. Flächen zweiten Grades; Ranmcurve vierter
Ordnung mH Rückkehrpunkt ................................553
144. Die analytische Ausdrucksweise der Projectivität der Gebilde
der verschiedenen Stufen ......................................561
Beispiele 1—28. Specialisierungeix und geometrische Deutung;
die Transformation der Coördinaten; die Verbindungen projec-
tivischer Gebilde gleicher Stufen..............................564
145. Die Behandlung metrischer Beziehungen in Cartesischen und
Plücker’schen Coördinaten......................................575
Beispiele 1 —12. Die Entfernung von Punkt und Ebene; die
Winkelbestimmung·, das Tetraedervolumen..................576
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