Verfügbarkeit: Elliptische Functionen

Elliptische Functionen: Theorie und Geschichte ; academische Vorträge

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Enneper, Alfred 1830-1885 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Halle a/S Nebert 1876
Schlagworte:	Elliptische Funktion
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adam_text	Inhaltsverzeichnis» Erster Abschnitt. Seite § 1. Einleitende Betrachtungen............................... 1 § 2. Bemerkungen Uber einige einfache Integrale irrationaler algebrai- scher Functionen................................................. 7 § 3. Seduction der elliptischen Differentiale nach Legendre .... 11 § 4. Bemerkungen und Ausführungen zur Seduction elliptischer Diffe- rentiale ........................................................17 § 5. Literarische Notizen. Das allgemeine Theorem von Jacobi... 26 Zweiter Abschnitt. § 6. Die elliptischen Functionen. Definitionen derselben durch Diffe- rentialgleichungen ..............................................28 § 7. Die reelle Periode der elliptischen Fuuctionen.........32 § 8. Die elliptischen Functionen mit imaginärem Argument. Die ima- ginäre Periode der elliptischen Functionen.......................35 § 9. Die elliptischen Functionen sind doppelt periodische Functionen. Allgemeine Gleichungen für dieselben......................41 Dritter Abschnitt. § 10. Darstellung elliptischer Functionen in Form unendlicher Producte 44 §11. Bemerkungen über die unendlichen Producte des § 10.51 Vierter Abschnitt. §12. Transformation eines unendlichen Products in eine unendliche Seihe. Darstellung der elliptischen Functionen durch trigonome- trische Seihen.........................................................57 §13. Die Quadrate und Producte der elliptischen Functionen in Form unendlicher Seihen......................·.....................64 §14. Verification der Seihen für die elliptischen Functionen. Besondere Darstellung der Zähler und Nenner der unendlichen Producte . 71 §15. Entwickelung eines unendlichen Products in eine Seihe. Der Ursprung der Theta-Functionen..................................... 74 Fünfter Abschnitt. § 16. Die Theta-Functionen. Beziehungen zwischen denselben ... 82 § 17. Vergleichung der Theta - Functionen mit reellen und imaginären Argumenten.........................................................86 §18. Das Multiplicationstheorem der Theta-Functionen ....................95 § 19. Anwendungen des Fundamental-Theorems. Die Theta-Functionen mit zusammengesetzten Argumenten..................................103 VIII Seite §20. Die Quotienten der Theta-Functionen, das Additionstheorem der- selben. Die Constante O· , (o)....................................110 Sechster Abschnitt. § 21. Uebergang von den Theta - Functionen zu den elliptischen Func- tionen .......................................................... 116 § 22. Zusammenstellung der wichtigsten Reihen und Producte in der Theorie der elliptischen Functionen...............................120 Siebenter Abschnitt. § 23. Das Additionstheorem der elliptischen Functionen und Integrale erster Gattung....................................................129 § 24. Zusammenstellung einiger Formeln, welche sich aus dem Additions- theoreme ergeben. Anwendungen des Additionstheorems . . . 142 Achter Abschnitt. § 25. Die elliptischen Integrale und ihre Classification ...... 150 § 26. Die elliptischen Integrale zweiter Gattung......................159 § 27. Differentialgleichungen der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung in Beziehung auf den Modul. Uebergang zu den elliptischen Integralen dritter Gattung.......................168 § 28. Die elliptischen Integrale dritter Gattung. Untersuchungen von Legenäre über dieselben, betreffend den Parameter.................175 § 29. Die elliptischen Integrale dritter Gattung als Functionen des Para- meters. Die ganzen Integrale. . . ................................183 § 30. Das Additionstheorem der elliptischen Integrale dritter Gattung nach Legenäre.....................................................189 § 31. Ausdruck des Parameters in den elliptischen Integralen dritter Gattung durch elliptische Functionen.................. ... 193 § 32. Die elliptischen Integrale dritter Gattung nach Jacobi’s Reihen- entwickelungen. Jacob?s erste Darstellung des Additionstheorems 196 § 33. Die elliptischen Integrale dritter Gattung und die Theta-Func- tionen. Das ganze Integral. Vertauschung von Argument und Parameter. Additionstheoreme der Argumente und Parameter. Integrale mit zusammengesetztem Argument und Parameter . . 203 § 34. Die verschiedenen Formen der elliptischen Integrale dritter Gattung. Literarische Anmerkungen..............................210 Neunter Abschnitt. § 35. Die Transformation der elliptischen Functionen. Erste Unter- suchungen von Jacobi, betreffend algebraische Principien . . . 225 § 36. Das Problem der Transfonnation nach Abel........................237 § 37. Die Theta-Functionen, für welche q durch q« ersetzt ist. Die erste reelle Transformation von Jacobi. Uebergang vom grösseren zum kleineren Modul............................................246 1 § 38. Die Theta-Functionen, für welche q durch « qn ersetzt ist, wo «» = 1........................................................ 264 § 39. Die » Trausformationsgleichungen der elliptischen Functionen, welche dem Uebergang von q in aqn der Theta-Functionen ent- IX Seite sprechen. Die zweite reelle Transformation von Jacobi. Ueber- gang vom kleinern zum grösseren Modul.................^ 281 § 40. Die Theta-Functionen, in welchen q durch ql oder 1/q ersetzt ist und die entsprechenden elliptischen Functionen. Die Theta- ni Functionen mit dem zweiten Argumente /q.........................295 § 41. Transformationen zweiter Ordnung. Historische und literarische Bemerkungen. Landen, Legendre, Lagrange, Gauss, Jacobi. Lineare Relationen zwischen elliptischen Integralen erster und zweiter Gattung. Küpper, Richelot, Schröter . ..................304 § 42. Die Multiplication der elliptischen Functionen. Theorem von Jacobi. Literarische Notizen......................................319 § 43. Die elliptischen Functionen, deren Modul grösser wie die Einheit ist. Anwendungen derselben auf verschiedene Transformations- gleichungen ............................................................337 § 44. Die allgemeine Transformation der Theta - Functionen............345 g 45. Die allgemeine Transformation der elliptischen Functionen mittelst einer algebraischen Gleichung. Literarische Anmerkungen . . . 359 g 46. Ueber die Differentialgleichungen, welchen die Zähler und die Nenner bei den elliptischen Transformationsformeln und Multipli- cationsformeln genügen . ...............................................372 g 47. Die Modulargleichungen. Differentialgleichung dritter Ordnung zwischen dem primitiven und dem transformirten Modul. Der Multiplicator und seine Bestimmung mittelst der Modulargleichung 388 g 48. Die Modulargleichungen nach Jacobi und Sohncke..................394 g 49. Die Theta-Functionen für einige besondere Werthe des Arguments. Allgemeine Formel für das Product zweier Theta-Functionen von Schröter.........................■..............................416 g 50. Anwendung der Theta-Functionen auf die Construction von Mo- dulargleichungen nach Schröter....................................424 Noten. I. Ueber einige Integrale, welche sich auf elliptische Integrale redu- ciren lassen...................................................431 II. Die Reihen von Lagrange und Fourier..........................439 III. Transformationen einiger unendlichen Producte in Reihen . . . 448 IV. Theorem über die Theta-Functionen. Transformation einer Reihe in ein Product................................................449 V. Ueber einige Folgerungen Jacobi s aus dem Additionstheoremc der elliptischen Functionen durch Combinationen der betreffenden Gleichungen und Integration..............................453 VI. Das Theorem von Fagnano. Die Ellipsen- und Hyperbelbogen. Theorem von Landen............................................456 VII. Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale. Maclaurin, d’Alembert, Jacob u. Johann BernouUi, Fagnano, Euler, Legendre. Arbeiten über Fagnano. Brinkley, Wallace, Talboi, Libri . ......................................470 X Seite VIII. Geometrische Anwendungen der elliptischen Integrale zweiter Gattung. A. Sätze über confocale Kegelschnitte und die Lemniscate. Graves, Mac CuUagh, Salmon, Hart, Chasles.........................497 B. Die Oberfläche des dreiaxigen Ellipsoids. Legendre, Calalan, Plana, Lebesgue, Scklömäch, Malmsten..............................503 IX. Zwei Beispiele . zur Beduetion der elliptischen Integrale dritter Gattung mit complexen Parametern auf Integrale mit reellen Para- metern nach der Methode von Legendre ........................· ■ . 511 X. Die Transformationen erster Ordnung von Abel. Die Transforma- tionen dritter und fünfter Ordnung nach Jacobi........................515 XI. Dio Transformation der elliptischen Integrale zweiter Gattung nach Legendre.....................................................520 XII. Entwickelung einiger elliptischen Functionen in Beihen nach Hermite...........................................................522
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