Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte
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Inhaltsverzeichnis.
A. Allgemeine Theorie der Vielecte.
Seite
1. Definitionen. Vollständiges Vieleck und VielBeit 1
2. über die Teilung der Ebene durch die Geraden des vollständigen n seits 2
3. Der Perimeter des Vielecks. Umfangs , Innen und Aussenwinkel. Begriff von konvex 2
4. Die Art a eines VieleckeB 3
6. Die InuenwinkelBumme des Vielecks. Zweite Bestimmung der Zahl o 4
6. Die Einteilung der Vielecke nach den Werten von Je und o 5
7. Die Formen des Vier , Fünf und Sechsecks. Diskontinuierliche Vielecke 5
8. Der Flächeninhalt der Vielecke 6
9. Andere Bestimmung von a für konvexe Vielecke 8
10. Reziprozität der Vielecke, Doppelpunkte und Diagonalen 9
11. Diagonalen und Doppelpunkte 10
13. Geschichtliche Bemerkungen. (Ältere Autoren, Girard, Meisler, Mobius, Poinsot, Jacöbi, Wiener, Wolf, Hess,
Dostor u. a.) 12
B. Besondere Yielecke.
13. Einteilung der besonderen Vielecke 16
14. Die regelmäsBigen Vielecke; ein und umbesehriebener T£feis ... . ... ...... 16
15. Fortsetzung. Die Art des Vielecks. Anzahl der « ecke 17
16. Fortsetzung. Die Winkel, die Kanten und der Inhalt des Vielecks 18
17. Fortsetzung. Doppelpunkte und Diagonalen. Das vollständige regelmäBsige w aeit und n eck 19
18. Reziprozität der regelmassigen Vielecke 20
19. Geschichtliche Bemerkungen. (Die Kreisteilung. Metrische Eelationen) 20
20. Gleicheekige und gleichkantige Vielecke. Ein und umbeschriebene Kreise 22
21. Entstehung der gleicheckigen Vielecke. Die Kanten verschiedener Art 23
22. Die Winkel des gleicheckigen VieleekB, die Kanten und die Radien der einbeschriebenen Kreise 24
23. Die gleicheckigen 2n ecke der ersten Art 25
24. Die gleicheckigen 2n ecke der zweiten Art 25
26. Die gleieheckigen 2n ecke der dritten Art 26
26. Die gleicheckigen 2n ecke der vierten Art 27
27. Gleicheckige 2« ecke der Art a — 2p + 1, wenn a ——— bez. — ist 27
28. Gleicheckige 2« ecke der Art a — 2p, wenn a —£— bez. ~ ist 28
29. Gleicheckige 2« ecke der Art a = ^~~ b« ^ 29
30. Gleicheckige 2n ecke der ^i^ ten Art 30
81. Vielecke, deren Kanten das Unendlichweite enthalten. Inverse Vielecke 88
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
82. Zweite Art der Entstehung der gleicheckigen Vielecke 84
33. Erste Art der Entstehung der gleichkantigen Vielecke. Die Reziprozität 86
84. Gleichkantige 2« kante der Art a —^— bez. 87
z *
86. Gleichkantige 2« kante der Art a = T 4 38
86. Zweite Art der Entstehung der gleichkantigen Vielecke 40
87. Die regulären sphärischen Polygone 41
88. Die halbregulären sphärischen Polygone . . „ 42
89. Geschichtliche Bemerkungen. Rückblick und Ausblick 43
C. Allgemeine Theorie der Yielflache.
40. Das vollständige räumliche « eck und » flach. Diagonale, Kantondiagonalpunkt und ebene, Hauptdiagonalpunkt
¦and ebene 44
41. Das (einfache) räumliche « eck und « flach. Definitionen (Flächenwinkel; Begriff von konvex; Polarecke; allgemeines
und singuläres Vielflach; Trigonalpolyeder) . 45
42. Über die Teilung des Baumes durch die Ebenen des vollständigen « flaches 46
43. Das vollständige Vier und Fünfflach. Die gewöhnlichen und aussergewöhnlichen (einfachen) Vier und Fünfflache . .47
44. Einfach und mehrfach zusammenhängende berandete Flächen. Definition des Querschnitts. Die Grundzahl einer Fläche 49
46. Beziehung der Zahl der Bänder zur Grundzahl einer berandeten Fläche 49
46. Die geschlossene Fläche und ihre Grundzahl. Zweiseitige Fläche 60
47. Der Satz e — ifc f f — 1 für eine einfach zusammenhängende, berandete, zweiseitige polyedrische Fläche 51
48. Die entsprechende Gleichung für eine mehrfach zusammenhängende, zweiseitige, berandete polyedrische Fläche ... 52
49. Der Eulersche Satz. Zweite Ableitung der Gleichung der vorigen Nummer 62
60. Der erweiterte Eulersche Säte für mehrfach zusammenhängende Vielflache 52
61. Vielflache mit mehrfach zusammenhängenden Einzelflächen 53
62. Diskontinuierliche Vielflache 64
63. Die einseitigen Flächen 54
64. Der Eulersche Satz für einseitige Polyeder 56
66. Einige Beispiele einseitiger Polyeder zur vorstehenden Theorie 56
66. Geschichtliche Bemerkungen: Beweise des Eulerschen Satzes in seiner ursprünglichen Form. (Euler, Descartes, Meister,
Lhuilier, Steiner, Legendre, v. Staudt, Cauchy u. a.) 68
67. Geschichtliche Bemerkungen, Fortsetzung: Das verallgemeinerte Euler sehe Theorem. (Lhuilier, Cauchy, Listing, Becker,
Jordan, Mobius u. a.) 62
68. Legendres Satz über die Bestimmung eines Eulerschen Polyeders durch k Stücke (Gleichungen) 66
69. Gavchys Satz über die Bestimmung eines konvexen Eulerschen Polyeders durch sein Netz 67
60. Das Kantengesetz von Mobius; zweites Kriterium für einseitige Vielflache 68
61. Der Inhalt und die Oberfläche eines zweiseitigen Vielflaches 69
62. Beispiele zur vorstehenden Theorie. Vielflache, deren Oberfläche bez. Inhalt Null ist. Die entsprechenden Betrach¬
tungen für. einseitige Polyeder 71
63. Die Art A = 1 eines gewöhnlichen Vielflaches 72
64. Die polare Reziprozität der Vielflache 73
65. Isomorphe und allomorphe, spiegelbildlich isomorphe und autopolare Vielflache 74
66. Möbius1 Darstellung eines Vielflaches: das Kantengesetz in zweiter Form. Reziprozität der einseitigen Vielflache . . 76
67. Beispiele zu der in Nr. 65 und 66 entwickelten Theorie 76
D. Theorie der Eulerschen Yielflache.
68. Einleitende Bemerkungen 78
69. Folgerungen aus dem Enlerschen Fnndamentalsatze 79
70. Ordnung der Vielflache einer bestimmten Flächenzahl f — n 80
71. Die Kreuzungskanten eines allgemeinen Vielflaches. Ableitung der singulären Vielflache aus den allgemeinen. ... 81
72. Fondamentalkonstraktion der allgemeinen Vielflache und der Trigonalpolyeder 88
73. Die Stammflächen eines allgemeinen Vielflaches. Andere Konstruktion der allgemeinen Vielflache 86
74. Die Scheitelfläehensyatenie eines allgemeinen Vielflaches. Einteilung der Vielflache in drei Klassen 89
Inhaltsverzeichnis. * VII
Seit«
75. Die autopolaren Vielflache 91
76. Geschichtliche Bemerkungen. (Möhius, Cayley, Poinsot, Kirlman, Hermen, Eberhard) 93
77. Die Kantenpolygone eines Vielflaches 99
78. Enthaltende (reducible) und enthaltene Vielflache. Erweiterung eines Vielflaches 100
79. Die charakteristische Gleichung eines Vielflaches. Definitionen verschiedener Erweiterungen 102
80. Einteilung der Vielflache in Bereiche, Stämme und Familien 102
81. Stellung der weiteren Probleme 108
82. Die Elementarpolygone und Elementargürtel 108
83. Normalpolygone und Normalgürtel 106
84. Die Gegenkantensysteme eines Vielflaches und die Bestimmung der Nonnalpolygone 106
86. Die Charakteristik eines Kantenpolygons 108
86. Die Hexagonoide von einfachem und zweifachem Zusammenhange und die Charakteristik eines Elementarpolygons 108
87. Die Morphologie der Hexagonoide JB„ und die drei Grundformen der Elementarpolygone 110
88. Reduktion der Elementarpolygone eines Vielflaches 118
89. Die Elementarpolygone des Pentagondodekaeders und dessen Erweiterung 113
90. Die Hexagonoide von mehrfachem Zusammenhange 115
91. Die allgemeinen Elementarnetze und Erweiterungen 115
92. Die Existenz von Elementarpolygonen auf jedem Vielflaehe . . . . : 117
98. Die Charakteristikensysteme eines Vielflaches An und der aus ih™ elementar abgeleiteten 117
94. Das für jedes Vielflach existierende n teilige Elementarnetz und die Prozesse H1 und JT, 117
95. Die Existenz des Bereiches Bm 118
96. Die Stämme deB Bereiches JB0 119
97. Die Stamme des Bereiches Bm 119
98. Die Bestimmung der Polyederfamilien eines Stammes 120
E. Die besonderen Eulerschen Tielflache.
99. Einteilung der besonderen Vielflache 121
100. Die regelmassigen Vielflache. Ableitung und Existenzbeweis 122
101. Die zum regulären Vielflach gehörenden Kugeln 123
102. Elementare Betrachtung des Tetraeders, Hexaeders und Oktaedere. (Metrische Relationen, Reziprozität, Achsen¬
systeme.) 123
103. Elementare Betrachtung des Ikosaederg und Dodekaeders. (Metrische Relationen, Reziprozität, Achsensysteme.) . . 126
104. Zweite Ableitung der regulären Vielflache. Die regulären Kugelnetze 127
105. Geschichtliche Bemerkungen 129
106. Die Archimedeischen (halbregulären) Vielflache. Ihre Ableitung 132
107. Allgemeine Sätze über die halbregulären Vielflaehe. Metrische Relationen :¦ 133
108. Die durch Entecken aus den regulären Vielflachen abzuleitenden halbregulären 134
109. Die durch Entecken und Entkanten parallel den Kanten der regulären Vielflache aus diesen hervorgehenden halb¬
regulären . 136
110. Die Archimedeischen Vielflache Nr. II und XII 138
111. Das Arehimedeische Prisma und Antiprisma 139
112. Bezeichnung und Konstruktion der gleicheckigen und der gleichflächigen Vielflache 140
113. Einteilung der gleicheckigen und der gleichfläehigen Polyeder in Klassen, Ordnungen u. s. w 141
114. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der ersten Hauptklasse 142
115. Die Polyeder der ersten Gruppe der ersten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse 144
116. Die Polyeder der zweiten Gruppe der ersten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse 146
117. Die Polyeder der dritten Gruppe der ersten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse 147
118. Die Polyeder der zweiten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse 148
i 119. Beziehung der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder zu den Kugelnetzen 160
I 120. Weitere Bemerkungen über die Kugelnetze, beB. die festen gleichflächigen 152
} 121. Die AbleitungskoSffizienten der volMhligen Polyeder der zweiten Hauptklasse 164
I 122. Geschichtliche Bemerkungen (Arehimeäes, Päciuölo, Dürer, Jamitzer, Stifel, Kepler, Kästner, M. Hirsch, Gergonne,
{ Catälan, Hessel, Badoureau, Titsch, Hess, Fedorow «. a.) 156
VIII Inhaltsverzeichnis.
F. Die besonderen Yielflache höherer Art.
Seite
123. Einleitung. Von den Flächen und Ecken der Vielflache höherer Art 163
124. Die Art A eines Vielflaches. Die Formeln von Hess. (Erweiterter Eulerscher Satz) 164
125. Die Reziprozität der Vielflache höherer Art 165
126. Einteilung und Bezeichnung der Vielflache höherer Art 165
127. Allgemeine Sätze über die regulären Vielflache höherer Art 166
128. Erste Ableitung der regulären Vielflache höherer Art 167
129. Zweite Ableitung der regulären Vielflache höherer Art 169
130. Die regulären, die Kugel mehrfach bedeckenden Netze. Die Reziprozität 170
181. Symmetrieachsen und Ebenen. Metrische Relationen 171
182. Die Doppelelemente eines Vielflaches höherer Art .. . . ...... 172
133. Die Doppelelemente des 12 eckigen Stern 12 Flaches und des 12 flächigen Stern 12 Ecks 173
134. Die Doppelelemente des 20 eckigen Stern 12 Flaches und des 20 flächigen Stern 12 Ecks 174
135. Die Doppelelemente eines diskontinuierlichen Vielflaches 175
136. Abhängigkeit der Artzahl A von der Anzahl der Doppelelemente 176
137. Geschichtliche Bemerkungen. (Jamiteer, Kepler, Poinsot, Cauchy, Bertrand, Cayley, Wiener, Hess, Badoweau, Becker,
Möbius, Fedorow u. a.) 176
138. Allgemeine Sätze über die gleicheckigert und die gleichflächigen Kugelnetze und die zugehörigen Polyeder höherer Art 179
139. Konstruktionen tmd Einteilung der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder höherer Art 182
140. Die Polyeder höherer Art der ersten Hauptklasse (Prismen, Antiprismen u. s. w.) 184
141. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der ersten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse 185
142. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der zweiten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse 188
143. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der dritten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse 190
144. Die gleicheekigen. und die gleichflächigen Polyeder der vierten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse 192
146. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der ersten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse 192
146. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der zweiten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse 196
147. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der dritten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse 198
148. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der vierten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten HauptklasBe 199
149. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der fünften Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse 201
160. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der sechsten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse 202
161. Geschichtliche Bemerkungen. (Badoureau, Pitseh, Hess) 202
162. Die gleicheckigen und zugleich gleichflächigen Polyeder höherer Art 205
163. Die vollständige Figur der Ebenen des Ikosaeders 206
154. Das 20(3 ( 2 . 3), flächige öO^ Eck der 5. Art und das ihm polare Polyeder 207
165. Das 20(3 { 2 . 3)t flächige 60(3)j Eek der 25. Art und das ihm polare Polyeder 208
166. Die vollständige«, Figur der Ebenen des Triakontaeders 209
167. Das 30(4 f 4 f 4), flächige 2 . 60(3X Eck der 15. Art und das ihm polare Polyeder 210
168. Das 30(4 + 4 f 4)e flächige 2 . 60(3)i Eck der 45. Art und das ihm polare Polyeder 211
169. Über diskontinuierliche Polyeder, welche konzentrische Anordnungen regulärer Polyeder erster oder höherer Art sind 212
160. Einteilung der nicht konvexen Polyeder in zwei Abteilungen nach dem Werte von A 213
161. Nicht konvexe zugleich gleicheckige und gleichfläehige Polyeder der ersten Abteilung 214
162. Nicht konvexe zugleich gleichecMge und gleichflächige Polyeder der zweiten Abteilung 215
163. Über eine besondere Gruppe einseitiger, gleicheckiger und gleichflächiger Polyeder 217
Anhang I. C. Jordans Einteilung der Eulerschen Polyeder nach ihrer Symmetrie 218
Anhang II. Von den Ringpolyedern 220
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