Vorlesungen über ebene algebraische Kurven und algebraische Funktionen:
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Braunschweig
Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn
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Vorwort III
Inhaltsverzeichnis VII
Einleitung 1
Geschichtliches 3
Erster Teil. Verlauf einer algebraischen Kurve.
I.Abschnitt. Stetigkeit der rationalen und der Wurzel¬
funktionen einer Veränderlichen.
1. Zwei Sätze über den absoluten Betrag 5
2. Algebraische Funktion und algebraische Kurve 6
3. Unstetigkeiten. Rechts- und linksseitiger Grenzwert 8
4. Stetigkeit 10
5. Stetigkeit des Polynoms 12
6. Stetigkeit von rational gebrochenen und von Wurzelfunktionen. . . 14
II. Abschnitt. Bildliche Darstellung der Wurzelfunktionen.
7. Das Bild einer stetigen Funktion 15
8. Anschlußfunktionen und -kurven 17
9. Die gebräuchlichsten Näherungakurven 21
10. Hilfsmittel für die bildliche Darstellung der Wurzelfunktion . ... 25
III. Abschnitt. Bestimmung der Gestalt einer Kurve aus
ihrer Gleichung.
11. Tangente. Doppelpunkt. Ermittlung von Kurvenpunkten durch
Binomialzerlegung 28
12. Gebietseinteilung der Koordinatenebene durch Binomialzerlegung . . 33
13. Näherungskurven an endlicher Stelle 36
IV. Abschnitt. Anschlußkurven für singuläre und
unendlich ferne Stellen.
14. Das Newtonsche Parallelogramm 39
15. Höhere Anschlußkurven 43
16. Homogene Koordinaten 46
1) Die mit einem Stern versehenen Artikel können beim ersten Ein¬
treten in den Stoff überschlagen werden.
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
17. Erste Ansohlußkurven an unendlich ferne Kurvenpunkte auf den
Achsen. Das analytische Dreieck 49
18. Unendlich ferne Kurvenpunkte außerhalb der Achsen 52
19. Höhere Anschlußkurven an die ins Unendliche gehenden Zweige . 54
20. Beispiele zur gestaltlichen Diskussion und zur Bildung von Nähe¬
rungskurven 59
Zweiter Teil. Algebraische Funktionen.
V. Abschnitt. Einleitendes über Potenzreihen.
21. Über den größten gemeinsamen Teiler 69
22. Allgemeines über Reihen 73
23. Potenzreihen einer Veränderlichen 77
24. Doppelreihen 83
25. Potenzreihen von zwei Veränderlichen 86
26. Funktionen von zwei Veränderlichen 89
VI. Abschnitt. Verhalten einer Kurve in der Umgebung
eines ihrer Punkte.
27. Der Weierstrasssche Vorbereitungssatz 91
28*. Beweis eines allgemeineren Vorbereitungssatzes. Einfacher Fall . . 93
29*. Fortsetzung des Beweises ..:..... 96
30. Spaltung des reduzierten Polynoms f(x, y) in Faktoren vom ersten
Grad hinsichtlich y 100
31. Fall gleicher Linearfaktoren des Gliedes niederster Dimension in
f(x,y) 102
32. Die Beschränkung auf den einfachen Fall wird aufgehoben. Ent¬
wicklung der Ordinate nach Potenzen der Abszisse 108
33. Zerlegung des Polynoms F(x,y) für die Umgebung eine» Abszissen¬
wertes 113
VII. Abschnitt. Jeder Kurvenzweig hat beiderseits eine
Fortsetzung.
34. Lückenloser Verlauf eines algebraischen Kurvenzuges im Endlichen 118
35. Reihenentwicklungen für unendlich ferne Stellen. Paare und un-
paare Kurvenzüge 120
36. Beispiele 126
Dritter Teil. Projektivität und Dualität.
VIII. Abschnitt. Schnittpunkte von zwei Kurven.
37. Die Resultante aus zwei Polynomen zweiten Grades 130
38. Die Resultante aus zwei Polynomen höheren Grades 134
39. Die Resultante in irrationaler Gestalt Hl
40. Die Diskriminante 144
41. Multiplizität eines Schnittpunktes von zwei Kurven 149
41a*. Die Bedingung für einen gemeinsamen Schnittpunkt von drei
Kurven 155
41b*. Die reduzierte Resultante von drei Ternärformen . 169
Inhaltsverzeichnis. IX
IX. Abschnitt. Polaren. Hessesche Kurve.
Seite
42. Polaren 164
43. Die Hessesche Kurve 168
44. Die beiden ersten Plückerschen Formeln 171
45. Verhalten der ersten Polaren und der Hesseschen Kurve in mehr¬
fachen Punkten und bei zerfallender Grundkurve 174
X. Abschnitt. Dualität.
46. Das Dualitätsprinzip 179
47. Die Gleichung einer Kurve in Linienkoordinaten 182
48. Die beiden letzten Plückerschen Formeln 184
49. Ordnungs- und Klassenkurven, insbesondere dritten Grades. Paare
und unpaare Kurvenzüge 186
50. Die Plückerschen Äquivalenzzahlen in einem Beispiel 192
XI. Abschnitt.- Projektion und lineare Transformation.
Dreieckskoordinaten. Invarianten.
51. Projektion und lineare Transformation 194
52. Spezielle Kollineation 199
53. Dreieckskoordinaten 204
54. Invarianz der Polarformen 210
55. Invarianz der Hesse sehen Form. Simultane Invarianten 212
56. Invarianten von Binärformen 217
57. Invarianten von Binärformen. Fortsetzung 220
58. Die Ternärform dritter Ordnung 223
59. Die divergierenden Parabeln dritter Ordnung 225
60. Die Wendepunkte der Kurven dritter Ordnung 229
öl. Die kanonische Gleichungsform 232
62. Die Invarianten der kubischen Ternärform 234
Vierter Teil. Geometrie auf der Kurve.
XII. Abschnitt. Ein-eindeutige Transformation.
63. Bestimmung einer Kurve durch Punkte 238
64. Bedingung für Doppelpunkte. Geschlecht einer Kurve 244
65. Ein-eindeutige (birationale) Beziehung zwischen den Punkten von
zwei Kurven 246
66. Erhaltung des Geschlechts bei ein-eindeutiger Transformation . . 252
67. Erniedrigung der Kurvenordnung durch birationale Transformation 254
68. Die rationalen Kurven 258
69. Äquivalenzzahlen für einen superlinearen Zweig 261
70. Äquivalenzzahlen für eine zusammengesetzte Singularität 266
71. Auflösung eines superlinearen Zweiges in elementare Singularitäten 269
71a*. Korrespondenzen zwischen zwei Punkten einer Kurve 274
71b*. Korrespondenzen. Fortsetzung 278
X Inhaltsverzeichnis.
XIII. Abschnitt. Punktgruppen auf einer Kurve. Seite
72*. Der Noethersche Fundamentalsatz 284
73*. Der Noethersche Satz. Fortsetzung 290
74. Anwendungen 292
75. Der Restsatz 294
76. Lineare Scharen von Punktgruppen 298
77. Die Schar der beweglichen Schnittpunkte eines adjungierten
Kurvensystems 300
78. Der Reduktionssatz. Spezialseharen 303
70. Dimension der kanonischen Schar, von Nichtspezialscharen .... 305
80. Algebraische Funktionen einer Klasse 310
81. Zweiter Beweis für die Invarianz der Geschlechtszahl bei biratio¬
naler Transformation 315
82. Ausgezeichnete Scharen. Der Reziprozitätssatz 316
83. Beispiele 319
84. Das Problem der ausgezeichneten Spezialscharen 321
85. Beispiele 323
86. Algebraische Funktionen von möglichst niedriger Ordnung. Die
Moduln 326
87. Algebraische Kurven in höheren Räumen 331
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