Fiktionen in der Mathematik:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Frommann
1926
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXIV, 372 S. 22 cm |
Internformat
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Seite
Einleitung XXIII
Erster Teil. Zur Theorie der Fiktionen.
I. Die Fiktionen nach H. Vaihingers Phil, des Als Ob 1
Die Tatsache der Verwendung von Fiktionen in der Wissen¬
schaft 1
Psychologische Grundlegung 2
Das gegebene Material 2. — Die Tätigkeit der Psyche 2.
— Das logische Denken 2.
Allgemeine Charakterisierung der Fiktionen 3
Die fiktive Tätigkeit der Psyche als irreguläres Ver
fahren 3. — Semifiktionen und echte Fiktionen 4.
Genaue Festlegung des Fiktionsbegriffs 4
Die Bedeutungen, in denen der Fiktionsbegriff früher
verwendet wurde 4. — Abgrenzung der Fiktion gegen¬
über der Hypothese 5. — Die sprachliche Form der
Fiktion 6. — Ihre logischen Hauptmerkmale 6. — Das
Gesetz der Ideenverschiebung 9.
Zur Methodologie der Fiktionen 9
Die Korrektur bei den Semifiktionen 9. — Die Me¬
thode der entgegengesetzten Fehler bei den echten
Fiktionen 10.
Erkenntnistheoretische Konsequenzen 10
Die Natur des Denkens 10. — Bedeutung der Fiktionen
für die Erkenntnis 11. — Wert dieser Erkenntnis 12.
II. Die Grundlagen der Vaihingerschen Fiktionslehre 13
Was ist wirklich: 13
A.Kritische Stellungnahme vers chiedener Au¬
toren zu Vaihingers Wirklichkeitsbegriff . 13
M. Kronenberg 13.—P. Schwartzkopff 14.—H. Scholz 18.
: — G. Jacoby 20. — P. Spickerbaum 21. — G.Spengler 22.
— H. Kelsen 23. — 0. Dittrich 23. — R. Schmidt 23.
B. Die Abgrenzung des Wirklichen in den ver¬
schiedenen philosophischen Systemen . . . 26
Der Wirklichkeitsbegriff des extremen Empirismus ... 26
Positivismus 26. — Kritischer Positivismus 28. — Psycho
monismus 30. — Kritik des Positivismus durch M.
Schlick 31
IX
Seite
Der Wirklichkeitsbegriff des Idealismus und der Neu¬
kantianer 32
Plato, Pichte, Hegel 32. — Marburger Schule; Cohen
und Natorp 33. — Zur Kritik dieses Wirklichkeits¬
begriffs 34. — Das Wirkliche in der Philosophie Rickerts
35. — Külpe 36. — Kritik von Volkelt 37.
Der Wirklichkeitsbegriff bei Kant 37
Der Wirklichkeitsbegriff des Realismus 39
Naiver Realismus 39. — Transzendentaler Realismus 40.
— E. v. flartmann; J. Volkelt 40. — E. Studys Auf¬
fassung 43. — M. Schlick über den Wirklichkeits¬
begriff 43.
0. Die empiristische Wirklichkeit und die mathe¬
matische Existenz 46
A. Müllers Umgrenzung des Wirklichen 46
E. Husserls phänomenologische Philosophie 47
Tatsachenwissenschaften und Wesenswissenschaften 47.
— Die Mathematik als reine Wesenswissenschaft 49. •—
Husserls Kritik am Empirismus und Idealismus 50. —
Die natürliche Einstellung 51. — Die Einklammerung;
das Bewußtsein als phänomenologisches Residuum 51.
— Bewußtsein und Realität 52. — Die Mathematik als
eidetische Wissenschaft und ihr Gegensatz zu den
empirischen Wissenschaften 54.
Der Konventionalismus; Axiome sind Definitionen ... 55
Definition der mathematischen Existenz bei Poincare 55.
Dedekinds Standpunkt: Zahlen freie Schöpfungen des
Geistes 56
Wundts Ansicht: Nicht völlige Neuschöpfungen, sondern
willkürliche Veränderungen; Anknüpfung an empirische
Daten 57
Freges Stellung zu den mathematischen Definitionen und
der mathematischen Existenz 57
Weyl: Gegensatz zum Konventionalismus 58
Die Natur der mathematischen Voraussetzungen beim
mathematischen Realismus und beim Nominalismus nach
Wundt 59
III. Die Grundlagen der Vaihingerschen Fiktionslehre;
Fortsetzung 60
Was ist Wahrheit? 60
Zum Wahrheitsbegriff Vaihingers 60
R. Schmidt 60. — Der Perspektivismus bei Vaihinger
X
Seite
und Nietzsche 61. — Der pragmatistische Wahrheits¬
begriff (Scholz) 62.
Das Wahrheitsproblem nach A. Läpp 63
Ablehnung der Theorien von Rickert und Husserl 63
und 64. — Zustimmung zum Vaihingerschen Wahrheits¬
begriff 65. — Die Wahrheit als Fiktion 66.
Das Wahrheitsproblem nach J. V.olkelt 67
Kritik des anthropologischen Wahrheitsbegriffs 67. —
Kritik und Ablehnung der Denkimmanenz 67. — Die
Wahrheit und das Nichtseiende 68. — Das transzendente
Sollen 69. — Definition des Wahrheitsbegriffs bei
Volkelt 70 und 71. — Betonung der subjektiven und
objektiven Seite 71. — Das Absolute im Wahrheits¬
begriff 72. — Strenge Scheidung der Relativität des
Erkennens von derjenigen der Wahrheit 73. — Ab¬
lehnung der Philosophie des Als Ob durch Volkelt 73.
1 Kritische Stellung von H. Meier zur Annahme absoluter
Wahrheiten 73
Seine Definition des Wahrheitsbegriffs 74. — J. Volkelt
zur Auffassung von H. Meier 77.
Freges Ablehnung des Psychologismus 78
Übereinstimmung mit Husserl 78. — Anerkennung
eines Objektiven, Nichtwirklichen 78.
Definition des Wahrheitsbegriffs bei Schlick 79
Seine Ablehnung der Abbild Theorie 79. — Stellung¬
nahme hierzu 80.
IV. Zur Kritik des Vaihingerschen Fiktionshegriffs . 81
Kritik an einzelnen Merkmalen 81
Das Verhältnis zur Wirklichkeit 81
Kritik von Spickerbaum und sein Fiktionsbegriff 81
und 82. — 0. Dittrichs relative Wirklichkeit 82. — Die
Behauptung des Widerspruchs zur Wirklichkeit ist
nach W. Jerusalem ein Irrtum 82.
Die Fiktion eine bewußte Bildung 82
Dempwolff bestreitet die Notwendigkeit dieses Merk¬
mals 83. — Nach W. del Negro gibt es auch unbewußte
Fiktionen, die Wissenschaft hat es aber nur mit be¬
wußten zu tun 83. — B. Fließ sieht im Bewußtsein
der Metapsyche den eigentlichen Schöpfer der Fik¬
tionen 84.
Die Korrektur 84
Nach W. Strauch fehlt dieses Merkmal bei den ju¬
ristischen Fiktionen 84.
XI
Seite
Die Zweckmäßigkeit ist nach Coerper kein Begriff des
Wirklichen, sondern des reinen Denkens; der Kernbegriff
des Fiktionalen 85
Umfassendere kritische Stellungnahme 85
E. Boermas logische Theorie der Fiktionen 85
Zurückführung der echten Fiktionen auf Semifiktionen 85.
— Betonung des fiktiven Urteils 85. — Die relative
Fiktivität 86. — Das Prinzip der entgegengesetzten
Fehler 86. — Das fiktive System und die regularisierte
Schlußkette 86 und 87. — 2 Thesen Boermas zum
fiktiven System 87. — Allgemeine Stellungnahme
Boermas 88.
R. Schmidts Ausführungen zum Fiktionsbegriff .... 88
Statt bewußt falsch soll logisch indifferent gesetzt
werden 88. — Beziehung zur Neutralitätsmodifikation
bei Husserl 89. — Aufgaben für die Gegenwart 89.
Beziehungen der Fiktionen zu den Annahmen Meinongs . 89
Charakterisierung der Annahme beiMeinong(n. Sperl)90.
— Die Definition Spenglers 90. — Einteilung der An¬
nahmen nach Sperl 91. — Einteilung der Annahmen
nach Spengler 92. — Das Verhältnis der Vaihingerschen
Fiktionen zu den Annahmen Meinongs (nach Spengler) 93.
— Nicht Urteile sollen fiktiv genannt werden, da nur
ein Teil derselben eine Fiktion ist 93. — Kritische
Stellungnahme Spenglers 94.
Definitionen des Fiktionsbegriffs, die von Vaihingers Fas¬
sung wesentlich abweichen 95
Tischer: Fiktionen Idealisierungen; Produkte unserer
Spontaneität 95. — A. Müllers Kritik des Vaihingerschen
Wahrheitsbegriffs und seine Definition der Fiktion 95
und 96. — Studys Auffassung 96. — B. Russell 96. —
J. Schultz: Einteilung der Fiktionen 97. — Charakte¬
risierung der Fiktion bei Schultz 98.
V. Stellungnahme zum Vorhergehenden; verschiedene
mögliche Formen des Fiktionsbegriffs 99
Der Begriff des Wirklichen 99
Das Merkmal des Widerspruchs . . • 99
Die Auffassungen hinsichtlich der logischen Sätze 100.
— Logische Indifferenz mancher Fiktionen 102. —
Denken und Sein in verschiedenen erkenntnistheore¬
tischen Systemen 102 f. — Muß man sich der Fiktivität
bewußt sein? 104f.
Die Korrektur 106
XII
Seite
Korrektur bei den Semifiktionen 107. — Zur Methode
der entgegengesetzten Fehler 108. — Konsequenzen
dieser Kritik 108. — Verhältnis des dritten Merkmals
zum ersten 109.
Die Frage der Zweckmäßigkeit, insbesondere in der Ma¬
thematik 109
Über die sprachliche Form der Fiktionen 110
Zur Aufstellung einer Fiktionentafel 110
1. Gruppe charakterisiert durch das Merkmal „unwirklich 111
Fiktion A„ bezogen auf den positivistischen Wirklich¬
keitsbegriff 111. .— Fiktion A,, bezogen auf den
realistischen Wirklichkeitsbegriff 112. — Fiktion A,,
bezogen auf den idealistischen Wirklichkeitsbegriff 114.
— Fiktion A4, freie Phantasieschöpfungen nach
Husserl 114.
Bedenken gegen einzelne dieser Typen 115
2. Gruppe; Definition des Eigenbereichs einer Wissenschaft 116
Die Fiktion festgelegt in bezug auf den Eigenbereich 116.
— Die Typen B, und B2 116. — Beziehungen zur
1. Gruppe 117. — Vaihingers Stellung 117.
Logische Fundierung des Fiktionsbegriffs 118
3. Gruppe 118
Der Standpunkt des absoluten Empirismus führt zum
Typus C, 118. — Der Standpunkt des Anthropologismus
zu C2 119. — Vom konventionalistischen Standpunkt aus
ergeben sich: Typus C3 provisorische Bildungen 120. —
Typus C4 logisch neutrale Bildungen 120. — Typus C6
logisch falsche Bildungen 120. — Typus Cß primitive
Systeme, bei denen eine Entscheidung unmöglich ist 121.
4. Gruppe: Vom aprioristisehen Standpunkt in der Logik
aus ergeben sich 122
Typus D,; die logische Stellung der Gebilde, ihre Wider
spruchslosigkeit ist noch nicht erwiesen 122. — Typus
Ds; bewußt falsche Bildungen 122.
Methodologische Festlegung der Fiktion 123
Fiktion E; Methode der entgegengesetzten Fehler 123.
Die Vaihingersche „wissenschaftliche Fiktion F . . 124
Zweiter Teil. Fiktionen in der Mathematik.
I. Die mathematischen Fiktionen in der Philosophie des
Als Ob 125
Die Grundbegriffe der Geometrie und der Arithmetik . 126
XIII
Seite
Ihr Verhältnis zur empirischen Wirklichkeit — sie sind
unwirklich 126. — Das kartesianische Koordinaten¬
system und die Hilfslinien der Elementargeometrie
nur provisorische Hilfsgebilde, daher fiktiv 127. —
Zählen und Messen auf Fiktionen beruhend 128. —
Betonung der freien imaginativen Tätigkeit 128. —
Die mathematischen Gebilde nur Abstraktionen 129.
— Nichtwirklich subjektiv fiktiv widerspruchsvoll 129.
Die Fiktion des absoluten Raumes 130
Raum kein empirischer Gegenstand, kein Faktum; aber
auch keine Hypothese 130. — Der Streit zwischen Leibniz
und Clarke zu lösen durch eine methodologische Unter¬
scheidung. Der Raum eine Fiktion 131. — Ansichten
von Malebranche .und Suarez 131. — Absoluter Raum
— unberechtigte Übertragung 132. — Die Formen des
Problems des absoluten Raums 132. — Der reine
mathematische Raum 133. — Übertragung auf Raum¬
teile und mathematische Körper 134.
Mathematische Fiktionen, die auf abstrakter Verall¬
gemeinerung und unberechtigter Übertragung beruhen . 136
Geometrien von mehr als drei Dimensionen 136. — Die
Erweiterungen des Zahlbegriffs 136. — Die imaginären
Zahlen 137. — Betonung des Widerspruchsvollen und
der Methode entgegengesetzter Fehler 138. — Elementar¬
methoden. Auflösung der kubischen und der quadra¬
tischen Gleichungen 139.
Die Fiktion des Unendlich Kleinen 141
Die sog. Nullfälle Subsumtion des Kreises unter die
Ellipse 141. — Die Berechnung krummlinig begrenzter
Flächenstücke 143. — Die Infinitesimalmethode 144. —
Fermats Maximumproblem 145. t E. Boermas Kritik
der Vaihingerschen Auffassung 146. — Das Linien¬
element ds und die Differentiale dx und dy 147. — Die
Infinitesimalrechnung ein kunstreicher Mechanismus, auf
der Methode entgegengesetzter Fehler beruhend 148.
Die Behandlung der mathematischen Fiktionen bei W. Dieck 149
II. Die Grundbegriffe der Geometrie 151
Hinweis Vaihingers auf die Ausführungen von Pasch in
Mathematik und Logik 151
Die Ansichten von Pasch, dargestellt auf Grund seiner
mathematischen Abhandlungen 152
Sein Ziel 152.—Empiristische Einstellung 153.—Teilung
der Geometrie in Unterbau und Oberbau 153. — Die
herkömmliche Geometrie ohne Unterbau, der Punkt
dann ein hypothetischer Begriff 154. — Forderung
XIV
Seite
eines Unterbaus, dabei Geometrie als Erfahrungswissen¬
schaft zu behandeln 154. — Zweck dieser empiristischen
Fundierung; Sicherung der inneren Folgerichtigkeit
und der Anwendbarkeit 155. — Widerspruchslose Geo¬
metrie auch ohne Unterbau möglich 155. — Unterschied
; zwischen Geometrie und Zahlenlehre 156. — Geometrie
auf die Zahlenlehre zu gründen, der Kern der Arith
j metik aus sich selbst heraus zu beurteilen 156. — Die
Axiome und die mathematischen Begriffe 156. — Ex¬
plizite und implizite Definitionen 157. — Bedeutung
der Begriffserweiterungen 159.
Das mathematische Verfahren 159
Reine Deduktion 159. — Zweck des mathematischen
Beweises 160. — „Derbe und „heikle Mathematik 161.
— Freiheit für die Forschung 161. — Die Sicherung
der Widerspruchslosigkeit eines Kerns 161.
Mit welchem Recht beruft sich H. Vaihinger auf M. Pasch? 162
: Pasch gegen unpräzise Begriffsbildungen 163. — Be¬
griffserweiterungen von Pasch zugelassen, aber wider
spruchsfreie Begründung verlangt 164. — Die Begriffe
) „Raum und „Dimension nach Pasch überflüssig 165.
! — Einseitige Auffassung der Polemik von Pasch 165.
j — Statt entgegengesetzter Fehler verlangt Pasch
; widerspruchsfreien Aufbau 166. — Wie ist der Aus
druck hypothetische Geometrie zu verstehen? 167. —
E. Study und R. Schmidt über Fiktion und Hypo
j these 169. — Pasch und Vaihinger; Zusammen¬
fassung 169.
Die Geometrie der Wirklichkeit von Hjelmslev . . . . 171
Der mathematische Punkt ein illusorischer Grund¬
begriff 171. — Ganz andere Problemstellung 171.
¦ Das Wesen der mathematischen Erkenntnis nach E. Müller 172
Aussagen über fiktive bzw. idealisierte Dinge 173. —
! Gewinnung mathematischer Erkenntnisse durch Ge
! dankenexperimente 174. — Intuitive Überzeugung ein
psychologischer Irrtum 174.— Unterscheidungder Mathe¬
matik von anderen Wissenschaften nicht durch ihr Ver¬
fahren, sondern durch ihren Gegenstandsbereich; Fik¬
tionen oder Idealisierungen 175.
O. Hölders Standpunkt 175
Unterscheidung von Grundbegriffen und synthetischen
Begriffen 176. — Rolle der Anschauung in der Geo¬
metrie 176. — Geometrie und Erfahrung 177. — Die
Axiome und die exakten Begriffe der Mathematik 177.
— Auffassung von F. Klein 178.
Aprioristische Auffassung der geometrischen Axiome . . 178
XV
Seite
L. Nelson über die geometrischen Axiome 178. — Gr. Hey
mans Standpunkt 179. — Seine Auffassung der Ergeb¬
nisse der Forschungen von Kiemann und Helmholtz 180.
— Stellung zur Buklidischen Geometrie 181. — Die
Hypothese Riehls 183.
PhänomenologischeBegründung der Geometrie von O.Becker 183
Der Konventionalismus 186
Couturat betont den rein logischen Charakter der Geo¬
metrie 186. — Die Axiome Definitionen 186. — H. Rei¬
chenbachs Auffassung 187. — M. Schlick: Axiome im¬
plizite Definitionen der Grundbegriffe 189. — Bedeutung
der Forderung der Widerspruchslosigkeit 190.
Ablehnung des Konventionalismus 191
H. Weyls Ansicht über die Axiome 191. — Bedeutung
der natürlichen Zahlen 192. — Studys Ablehnung der
Axiomatik, Forderung des Aufbaus der Geometrie auf
der Zahlenlehre 192.
Ergebnisse der Untersuchungen des 2. Kapitels .... 193
Allgemeine Forderung der Widerspruchslosigkeit 193.—
Die Frage nach der Existenz der Grundgebilde: em¬
piristischer, realistischer, idealistischer, konventiona
listischer Standpunkt 193. — In welchem Sinn kann
man von Fiktionen reden? 194.— Stellung zu den geo¬
metrischen Axiomen 195.
HI. Vergleich verschiedener geometrischer Systeme unter
dem Gesichtspunkt der Transformationsgruppe . . 197
Systeme Nichteuklidischer Geometrie 197
Das Kleinsche Klassifikationsprinzip 198
Die Begriffe: Mannigfaltigkeit von n Dimensionen, Ele¬
ment, Gruppe 199. — Beispiele von Gruppen 199. —
Die Hauptgruppe 200. — Verallgemeinerung: Umfas¬
sendere Gruppen, Erweiterung des Begriffs der geo¬
metrischen Größe 200. — Charakterisierung der geo¬
metrischen Systeme durch ihre Gruppen 201.
Allgemeine Sätze 202
Übergang zu einer Untergruppe, oder zu einer um¬
fassenderen Gruppe 202. — Übertragungen 203.
Charakterisierung bekannter geometrischer Systeme . . 203
Elementare Geometrie 203. — Projektive Geometrie 203.
— Die Metrik in der projektiven Geometrie 204. —
Cayleys Forschungsresultate 205. — Die klassische und
die neue Mechanik 206. — Projektive Behandlung der
Mannigfaltigkeit von n Dimensionen 207. — Beltramis
Untersuchungen 208. — Die Geometrie der reziproken
XVI
Seite
Radien 208. — Die Liniengeometrie 209. — Allgemeine
Gruppen von Punkttransformationen 209. — Die ratio¬
nalen Umformungen 209. — Analysis situs 210. —
Gruppe aller Punkttransformationen 210. — Punkt¬
transformationen im oo kleinen Gebiet des Raums 210.
Die Gruppe aller Berührungstransformationen 210.
Stellungnahme zum Fiktionsproblem 211
Vom Standpunkt der reinen Mathematik aus 211. —
Vom Standpunkt der angewandten Mathematik aus 214.
IV. Die natürlichen Zahlen 217
Einleitung 217
Der dogmatische Standpunkt Kroneckers 217. — Der
empiristische Standpunkt von St. Mill und Helmholtz 217.
Die Begründung der Zahlenlehre bei M. Pasch .... 217
Zurückführung auf einen Kern 218. — Ausgangspunkt
die Begriffe, die sich auf die Reihenfolge beziehen 218.
— Die Kernbegriffe der Arithmetik 219.
Die Auffassung von G. Heymans 219
Ablehnung der empiristischen Fundierung 219. — Die
Zahlenreihe ein Produkt willkürlicher Festsetzungen 220.
— Die Sätze der Arithmetik analytische Urteile 220. —
Einwand von König 220. — Zur Kritik des Heymansschen
Standpunkts 221. — Unterscheidung der synthetischen
bzw. analytischen Natur abgeleiteter Sätze von der¬
jenigen von Grundsätzen 222. — Welchen Forderungen
muß ein Axiomensystem genügen? 223.
Versuche, die Zahlenlehre rein logisch zu begründen . . 224
G. Frege . . 224
R. Dedekind 224
Russells Theorie der natürlichen Zahlen 224
Die Resultate Peanos 225. — Logisierung der Mathe¬
matik durch Russell 226. — Definition der Zahl 226.
— Der Begriff der Menge 226. — Die Definition der
Grundbegriffe: Zahl, 0, Kachfolger 227. — Die Grund¬
sätze Peanos beweisbare Sätze 228. — Der Reihen¬
charakter der natürlichen Zahlen 229. — Die Beziehungs¬
zahlen 229. — Zusammenfassung 230.
G. Hessenberg über den Sinn der Zahlen 231
Beziehungen 231. — Mengen 232. — Anzahlen 232. —
Natorps Theorie der Zahlen 234
Die Grundreihe 235. — Unterscheidung des genetischen
und ontischen Sinnes der Zahlsetzung 235. — Ableh¬
nung der Fundierung der Zahl auf den Begriff der
Betsch. II XVII
Seite
Menge 235. — Die Normalreihe von Lipps 236. — Kritik
der Auffassung Freges durch Natorp 237. — Kritik der
Dedekindschen Theorie 238. — Begründung der Grund
operationen der Arithmetik 239.
Die Zahlenlehre von O. Holder 240
Strenge Unterscheidung der Zahl als Anzahl und als
Glied einer Reihe 240. — Definition der Grundopera¬
tionen der Arithmetik 241. — Die Grundtatsache des
Anzahlbegriffs 241.
H. Weyls Ablehnung des konventionalistischen Standpunkts 242
Die Anschauung der Iteration 242. — Charakterisierung
der natürlichen Zahlen 243. — Das Iterationsprinzip 244.
— Begriff der Anzahl 244.
Axiomatische Begründung der Zahlenlehre durch D. Hilbert 245
In welchem Sinn kann man bei den natürlichen Zahlen
von Fiktionen sprechen? 247
V. Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 250 ;
A. Die rationalen Zahlen 250
Natorps Auffassung — Keine Erweiterung des Zahlbegriffs 250
Russell führt die rationalen Zahlen nicht auf Mengen,
sondern auf Beziehungen zurück 2B1 i
Hölders abstrakte Begründung 252
Hessenbergs Definition der gebrochenen Zahlen .... 254
Weyls Auffassung 255
Relationen zwischen natürlichen Zahlen 255. — Die ge¬
brochenen Zahlen gehen den rationalen voraus 256.
Die Ansicht von Heymans über die Zahlerweiterungen . 257
B. Die irrationalen Zahlen 260
Die Theorie von Dedekind 260
Der Grund zu ihrer Einführung 260. —¦ Einteilungen der
rationalen Zahlen in zwei Klassen 262. — Definition des
Schnitts 263. — Die drei Arten von Schnitten 263. — Die
fundamentalen Operationen mit Schnitten 264. — Die
Axiome der Arithmetik der rationalen Zahlen 265. —
Diese Axiome sind auch für Schnitte erfüllt 266. —
Rationale und irrationale — reelle Zahlen 267. — Der
Grenzwert 267.
Die Cantorsche Theorie der Irrationalzahlen 269
Die Theorien von Heine und Thomae 270. — Die Theorie
von Bachmann 272.
Russells Auffassung der irrationalen Zahlen 272
Die Begriffe „Maximum und „obere Grenze 272. —
Das Segment 273.
XVIII
Seite
Natorps Kritik der Irrationalzahltheorien 274
Irrationalzahlen und Stetigkeit 275. — Stellungnahme
zu Natorps Auffassung 276. — Trennung der Definition
des Irrationalen von der der Stetigkeit 277. — Natorps
Hinweis auf Veronese 278.
C. Die imaginären und die komplexen Zahlen . 280
Verzicht auf eine eigentliche Begründung 280
Rein formalistische Einführung — Symbole, die den for¬
malen Gesetzen der Arithmetik genügen 280
Auffassung der komplexen Zahlen als einer speziellen Art
extensiver Größen. ¦— Paare reeller Zahlen 281
Begründung durch Positionsbeziehungen 282
Natorp 282. — Schefflers Situationskalkül 283.
Verallgemeinerung der gewöhnlichen komplexen Zahlen . 284
Hamiltons Quaternionen 284. — Die extensiven Größen
Graßmanns 284. — Die Nichtarchimedischen Größen 284.
Die Frage nach der Fiktivität bei diesen Zahlerweiterungen 285
Sind es legitime, widerspruchsfreie Bildungen ? 286. —
Natorps Auffassung der imaginären Zahlen 286. —
Zahlerweiterungen zwar widerspruchsfrei, aber bloßer
Formalismus 287. — Ablehnung der Zahlerweiterungen
durch Heymans 287. — Whiteheads Ansicht 287. —
Die Auffassung von A. Schuster 288.
Zusammenfassung 288
VI. Das Unendliche in der Mathematik 289
Das Unendlich Kleine bei den sog. O Fällen 289
Subsumtion des Kreises unter die Ellipse 289. — Der
Grenzprozeß beim Übergang der Kreissekante in die
Tangente 290.
Die Verwendung uneigentlicher Elemente . 291
Der oo ferne Punkt der Geraden: vom elementargeo¬
metrischen Standpunkt aus 291; vom projektivischen
Standpunkt aus 292. — Die Frage der Fiktivität un¬
eigentlicher Elemente 294.
Die Berechnung krummlinig begrenzter Flächenstücke . 295
Der Begriff des Grenzwertes einer Reihe 295. — Die
Wertereihen der Inhalte der dem Kreis ein und um¬
beschriebenen regulären Polygone bei wachsender Seiten¬
zahl 298. — Der Kreisinhalt als ihr gemeinsamer Grenz¬
wert 298. — Die Zahl n 299. — Die unendlichen
Reihen 300.—Die erschöpfendeTeilung(Exhaustion) 301.
— Andere Darstellung der Zahl n und der Kreis¬
fläche 302. — Kritische Bemerkungen 302.
XIX
Seite .
Die Differentialrechnung 304
Der Begriff der Punktion 304. — Verlauf einer Funk¬
tion 304. — Grenzwerte der Funktion bei Annäherung
der x Werte an einen bestimmten Wert 304. — Die
Symbole ± oo und ihre Bedeutung 305. — Differentiier
barkeit einer Funktion und Ableitung 306. — Unter¬
scheidung von Stetigkeit und Differentiierbarkeit 307.
— Die Parabeltangente 307. — Das Fermatsche Maximum
problem308. — Differentiale undDifferentialquotient 312.
VII. Das Unendliche in der Mathematik (Fortsetzung) 313
Die Mengenlehre 313
Die Cantorsche Mengenlehre 313
Definition der Menge 313. — Die Grundbegriffe der
transfiniten Mengenlehre 313. — Begründung der end¬
lichen Zahlenlehre aus denselben Prinzipien 313. —
Sätze über transfinite Mengen 314. — Theorie der Ord¬
nungstypen 314.— Die Paradoxien der Mengenlehre 315.
Die Darstellung der Mengenlehre bei G. Hessenberg . . 316
Kritik des Mengenbegriffs 316. — Das Problem der
logischen Vollständigkeit und Entscheidbarkeit 316. —
Die Paradoxien 317. — Prinzipien der Mengenlehre 319.
— Das Auswahlprinzip 319. — Die Erzeugungsprinzi
pien 320. — Zum Induktionsschluß 322. — Ergebnisse:
zwei Thesen 322
Die Versuche einer Begründung der Analysis und Mengen¬
lehre auf rein logischer Basis von Frege und Russell . . 324
Die Axiomatik von Zermelo 325
Das Auswahlpostulat 325. — ZurWiderspruchslosigkeit
der Zermeloschen Axiome 326.
Kritik der Mengentheorien durch Poincare 327
Forderungen, denen Axiomensysteme genügen müssen
327. — Ablehnung der Begründung der Mathematik
auf Logik allein 328. — Zur Logik Russells 328. —
Prädikative und nichtprädikative Definitionen 329. —
Wohlbestimmte und nichtwohlbestimmte Klassifika¬
tionen 330. — Circulus vitiosus 331. — Zulässige und
unzulässige Definitionen 332. — Gegensatz der Prag¬
matiker und Cantorianer 332.
H. Weyls Theorie des Kontinuums 335
Seine Definitionsprinzipien 33B. — Prinzipien der Ur¬
teilskombination 335. — Die Begriffe der Menge und
des funktionalen Zusammenhangs 336. — Konsequenzen
für Analysis und Mengenlehre 337. — Beschränkung
des Existenzbegriffs auf die Grundkategorien 338.
XX
Seite
Die intuitionistisohe Mengenlehre von Brouwer und Weyl 339
Vertreter des axiomatischen Standpunkts 343
Schönflies 344. — Fraenkel 344. — v. Neumann 345.
Die axiomatische Begründung der Mathematik durch Hubert
und Bernay8 345
D. Hubert über das Unendliche 351
Zur Frage der Fiktionen 354
Schlußwort 356
Anmerkungen 358
Literatur 367
XXI
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