Die Neue Mathematik für Lehrer und Studenten: 2,1 Größen, Bruchzahlen, Sachrechnen
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Hannover ; Berlin ; Darmstadt ; Dortmund
Hermann Schroedel Verlag
1973
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| adam_text | Inhaltsübersicht
Vorwort 5
1. Größen 13
1.1. Übersicht über die wichtigsten Größenarten 13
1.1.1. Welche Größenarten kommen in der Grundschule vor? (13); 1.1.2. Physik oder
Mathematik (13); 1.1.3. Größen und ihre Repräsentanten (13); 1.1.4. Äquivalenzrela¬
tionen zwischen den Repräsentanten der Größen (14); 1.1.5. Die Ordnungsrelation
zwischen den Repräsentanten der Größen (14); 1.1.6. Die Analogie zu den Mengen
und ihren Zahleigenschaften (15); 1.1.7. Zur Gliederung der folgenden Abschnitte (15);
1.1.8. Fehler in der traditionellen Didaktik der Mathematik (16); 1.1.9. Die Verteilung
der einzelnen Größen auf die Schuljahre (16); Aufgaben 1.1. (16)
1.2. Längen 17
1.2.1. Vergleich und Klasseneinteilung von Strecken, Stäben und Kanten (17); 1.2.2.
Verallgemeinerung auf Streckenzüge (17); 1.2.3. Verallgemeinerung auf beliebige
Kurven (18); 1.2.4. Die Eigenschaften der Relationen „ist so lang wie und „kürzer
als (18); 1.2.5. Die Definition des Begriffs der Länge einer Kurve und der Kleiner¬
relation zwischen Längen (19); 1.2.6. Die Einführung von Einheiten (20); 1.2.7. Die
Einführung der Einheiten im Unterricht (21); 1.2.8. Die Angabe einer Länge durch
Maßzahl und Einheit (21); 1.2.9. Das Ausmessen einer Strecke mit dem Lineal (22);
1.2.10. Haben alle Längen einen eigenen Namen (22); 1.2.11. Die Verwendung von
Längen zur Festlegung zu Punkten (22); 1.2.12. Die Multiplikation einer Länge mit
einer Zahl (23); 1.2.13. Die Addition von Längen (24); 1.2.14. Die Subtraktion von
Längen (26); 1.2.15. Zwei Divisionen (26); Aufgaben 1.2. (28)
1.3. Flächeninhalte; Größe von Flächen 29
1.3.1. Vielecke (29); 1.3.2. Die stückweise Deckungsgleichheit und die Relation „hat
mehr Fläche als (30); 1.3.3. Eigenschaften der Relationen „stückweise deckungs¬
gleich und „hat mehr Fläche als (30); 1.3.4. Die Definition des Flächeninhaltes und
der Kleinerrelation zwischen Flächeninhalten (32); 1.3.5. Die Einführung der Ein¬
heiten (33); 1.3.6. Die Beschreibung eines Flächeninhaltes durch Maßzahl und Einheit
(34); 1.3.7. Verwandlung von Einheiten (35); 1.3.8. Die Multiplikation eines Flächen¬
inhaltes mit einer natürlichen Zahl (35); 1.3.9. Addition von Flächeninhalten (36);
1.3.10. Subtraktion von Flächeninhalten (36); 1.3.11. Division (37); 1.3.12. Die Be¬
rechnung des Flächeninhaltes eines Rechtecks aus den Seitenlängen (38); 1.3.13.
Definition eines neuen Produktes zwischen Längen (38); Aufgaben 1.3. (41)
1.4. Volumina 42
1.4.1. Vergleich und Klasseneinteilung von Körpern (42); 1.4.2. Warum ist ein Vo¬
lumenvergleich von Körpern mit Hilfe der stückweisen Deckungsgleichheit nicht in
8 Inhaltsübersicht
allen Fällen möglich? (43); 1.4.3. Definition des Volumens eines Körpers und der
Kleinerbeziehung zwischen Volumina (43); 1.4.4. Die Einführung der Einheiten (44);
1.4.5. Verknüpfungen bei Volumina (45); 1.4.6. Berechnungen am Quader (46);
1.4.7. Ein neues Produkt zwischen Flächeninhalten und Längen (46); Aufgaben 1.4. (48)
1.5. Gewichte (Massen) 48
1.5.1. Vergleich von Körpern mit der Waage (48); 1.5.2. Definition des Gewichtes eines
Körpers und der Kleinerrelation zwischen Gewichten (48); 1.5.3. Einführung von
Einheiten (49); 1.5.4. Verknüpfungen bei Gewichten (50); Aufgaben 1.5. (50)
1.6. Zeitspannen, Dauer eines Vorgangs 51
1.6.1. Vergleich von Vorgängen hinsichtlich ihrer Dauer (51); 1.6.2. Die Dauer eines
Vorgangs (51); 1.6.3. Zeitpunkte, Uhrzeiten (51); 1.6.4. Zeiteinheiten (52); 1.6.5. Ver¬
knüpfungen bei Zeitspannen (52); 1.6.6. Einige ergänzende didaktische Bemerkungen
(53); Aufgaben 1.6. (53)
1.7. Geldwerte 53
1.7.1. Die Gleichwertigkeit von Geldstückmengen (53); 1.7.2. Der Wert einer Menge
von Geldstücken oder -scheinen (53); 1.7.3. Einheiten von Geldwerten (54); 1.7.4. Ver¬
knüpfungen bei Geldwerten (54); Aufgaben 1.7. (55)
1.8. Strukturelle Betrachtungen zu den Größen 55
1.8.1. Die Eigenschaften der Addition und der Kleinerrelation bei den bisherigen
Größen (55); 1.8.2. Definition des Begriffs Größenbereich (56); 1.8.3. Die Definition
eines Produktes zwischen einer natürlichen Zahl und einer Größe (57); 1.8.4. Größen¬
bereiche mit Teilbarkeitseigenschaft (57); 1.8.5. Folgerungen für beliebige Größen¬
bereiche (58); 1.8.6.* Repräsentantensysteme von G, ößenbereichen (59); 1.8.7.* Zu¬
sammenhang mit der Definition eines Größenbereiches (62); 1.8.8.* Beweis der Folge¬
rungen für Größenbereiche mit Hilfe der Repräsentanten (63); 1.8.9. * Subtraktion (65);
1.8.10. Division in Größenbereichen mit Teilbarkeitseigenschaft (65); Aufgaben 1.8. (66)
1.9. Zur Didaktik der Größenbereiche 67
1.9.1. Ein Rückblick (67); 1.9.2. Warum sind Repräsentantenbereiche für die Didaktik
der Mathematik wichtig? (67); 1.9.3. Die Begriffsbildung der einzelnen Größen (68);
1.9.4. Die Einführung der Einheiten (68); 1.9.5. Die Bezeichnung einer Größe durch
Maßzahl und Einheit (69); Verwandlungsaufgaben (69); 1.9.7. Eine genaue Begrün¬
dung des Rechnens mit Größen (70); 1.9.8. Die Begründung der Rechenregeln (71);
1.9.9. Sachaufgaben, Rechenfähigkeit, Situationsskizzen (72); 1.9.10. Gibt es noch
weitere Größen? (74)
2. Abschließende und zusammenfassende Betrachtungen zu den natürlichen Zahlen . . 75
2.1. Die natürlichen Zahlen als Vielfache von Größen 75
2.1.1. Vorbemerkungen (75); 2.1.2. Vielfache von Größen (75); 2.1.3. Die Einführung
der natürlichen Zahlen als Vielfache einer Größe (76); 2.1.4. Kann man auch im ersten
Inhaltsübersicht 9
Schuljahr die natürlichen Zahlen als Vielfache einer Größe einführen? (77); 2.1.5. Die
didaktische Verwendung der Isomorphie zwischen den Vielfachen einer Größe und den
natürlichen Zahlen (78); Aufgaben 2.1. (80)
2.2. Die natürlichen Zahlen als Operatoren 81
2.2.1. Multiplikationsoperatoren auf Größenbereichen (81); 2.2.2. Isomorphie zwischen
den natürlichen Zahlen und den Multiplikationsoperatoren (81); 2.2.3. Die Definition
der natürlichen Zahlen als Operatoren (82)
2.3. Zur strukturellen Kennzeichnung der natürlichen Zahlen 82
2.3.1. Verschiedene Möglichkeiten der Definition der natürlichen Zahlen (82); Zur
Einführung der natürlichen Zahlen als Zahleigenschaften von Mengen (83); 2.3.3. Die
Abstraktion zur Struktur (83); 2.3.4. Die verschiedenen Verwendungsarten der natür¬
lichen Zahlen (85)
2.4. Anmerkungen zur sog. operativen Begründung der natürlichen Zahlen 86
2.4.1. Zur Abgrenzung gegenüber Kursen, die sich an sog. operativen Lernprinzipien
orientieren (86); 2.4.2. Einige Grundgedanken der Theorie von Lorenzen (86); 2.4.3.
Didaktische Probleme (87)
3. Bruchzahlen 89
3.1. Multiplikations- und Divisionsoperatoren 89
3.1.1. Multiplikationsoperatoren (89); 3.1.2. Die Verkettung von Multiplikations¬
operatoren (90); 3.1.3. Divisionsoperatoren (92); 3.1.4. Ist jeder Größe eine Bildgröße
zugeordnet? (93); 3.1.5. Divisionsoperatoren auf N (94); 3.1.6. Divisionsoperatoren
auf dem Größenbereich der Geldwerte (94); 3.1.7. Verkettung von Divisionsoperatoren
(94); 3.1.8. Der identische Operator (96); 3.1.9. Zueinander inverse Operatoren (96);
Aufgaben 3.1. (97)
3.2. Bruchoperatoren 98
3.2.1. Verkettung von Multiplikations- und Divisionsoperatoren (98); 3.2.2. Die Ver-
tauschbarkeit von Multiplikations- und Divisionsoperatoren (99); 3.2.3. Die Assoziati-
vität des Verkettens bei beliebigen Operatoren (101); 3.2.4. Grundvorstellung und
Schichtenbild (102); 3.2.5. Die Relation X ist m ntel von Y zwischen Repräsentanten
von Größen (103); 3.2.6. Der Gegenoperator eines Bruchoperators (104); 3.2.7. Die
Gleichheit von Bruchoperatoren, Erweitern und Kürzen (105); 3.2.8. Die Ordnungs¬
relation für Bruchoperatoren (108); 3.2.9. Bruchoperatoren als Maßzahlen von Größen
(111); 3.2.10. Die gemischte Bruchschreibweise im Zusammenhang mit Größen (112);
3.2.11. Der Zahlenstrahl (die Zahlenhalbgerade) (113); 3.2.12. Verwendung von Bruch¬
operatoren in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (114); Aufgaben 3.2. (117)
3.3. Die Verkettung von Bruchoperatoren 119
3.3.1. Einführendes Beispiel (119); 3.3.2. Die Regel über die Verkettung von Bruch¬
operatoren (119); 3.3.3. Vor dem Ausmultiplizieren ist zu kürzen (120); 3.3.4. Die
10 Inhaltsübersicht
Grundvorstellung, die mit der Verkettung zu verbinden ist (121); 3.3.5. Einteilung der
Sachaufgaben zur Verkettung von Bruchoperatoren (121); 3.3.6. Operator-Operator-
Aufgaben (122); 3.3.7. Zustand-Operator-Aufgaben (122); 3.3.8. Umkehrung der
Operator-Operator-Aufgaben (123); 3.3.9. Erste Umkehrung der Zustand-Operator-
Aufgaben (124); 3.3.10. Zweite Umkehrung der Zustand-Operator-Aufgaben (125);
3.3.11. Die Umkehrung der Verkettung von Bruchoperatoren, Division (126); 3.3.12.
Verkettung von Bruchoperatoren in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (127); Auf¬
gaben 3.3. (128)
3.4. Addition und Subtraktion von Bruchoperatoren 129
3.4.1. Die Addition von Größen mit Bruchoperatoren als Maßzahlen (129); 3.4.2. Das
Weglassen der Einheitsgröße bei den Rechnungen (130); 3.4.3. Die Definition der
Addition von Bruchoperatoren (130); 3.4.3. Rechengesetze über die Addition von
Bruchoperatoren (132); 3.4.5*. Das Distributivgesetz (133); 3.4.6. Die Subtraktion von
Größen mit Bruchoperatoren als Maßzahlen (134); 3.4.7. Die Subtraktion von Bruch¬
operatoren (134); 3.4.8. Die gemischte Bruchschreibweise (136); 3.4.9. Sachaufgaben
zur Addition und Subtraktion (137); 3.4.10. Addition von Bruchoperatoren in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung (138); Aufgaben 3.4. (139)
3.5. Die Bruchzahlen 139
3.5.1. Abkürzende Schreibweisen und ihr Hintergrund (139); 3.5.2. Die Einbettung der
Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchoperatoren (140); 3.5.3. Wann
sollte die Abstraktion zur Struktur erfolgen? (141); 3.5.4. Die Charakterisierung der
Struktur der Bruchzahlen (141); 3.5.5. Die Definition der Bruchzahlen (142); 3.5.6.
Andere Modelle der Struktur der Bruchzahlen (143); 3.5.7*. Ein weiteres Modell der
Struktur der Bruchzahlen (144); 3.5.8. Die Menge der Bruchzahlen als Größenbereich
(145); Aufgaben 3.5. (145)
3.6. Zur Didaktik der Bruchrechnung 145
3.6.1. Das Ziel dieses Abschnittes (145); 3.6.2. Gründe für die Einführung der Bruch¬
zahlen als Operatoren (145); 3.6.3. Was heißt: Ein Verknüpfungsgebilde operiert auf
einer Menge? (147); 3.6.4. Die elementaren Anwendungen der Bruchzahlen (147);
3.6.5. Die Begriffe Veranschaulichung und Darstellung (147); 3.6.6. Die traditionelle
Behandlung der Sonderfälle: Multiplikation einer Bruchzahl mit einer natürlichen
Zahl und Division durch eine natürliche Zahl (149); 3.6.7. Addition und Subtraktion
zeitlich hinter der Multiplikation (Verkettung)? (150); 3.6.8. Die Technik des Rech¬
nens mit Brüchen (150); 3.6.9. Beweise und Einsicht in der Bruchrechnung (151);
3.6.10. Verzicht auf Bruchrechnung?
4. Dezimalbrüche und Systembrüche 152
4.1. Abbrechende Dezimalbrüche und Systembrüche 152
4.1.1. Abbrechende Dezimalbrüche (152); 4.1.2. Der Abakus (Rechenbrett) (153);
4.1.3. Welche gewöhnlichen Brüche lassen sich als abbrechende Dezimalbrüche schrei¬
ben? (153); 4.1.4. Gewöhnliche Brüche in anderen Positionssystemen (154); 4.1.5.
Inhaltsübersicht 11
Systembrüche (155); 4.1.6. Abakus (Rechenbrett) für Systembrüche (157); 4.1.7. Die
Übersetzung eines gewöhnlichen Bruches in einen Sechserbruch (157); 4.1.8. Die
Übersetzung eines gewöhnlichen Bruches in einen Viererbruch (158); 4.1.9. Eine
Vermutung (159); 4.1.10. Die Übersetzung eines gewöhnlichen Bruches in einen Dezi¬
malbruch nach dem Verfahren der schriftlichen Division (159); 4.1.11. Darstellung
des Divisionsverfahrens an der Stellentafel (Rechenbrett); 4.1.12. Verwandlung in
einen Systembruch durch Abänderung des schriftlichen Divisionsverfahrens (161);
Aufgaben 4.1. (162)
4.2. Nichtabbrechende Dezimalbrüche 163
4.2.1. Nicht abbrechendes Divisionsverfahren (163); 4.2.2. Die Definition der Dezimal¬
entwicklung einer Bruchzahl (164); 4.2.3. Eine weitere Analyse des Verfahrens der
schriftlichen Division (165); 4.2.4. Der vorzeitige Abbruch einer Dezimalentwicklung
(165); 4.2.5. Wann ist eine Dezimalentwicklung abbrechend? (167); 4.2.6. Die Periodi-
zität einer nicht abbrechenden Dezimalentwicklung (168); 4.2.7. Reinperiodische Ent¬
wicklungen (169); 4.2.8. Ein abgekürztes Verfahren der schriftlichen Division (169);
4.2.9* Ein Satz über die Periodenlänge reinperiodischer Dezimalentwicklungen (170);
4.2.10. Entwicklungen mit der Periode 9 (172); 4.2.11. Die Verwandlung einer rein¬
periodischen Dezimaldarstellung in einen Bruch (172); 4.2.12. Gemischtperiodische
Dezimalbrüche (174); 4.2.13. Periodenfreie, nicht abbrechende Dezimalentwicklungen
(174); 4.2.14. Intervallschachtelungen (175); 4.2.15. Eine didaktische Schlußbemer¬
kung (176); Aufgaben 4.2. (177)
4.3. Nicht abbrechende Systembrüche 177
4.3.1. Die Analogie zu den Dezimalentwicklungen (177); 4.3.2. Die g-adische Ent¬
wicklung eines Bruches (176); 4.3.3. Eine weitere Analyse des Verfahrens (181);
4.3.4. Divisionsverfahren in einem anderen Positionssystem (181); 4.3.5. Der vor¬
zeitige Abbruch einer g-adischen Entwicklung (183); 4.3.6. Wann ist eine g-adische
Entwicklung abbrechend? (183); 4.3.7. Die Periodizität einer g-adischen Entwicklung
(184); 4.3.8. Das abgekürzte Divisionsverfahren (184); 4.3.9. Die Perioden¬
länge reinperiodischer g-adischer Entwicklungen (184); 4.3.10. Die Entwicklung
(qo,qi ... qn g — 1) (186); 4.3.11. Die Verwandlung einer reinperiodischen g-adischen
Entwicklung in einen Bruch (186); 4.3.12. Gemischtperiodische g-adische Entwick¬
lungen (187); 4.3.13. Eine didaktische Schlußbemerkung (188); Aufgaben 4.3. (188)
4.4. Verknüpfungen von Bruchzahlen in dezimaler bzw. g-adischer Darstellung .... 189
4.4.1. Eine abkürzende Sprechweise (189); 4.4.2. Zurückführung auf gewöhnliche
Brüche (189); 4.4.3. Die Verwendung von Stellenwerttafeln bei Dezimalbrüchen (190);
4.4.4. Stellentafeln bei g-adischen Entwicklungen (192); Aufgaben 4.4. (194)
5. Sachrechnen mit ein oder zwei Größenbereichen 195
5.1. Prozentrechnung 195
5.1.1. Der Prozentoperator (195); 5.1.2. Die drei Grundaufgaben zur Prozentrechnung
(195); 5.1.3. Einstieg und Stufengang bei der Behandlung der Prozentrechnung (197);
12 Inhaltsübersicht
5.1.4. Vorteile der Operatormethode (198); 5.1.5. Andere Auffassungen des Prozent¬
begriffs (198); Aufgaben 5.1. (198)
5.2. Zinsrechnung 199
5.2.1. Zinssatz und Zeitfaktor als Operatoren (199); 5.2.2. Die Grundaufgaben der
Zinsrechnung (200); 5.2.3. Die Vorteile der Operatormethode (201); 5.2.4. Zinses-
zinsen (201); Aufgaben 5.2. (202)
5.3. Die sogenannte Schlußrechnung 203
5.3.1. Die mathematischen Unterschiede zur Prozentrechnung und Zinsrechnung (203);
5.3.2. Das klassische Dreisatzschema (203); 5.3.3. Ein weiteres Beispiel zum klassischen
Schema (204); 5.3.4. Die Multiplikationsbedingung für die Abbildung zwischen beiden
Größenbereichen (205); 5.3.5. Abbildung zweier Größenbereiche, für welche die
Multiplikationsbedingung nicht gilt (206); 5.3.6. Die Definition der Proportionalität
(207); 5.3.7. Eine äquivalente Bedingung zur Multiplikationsbedingung (207); 5.3.8.
Verschiedene Möglichkeiten zum Ausfüllen einer Wertetabelle (208); 5.3.9. Die
Additionsbedingung (209); 5.3.10. Die Linearität einer Funktion (Abbildung) (210);
5.3.11. Eine stillschweigende Voraussetzung bei der Schlußrechnung (210); 5.3.12*.
Die eindeutige Bestimmtheit der Abbildung (Funktion) f in kommensurablen Größen¬
bereichen (212); 5.3.13*. Abhängigkeiten zwischen den beiden Linearitätsbedingungen
(213); 5.3.14. Die Monotoniebedingung (214); 5.3.15. Situationsskizzen in der sog.
Schlußrechnung (215); 5.3.16. Formulierung der Additionsbedingung für Repräsen¬
tanten (216); 5.3.17. Die Bedeutung der Situationsskizzen (217); 5.3.18. Was ist in
einer Dreisatzaufgabe überhaupt gegeben? (218); 5.3.19. Zur Didaktik der sog. Schlu߬
rechnung in Grund- und Hauptschule bzw. Realschule und Gymnasium (218); 5.3.20.
Quotientengleiche Zahlenpaare (221); Aufgaben 5.3. (222)
5.4. Die Antiproportionalitäten 224
5.4.1. Ein einführendes Beispiel (224); 5.4.2. Der Begriff der Antiproportionalität (224);
5.4.3. Verschiedene Möglichkeiten des Ausfüllens einer Wertetabelle (225); 5.4.4. Die
eindeutige Bestimmtheit einer Antiproportionalität in kommensurablen Größenbe¬
reichen (226); 5.4.5. Lösung mit Hilfe einer Gesamtgröße (226); 5.4.6. Situationsskizzen
(227); 5.4.7. Produktgleiche Zahlenpaare (227); 5.4.8. Eine didaktische Anmerkung
(228); Aufgaben 5.4. (228)
5.5. Der Größenbereich der Proportionalitäten eines kommensurablen Größenbereichs in
einen anderen 229
5.5.1. Die Beschreibung einer Proportionalität durch einen Bruch (229); 5.5.2. Um¬
gangssprachliche Namen für Proportionalitäten (231); 5.5.3*. Die Proportionalitäten
eines Größenbereichs G, in einen Größenbereich G2 bilden selbst einen Größenbereich
(231); 5.5.4*. Nachweis von Bruchrechenregeln (233); Aufgaben 5.5. (236)
Sachregister 237
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