Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus: 3 Präzisions- und Approximationsmathematik
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer
1928
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| Schriftenreihe: | Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
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Autor: Klein, Felix
Jahr: 1928
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung............................................................1
Erster Teil : Von den Funktionen reeller Veränderlicher und
ihrer Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem.
I. Erläuterungen über die einzelne unabhängige Variable x.
Empirische und abstrakte Genauigkeit. Der moderne Zahlbegriff . . 2
Präzisions- und Approximationsmathematik, auch in der reinen Geometrie 4
Anschauung und Denken, erläutert an verschiedenen Teilen der Geometrie 8
Erläuterung an zwei einfachen Sätzen über Punktmengen......10
II. Funktionen y = /(•») einer Veränderlichen a?.
Die abstrakte und die empirische Festlegung einer Funktion (Idee des
Funktionsstreifens).......................13
Von der Leistungsfähigkeit der räumlichen Anschauung.......17
Von der Genauigkeit der Naturgesetze (mit Exkurs über die verschiedenen
Ideen betr. die Konstitution der Materie)............18
Attribute der empirischen Kurve: Zusammenhang, Richtung, Krümmung 22
Cauchys Definition der stetigen Funktion. Wie weit reicht die Analogie
mit der empirischen Kurve?..................26
Die Integrierbarkeit der stetigen Funktion.............30
Der Satz von der Existenz des größten bzw. kleinsten Wertes .... 33
Die vier Derivierten .......................35
Weierstraß nichtdifferenzierbare Funktion; ihr Allgemeinverlauf ... 39
Ihre Nichtdifferenzierbarkeit...................45
Die ,,vernünftigen Funktionen..................50
III. Von der angenäherten Darstellung der Funktionen.
Approximation empirischer Kurven durch vernünftige Funktionen . . 51
Annäherung vernünftiger Funktionen durch einfache analytische Aus-
drücke ......................¦......53
Lagranges Interpolationsformel..................54
Der Taylorsche Satz und die Taylorsche Reihe...........57
Annäherung des Integrals und des Differentialquotienten durch das
Lagrangesche Polynom.....................59
Von den analytischen Funktionen und ihrer Verwendung für die Natur-
erklärung ...........................61
Interpolation durch eine endliche trigonometrische Reihe......67
IV. Nähere Ausführungen zur trigonometrischen Darstellung der
Funktionen.
Fehlerabschätzung bei der Darstellung empirischer Funktionen .... 70
Trigonometrische Interpolation gemäß der Methode der kleinsten Qua-
drate .............................72
Inhaltsverzeichnis. XX
Seite
Der harmonische Analysator :..........................73
Beispiele trigonometrischer Reihen. ................76
Tschebyscheffs Arbeiten über Interpolation.............82
V. Funktionen zweier Veränderlicher. 1
Stetigkeit ......................84
Vertauschbarkeit der Differentiationsfolge. Praktisches Beispiel einer
d2f d%f
Funktion, für welche «—4= ~..............90
cxöy oyöx
Approximative Darstellung von Funktionen der Kugelfläche durch
Reihen nach Kugelfunktionen..................94
Die Werteverteilung der Kugelfunktionen über die Kugel hin .... 100
Fehlerschätzung bei der abbrechenden Kugelfunktionenreihe.....102
Zweiter Teil : Freie Geometrie ebener Kurven.
I. Präzisionstheoretische Betrachtungen zur ebenen Geometrie.
Sätze über Punktmengen.....................104
Punktmengen, die durch Inversion an zwei oder mehr sich nicht schnei-
denden Kreisen entstehen...................106
Eigenschaften dieser Mengen...................112
Begriff des 2-dimensionalen Kontinuums. Allgemeiner Kurvenbegriff 114
Von der Peano-Kurve, die ein ganzes Quadrat überdeckt......II6
Engerer Kurvenbegriff: die Jordan-Kurve.............123
Weitere Einengung des Kurvenbegriffs: die reguläre Kurve.....127
Approximation anschaulicher Kurven durch reguläre Idealkurven . .128
Vorstellbarkeit der Idealkurven...................129
Spezialisierung der Idealkurven: Analytische, algebraische Kurven. Geo-
metrische Erzeugung der letzteren nach Graßmann........130
Beherrschung des Empirischen durch Idealgebilde; Perrys Standpunkt 134
II. Fortsetzung der präzisionstheoretischen Betrachtungen zur ebenen
Geometrie.
Iterierte Inversion an zwei sich berührenden Kreisen........135
Dasselbe an drei sich berührenden Kreisen (,,Modulfigur ) .....139
Der Normalfall von vier sich in zyklischer Reihenfolge berührenden
Kreisen............................144
Der allgemeine Fall von vier sich in zyklischer Reihenfolge berührenden
Kreisen............................145
Eigenschaften der hierbei entstehenden nichtanalytischen Kurven . . ISO
Voraussetzung dieser ganzen Entwicklungen. Weitere Idealisierung bei
Veronese...........................156
III. Übergang zur praktischen Geometrie: a) Geodäsie.
Ungenauigkeit aller praktischen Messungen. Ausführungen beim Snellius-
schen Problem........................157
Festlegung des Genauigkeitsmaßes durch iterierte Messungen. Prin-
zipielle Auffassung der Methode der kleinsten Quadrate......I6O
Approximatives Rechnen, erläutert am Legendreschen Satze für kleine
sphärische Dreiecke......................162
Die geodätische Bedeutung der kürzesten Linie auf dem Erdsphäroid
(nebst Postulaten betr. die Theorie der Differentialgleichungen) . . 163
Von dem Geoid und seiner praktischen Festlegung.........I67
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
IV. Fortsetzung der praktischen Geometrie: b) Zeichnende Geometrie.
Postulierimg einer Fehlertheorie auch für die zeichnende Geometrie, er-
läutert an der zeichnerischen Wiedergabe des Pascalschen Satzes 171
Von der Möglichkeit, aus der empirischen Gestalt auf Eigenschaften der
Idealkurve zu schließen . . *................ . 176
Anwendung des Verfahrens insbesondere auf algebraische Kurven. Alge-
braische Vorkenntnisse, die wir voraussetzen...........178
Aufstellung des zu beweisenden Theorems: w + 2 t = n (n — 2) . . . 183
Prinzipien des zu führenden Kontinuitätsbeweises .........185
Übergang der Cn durch eine Form mit Doppelpunkt........188
Beispiele von Kurven, bei denen das Theorem stimmt, für gerades n 190
Desgleichen für ungerades n . . .................195
Erläuterung des Kontinuitätsbeweises an Beispielen. Durchführung des
Beweises...........................I9S
Dritter Teil: Von der Versinnlichung idealer Gebilde durch
Zeichnungen und Modelle.
Gestaltliche Verhältnisse bei singularitätenfreien Raumkurven, insbeson-
dere C3 (Projektionen der Kurve und ebene Schnitte ihrer Tangen-
tenfläche) ........................ ... 205
Die sieben Arten singulärer Punkte von Raumkurven........213
Allgemeines über die Gestalt singularitätenfreier Flächen......215
Von den Doppelpunkten der_F3, insbesondere ihren biplanaren und uni-
planaren Punkten.......................218
Von dem gestaltlichen Verlauf der F3 überhaupt..........224
Appell zu immer erneuter Korrektur des traditionellen Wissenschafts-
betriebes durch Naturbeobachtung................230
Namenverzeichnis..............................232
Sachverzeichnis
234
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