Einführung in die höhere Mathematik: für Studierende und zum Selbststudium 1 Zahlen, Funktionen, Grenzwerte, analytische Geometrie, Algebra, Mengenlehre
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Hirzel
1971
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INHALTSVERZEICHNIS
Erster Abschnitt
Kombinatorik. Gruppen
1. Aufgaben der Kombinatorik 5
2. Erklärungen 6
Permutationen
3. Erste Grundaufgabe. Anzahl der Permutationen voneinander verschiedener
Elemente 7
4. Das Induktionsgesetz (Schluß von n auf (n + 1)) 9
5. Erklärung des Zeichens n\ 11
6. Lexikographische Anordnung 12
7. Transpositionen und Inversionen 13
8. Gerade und ungerade Permutationen 15
9. Zweite Grundaufgabe. Anzahl der Permutationen von Elementen, die nicht
alle verschieden sind 16
10. Übungsaufgaben 17
11. Permutationen als Umordnungen oder Substitutionen 18
12. Zusammensetzung oder Produkt von Permutationen 19
13. Inverse Umordnungen 21
14. Gruppen 22
Kombinationen
15. Erklärungen 25
16. Dritte Grundaufgabe. Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung . 26
17 Erklärung des Zeichens /") 28
18. Eigenschaften des Zeichens ( a J 29
19. Der Binomiallehrsatz 32
20. Anwendungen 34
21. Der Polynomiallehrsatz 34
22. Kombinationen mit Wiederholung 36
23. Vierte Grundaufgabe. Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung 36
24 Übungsaufgaben 39
Zweiter Abschnitt
Determinanten
25. Bedeutung der Determinanten 40
26. Vorlaufiges über Determinanten, Matrizen und Vektoren 41
27. Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten 45
IX
I nhaltsverzeichnis
28. Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 46
29. Zwei homogene lineare Gleichungen mit drei Unbekannten 5°
30. Determinanten dritten Grades 53
31. Adjunkten 57
32. Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten 58
33. Determinanten beliebigen Grades 63
34. Vertauschungssatz und Nullsatz 68
35. Gleichungen zwischen den Elementen und Adjunkten 69
36. Einfache Umformungen von Determinanten 71
37. Beispiele für die Berechnung einer Determinante 73
38. Das Differenzenprodukt von n gegebenen Zahlen 75
39. System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten 76
40. Anwendungen 83
41. System von m linearen Gleichungen mit « Unbekannten 85
42. Homogene lineare Gleichungen 86
43. Vektoren. Inneres Produkt 89
44. Lineare Gleichungen in vektorieller Schreibweise. Erste Art 90
45. Lineare Abhängigkeit von Vektoren. Zweite vektorielle Schreibweise linearer
Gleichungen 91
46. Multiplikation zweier Determinanten 92
47. Andere Darstellungen des Produktes 95
48. Determinante des Systems der Adjunkten 96
49. Produkte von Matrizen 97
Dritter Abschnitt
Das System der rationalen Zahlen
Die Grundgesetze der Arithmetik
50. Die Grundlagen der Analysis. Vorbemerkungen 100
51. Die natürlichen und die ganzen Zahlen 102
52. Die rationalen Zahlen 105
53. Die Grundgesetze der Arithmetik 106
I. Grundgesetze der Gleichheit und der Anordnung 106
II. Grundgesetze der Addition 107
III. Grundgesetz der Subtraktion 108
IV. Grundgesetze der Multiplikation 109
V. Grundgesetz der Division 110
VI. Archimedisches Grundgesetz in
Abgeleitete Rechenregeln
54. Unabhängigkeit und Widerspruchsfreiheit der Axiome 113
55. Vorzeichen und Klammerregeln 114
56. Summen und Produkte mit beliebig vielen Gliedern 116
57. Ungleichungen und Beträge 119
58. Beispiele für das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen 122
59. Abbildung der rationalen Zahlen auf Punkte einer orientierten Geraden. Inter¬
valle I3i
60. Direkte und indirekte Beweise. Besonderheiten der mathematischen Ausdrucks¬
weise 133
X
Inhaltsverzeichnis
Teilbarkeitseigenschatten der ganzen Zahlen
61. Teilbarkeit 136
62. Größter gemeinsamer Teiler 138
63. Die kanonische Darstellung der ganzen Zahlen als Produkt von Primzahlpotenzen 142
64. Endliche regelmäßige Kettenbrüche 144
65. Näherungsbrüche 147
66. Beispiele 149
Zahlenfolgen
67. Zahlenfolgen 150
68. Arithmetische und geometrische Folgen 154
69. Grundbegriffe der Differenzenrechnung. Übungsaufgabe 156
70. Arithmetische Folgen höherer Ordnung 159
71. Summenformeln 160
Nullfolgen
72. Nullfolgen 161
73. Beispiele von Nullfolgen 163
74. Bemerkungen über Nullfolgen 167
75. Einfache Sätze über Nullfolgen 169
Vierter Abschnitt
Das System der reellen Zahlen
Die irrationalen Zahlen
76. Unvollkommenheit des Systems der rationalen Zahlen 171
77. Das Cantorsche Axiom 174
78. Die irrationalen Zahlen 176
Das System der reellen Zahlen
79. Die Grundgesetze der Gleichheit und der Anordnung 179
80. Grundgesetze der Addition 181
81. Grundgesetz der Subtraktion 182
82. Grundgesetze der Multiplikation und Division 182
83. Das Archimedische Grundgesetz 184
84. Die reellen Zahlen 184
85. Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte der Zahlengeraden. Abszissen . . . 186
36. Abgeleitete Regeln. Zusammenfassung 187
37. Dezimalbrüche 188
¦ 8. Der Dedekindsche Schnitt . . . 190
89. Rückblick auf die Abschnitte I, II und III 193
90. Unendliche regelmäßige Kettenbräche 193
91. Beliebige Zahlenfolgen. Nullfolgen und Intervallschachtelungen 195
92. Erweiterung des Systems der reellen Zahlen 196
Fünfter Abschnitt
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
93. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 198
94. Wurzeln 199
95. Potenzen mit rationalen Exponenten 201
96. Abhängigkeit einer Potenz vom Exponenten . 203
97. Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten 205
98. Logarithmen 207
XI
Inhaltsverzeichnis
Sechster Abschnitt
Grundbegriffe der analytischen Geometrie
Grundlagen der Geometrie
99. Grundlagen der Geometrie. Vorbemerkungen 209
100. Die Axiome der Verknüpfung (I) 211
101. Die Axiome der Anordnung (II) 212
102. Die Axiome der Kongruenz (III) 2I3
103. Die Axiome der Stetigkeit (IV) 2I5
104. Das Parallelenaxiom (V) 2I7
105. Winkel und Winkelmessung 2I7
106. Erweiterung des Winkelbegriffs 220
Koordinatensysteme
107. Das Wesen der analytischen Geometrie 222
108. Rechtwinklige und schiefwinklige ebene Koordinatensysteme 224
109. Ebene Polarkoordinaten 226
110. Das rechtwinklige räumliche Koordinatensystem 227
in. Schiefwinklige räumliche Koordinatensysteme 230
112. Zylinder und räumliche Polarkoordinaten 230
Erklärungen und Sätze, die für Ebene und Raum gemeinsam gelten
113. Mittel zur Vermeidung von Fallunterscheidungen 233
114. Projektionen von Strecken 236
115. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen 238
116. Komponenten und Koordinaten'einer Strecke 241
117. Vektoren 242
118. Abstand zweier Punkte und die Dreiecksungleichung 244
HO Abstandsverhältnis 246
Grundaufgaben der analytischen Geometrie der Ebene
120. Richtungskosinus in der Ebene 250
121. Sätze über Richtungskosinus in der Ebene 251
122. Steigung einer Geraden 251
123. Projektion des Leitstrahls eines Punktes «55
124. Winkel zwischen zwei Strahlen. Additionstheorem der Kreisfunktionen . . . 236
125. Bedingung des Senkrechtstehens 257
126. Bedingung des Parallelseins . . . .• 258
127. Dreiecksinhalt 258
128. Formel für den Inhalt eines Dreiecks 259
129. Koordinatenverwandlung in der Ebene bei Änderung der Achsenrichtungen . . 260
Grundaufgaben der analytischen Geometrie des Raumes
130. Richtungskosinus im Raunte 263
131. Sätze über Richtungskosinus im Räume 264
132. Ausdrücke der Richtungskosinus durch geographische Länge und Breite . . . . 266
133. Projektion des Leitstrahles eines Punktes auf einen Strahl im Räume . 267
134. Winkel zwischen zwei Strahlen im Räume 269
135. Bedingung des Senkrechtstehens '.'. 270
136. Bedingung des Parallelseins '.'. 271
137. Skalares Produkt 272
138. Positive Normalenrichtung einer Ebene 273
139. Zuordnung von positivem Drehungssinn und positiver Normale 273
140. Positiver Windungssinn im Räume 274
XII
I nhaltsverzeichnis
141. Projektion eines Dreiecks 276
142. Projektionen eines Dreiecks auf die Koordinatenebenen. Dreiecksinhalt im
Räume 278
143. Gemeinsames Lot zweier Richtungen 278
144. Vektorprodukt 280
145. Rauminhalt eines Tetraeders 281
146. Ausdruck des Rauminhaltes eines Tetraeders durch die Koordinaten der
Ecken 282
147. Koordinatenverwandlung im Räume bei Änderung der Achsenrichtungen . . 284
148. Gleichzeitige Änderung des Anfangs und der Achsenrichtungen 287
149. Gleichungen zwischen den neun Richtungskosinus, welche die gegenseitige Lage
zweier rechtwinkliger Achsenkreuze bestimmen 288
150. Beziehungen zwischen den eben entwickelten Gleichungen 291
151. Darstellung der Drehungen durch drei willkürlich wählbare Zahlen 293
Siebenter Abschnitt
Das System der komplexen Zahlen
Grundbegriffe
152. Geschichtliches 300
153. Die komplexen Zahlen 303
154. Gleichheit und Ungleichheit 305
155. Addition und Subtraktion 307
156. Multiplikation 308
157. Division 310
158. Zusammenfassung. Abgeleitete Regeln . . 311
159. Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen
Zahlen 311
160. Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten der komplexen Zahlen. —
Bezeichnungen und geometrische Ausdrucksweise 313
161. Geometrische Veranschaulichung der vier Grundrechnungsarten 317
162. Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen 319
163. Übungsaufgaben 322
164. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 323
165. Anwendungen 324
166. Wurzeln 326
167. Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten 328
Achter Abschnitt
Veränderliche und Funktionen
Feststellung der allgemeinen Begriffe
168. Beispiele von Funktionen 329
169. Konstante und Veränderliche 330
170. Intervalle 333
171. Begriff einer Funktion 336
172. Bezeichnung der Funktionen 340
173. Geometrisches Bild einer Funktion 342
174. Funktionen von mehreren Veränderlichen 343
XIII
Inhaltsverzeichnis
Erklärung einiger besonderer Arten von Funktionen
A. Rationale Funktionen, Polynome
175. Rationale Funktionen 346
176. Ganze und gebrochene rationale Funktionen 347
177. Normalform eines Polynoms in einer Veränderlichen 348
178. Hilfssatz aus der Algebra 349
179. Eindeutigkeit der Normalform eines Polynoms in einer Veränderlichen . 351
180. Grad eines Polynoms einer Veränderlichen 352
181. Algebraische Gleichungen mit einer Unbekannten 355
182. Interpolationsformeln von Lagrange und Newton 355
183. Normalform der Polynome in mehreren Veränderlichen 35
184. Gesamtgrad eines Polynoms in mehreren Veränderlichen 360
185. Teilbarkeit von Polynomen 361
186. Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome 363
187. Allgemeine Form der gebrochenen rationalen Funktionen 3^5
B. Algebraische Funktionen
188. Beispiele nicht rationaler Funktionen 367
189. Algebraische Gleichungen zwischen mehreren Veränderlichen 3 8
190. Begriff einer algebraischen Funktion 368
C. Transzendente Funktionen
191. Begriff der Transzendenz il1
192. Exponentialfunktionen 373
193. Umkehrung der Exponentialfunktion. Logarithmen 375
194. Potenzen mit irrationalen Exponenten 376
195. Trigonometrische oder Kreisfunktionen 376
196. Zyklometrische Funktionen 379
197. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrung 381
ig8. Geschlossene analytische Ausdrücke. Elementare Funktionen 382
199. Mittelbare Funktionen 383
Geometrische Darstellung einer Funktion
200. Übereinstimmung des Bildes einer Funktion mit anderweitig bekannten
Kurven 385
201. Konstruktion des geometrischen Bildes einer Funktion 386
202. Beispiele geometrischer Bilder 388
Neunter Abschnitt
Gerade und Ebene
203. Parameterdarstellung einer Geraden in einer Ebene 39'
204. Darstellung einer Geraden durch eine Gleichung 395
205. Bestimmtheit der Gleichung einer Geraden 397
206. Beispiele 399
207. Besondere Formen der Gleichung einer Geraden 400
208. Abstand eines Punktes von einer Geraden 406
209. Schnittpunkt zweier Geraden 407
210. Winkel zwischen zwei Geraden 408
211. Allgemeine Formen der Gleichung einer Geraden 410
XIV
Inhaltsverzeichnis
212. Übungsaufgaben 414
213. Affine Abbildung 416
214. Parameterdarstellung einer Geraden im Räume 423
215. Parameterdarstellung einer Ebene im Räume 426
216. Darstellung einer Ebene durch eine Gleichung 430
217. Bestimmtheit der Gleichung einer Ebene 432
218. Verbindungsebene dreier Punkte 434
219. Besondere Formen der Gleichung einer Ebene 435
220. Abstand eines Punktes von einer Ebene 438
221. Bedingungen für das Parallelsein und für das Schneiden zweier Ebenen . . . 439
222. Winkel zweier Ebenen 440
223. Die Gerade als Schnittlinie zweier Ebenen 441
224. Schnittpunkt dreier Ebenen 442
225. Bedingung, daß vier Ebenen einen Punkt gemein haben 443
226. Allgemeine Formen der Gleichung einer Ebene 444
227. Übungsaufgaben 446
Zehnter Abschnitt
Grenzwerte
Grenzwerte von Zahlenfolgen
228. Zahlenfolgen. Nullfolgen 449
229. Erklärungen und Sätze 451
230. Spezielle Nullfolgen 454
231. Konvergente Zahlenfolgen 457
232. Weitere Bemerkungen und Beispiele 459
233. Sätze über konvergente Zahlenfolgen 462
234. Divergente Zahlenfolgen 466
235. Weitere Beispiele konvergenter Zahlenfolgen 470
236. Die Zahl e 472
237. Die beiden Konvergenzprobleme 475
238. Das erste Hauptkriterium (für monotone Folgen) 477
239. Das zweite Hauptkriterium (für beliebige Zahlenfolgen) 471
Grenzwerte von Funktionen
240. Vorbemerkungen und Beispiele 483
241. Grenzwert einer Funktion von x für x — ± 00 487
242. Zurückführung des Konvergenzverhaltens von Funktionen auf dasjenige von
Zahlenfolgen 489
243. Grenzwert einer Funktion bei Annäherung ihres Arguments an einen end¬
lichen Wert 491
244 Grenzwert von ?H1£ für x o 494
x
245. Einseitige Grenzwerte 495
246. Sätze über Grenzwerte 497
247. Die uneigentlichen Grenzwerte + 00 und — 00 500
*48 Erstes Hauptkriterium (für monotone Funktionen) 501
249. Zweites Hauptkriterium (für beliebige Funktionen) 502
XV
Inhaltsverzeichnis
Elfter Abschnitt
Zahlen und Punktmengen
250. Der Begriff einer Menge 503
251. Beispiele von Zahlen und Punktmengen 505
252. Abzählbare und nicht abzählbare Mengen 507
253. Äquivalenz von Mengen 509
254. Untere und obere Grenze 511
255. Häufungspunkte und Häufungsgrenzen 515
256. Zahlenmengen und Zahlenfolgen 519
257. Das III. Hauptkriterium für die Konvergenz von Zahlenfolgen 521
258. Häufungspunkte beliebiger Punktmengen 523
259. Punktfolgen. Konvergenz : 526
260. Weitere Erklärungen und Sätze 528
Zwölfter Abschnitt
Stetigkeit
261. Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion 331
262. Einseitige Stetigkeit. Stetigkeit in einem Intervall 536
263. Stetigkeit der einfachsten Funktionen 536
264. Sätze über Funktionen, die in einem Intervall stetig sind 538
265. Stetigkeit einer mittelbaren Funktion 343
266. Umkehrung einer monotonen und stetigen Funktion 343
267. Stetigkeit einer durch Umkehrung entstandenen Funktion 547
268. Stetigkeit der elementaren Funktionen 548
26g. Darstellung unstetiger Funktionen 550
Namen und Sachverzeichnis zum ersten Bande 555
Mathematische Zeichen
Trigonometrische und hyperbolische Funktionen
sin (sin) * Sinus
cos (cos) Kosinus
tg (tan) Tangens
ctg (cot) Kotangens
aresin (Aresin) Arkussinus (Hauptwert)
arecos (Arccos") Arkuskosinus (Hauptwert)
arctg (Arctan) Arkustangens (Hauptwert)
arectg (Arccot) Arkuskotangens (Hauptwert)
S'" (sinh) Sinus hyperbolicus
6 °i (cosh) Kosinus hyperbolicus
Iß (tanh) Tangens hyperbolicus
S*B (coth) Kotangens hyperbolicus
Wi Sin (arsinh) area sinus hyperbolicus
sXt £pf (arcosh) area cosinus hyperbolicus
%t Ig (artanh) area tangens hyperbolicus
Wc 6tg (arcoth) area cotangens hyperbolicus
• In Klammern Abkürzung nach TGL
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