Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker: 2 Numerische Methoden der Analysis
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1990
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| Ausgabe: | 2., überarb. und erg. Aufl. |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIV, 471 S. graph. Darst. |
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Inhaltsverzeichnis
V Interpolation, Approximation und numerische Inte¬
gration 1
11 Interpolation und Approximation 5
11.1 Interpolation durch Polynome 5
11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom 5
11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange Interpolation 8
11.1.3 Das Newtonsche Interpolationspolynom 10
11.2 Gleichabständige Stützwerte. Interpolation in zwei Variablen . 13
11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom 13
11.2.2 Darstellung des Fehlers 14
11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränder¬
lichen 16
11.3 Ergänzungen zur Interpolation. Numerische Differentiation 18
11.3.1 Hermite Interpolation 18
11.3.2 Inverse Interpolation 23
11.3.3 Interpolation als Approximationsprozeß 25
11.3.4 Numerische Differentiation 29
11.4 Approximation durch Polynome 33
11.4.1 Das allgemeine Approximationsproblem 33
11.4.2 Die Polynomapproximation 34
11.5 Approximation durch allgemeinere Funktionen 36
11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen 36
11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogo¬
nalfunktionen 38
11.6 Approximation mit Orthogonalpolynomen 39
11.6.1 Konvergenzfragen 39
11.6.2 Legendresche Polynome 41
11.6.3 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion* . 43
11.7 Approximation periodischer Funktionen 44
11.7.1 Trigonometrische Approximation 44
11.7.2 Näherungsformeln für die Fourierkoeffizienten 47
X Inhaltsverzeichnis
11.7.3 Komplexe Form der trigonometrischen Approximation . 48
11.8 Approximation empirischer Funktionen 49
11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme 49
11.8.2 Approximation durch Polynome 51
11.8.3 Approximation periodischer Funktionen, schnelle Fourierap
proximation* 52
11.9 Zweidimensionale Approximation* 58
ll.lOOrthogonale Anpassung* 70
12 Spline Interpolation 77
12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen 77
12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges 77
12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen 80
12.2 Definition der kubischen Splines 81
12.2.1 Eigenschaften der Spline Funktion 81
12.2.2 Die mathematische Definition des Splines 82
12.3 Der kubische Interpolationsspline 83
12.3.1 Berechnung des Splines 83
12.3.2 Der Algorithmus 86
12.4 Fehlerbetrachtungen 88
12.5 Weitere Splinekonstruktionen 91
12.6 Darstellung differenzierbarer Kurven durch Splinefunktionen* . 95
12.7 Basis Darstellung der kubischen Spline Funktionen 97
12.8 Zweidimensionale Spline Interpolation* 101
12.9 Beispiel 103
13 Numerische Integration 107
13.1 Quadraturformeln vom Newton—Cotes—Typ 107
13.1.1 Interpolations—Quadraturformeln 107
13.1.2 Die Newton Cotes Formeln 108
13.2 Summierte Quadraturformeln 111
13.2.1 Das Verfahren 111
13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln 112
13.3 Romberg—Integration 114
13.3.1 Das Prinzip 114
13.3.2 Der Algorithmus 115
13.3.3 Der Fehler bei der Romberg Integration 118
13.3.4 Ergänzungen 119
13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren 123
13.4.1 Eine Optimalitätsforderung 123
13.4.2 Berechnung der Stützstellen und Gewichte 124
Inhaltsverzeichnis XI
13.4.3 Ergänzungen 128
13.5 Adaptive Quadratur und Kontrolle des Quadraturfehlers* 129
13.6 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale 134
13.7 Numerische Kubatur 136
13.7.1 Tensorprodukt Methoden* 136
13.7.2 Summierte Kubaturverfahren 138
VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 145
14 Anfangsprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen 149
14.1 Einfache Einschritt Verfahren 149
14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung . . 149
14.1.2 Explizite Einschritt Verfahren 150
14.1.3 Das Polygonzugverfahren 151
14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren 154
14.2 Runge Kutta Verfahren 156
14.2.1 Allgemeine Herleitung der Verfahren 156
14.2.2 Das klassische Runge Kutta Verfahren 158
14.3 Konsistenz und Konvergenz 160
14.3.1 Konsistente Verfahren 160
14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt Verfahren 162
14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung 163
14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen 168
14.4 Schrittweitensteuerung und Kontrolle des globalen Diskretisierungs
fehlers* 170
14.5 Ergänzungen zur Theorie der Einschritt Verfahren 184
14.5.1 Rundungsfehlereinfluß 184
14.5.2 Parameterabhängige Differentialgleichungen* 185
14.5.3 Differentialgleichungen mit unstetiger bzw. nicht differenzier¬
barer rechter Seite* 185
14.6 Mehrschritt Verfahren 186
14.6.1 Einführung 186
14.6.2 Kurzer Überblick über die Theorie der Mehrschritt Verfahren 190
14.6.3 Anwendung von Mehrschritt—Verfahren in der Praxis* . 200
14.7 Steife Differentialgleichungen 202
14.7.1 Einführung 202
14.7.2 Lineare Stabilität von Diskretisierungsverfahren für Anfangs¬
wertprobleme 208
14.7.3 Nichtlineare Stabilität* 212
XII Inhaltsverzeichnis
14.7.4 Implizite Runge Kutta Verfahren und Rosenbrock Verfahren* 215
14.8 Differentialgleichungen in impliziter Form* 224
15 Rand— und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichun¬
gen 231
15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie 231
15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems 231
15.1.2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen 233
15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differential¬
gleichungen 1. Ordnung 235
15.1.4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung 236
15.2 Differenzenverfahren 238
15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung 238
15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme zweiter Ordnung 241
15.2.3 Konvergenz des Differenzenverfahrens 245
15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren 251
15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem 251
15.3.2 Das Ritzsche Verfahren 256
15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens . . . 258
15.4 Die Methode der finiten Elemente 260
15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen 261
15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen 263
15.4.3 Fehlerordnung. Ergänzungen* 266
15.5 Schießverfahren 270
15.5.1 Einfachschießverfahren 270
15.5.2 Das numerische Einfachschießverfahren 273
15.5.3 Das Schießverfahren für nichtlineare Randwertaufgaben* . . . 277
15.6 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme . 279
15.6.1 Das Eigenwertproblem 279
15.6.2 Das Differenzenverfahren 281
15.7 Ergänzungen 284
15.7.1 Elementares Beispiel bei Anwendung nichtäquidistanter Gitter 284
15.7.2 Differentialgleichung 4. Ordnung 285
VII Numerische Lösung von partiellen Differentialglei¬
chungen 295
16 Differenzenverfahren 299
16.1 Klassifizierung. Charakteristiken 299
16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen 2. Ordnung 299
Inhaltsverzeichnis XIII
16.1.2 Typeneinteilung 300
16.1.3 Charakteristiken 302
16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangswertprobleme . 304
16.2.1 Normalform und Anfangswertproblem 304
16.2.2 Das Differenzenverfahren 306
16.3 Explizite Differenzenverfahren 310
16.3.1 Problemstellung 310
16.3.2 Ein explizites Einschritt Differenzenverfahren 312
16.3.3 Konvergenz des Verfahrens 314
16.4 Implizite Differenzenverfahren 318
16.4.1 Konstruktion der Verfahren 318
16.4.2 Konvergenz der Verfahren 322
16.4.3 Nichtlineare Probleme 325
16.5 Die Linienmethode 328
16.5.1 Das Prinzip des Verfahrens 328
16.5.2 Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme . 330
16.5.3 Nichtlineare parabolische Differentialgleichungen 331
16.6 Ergänzungen 331
16.6.1 Parabolische Probleme in 2 und 3 Raumvariablen* 331
16.6.2 Differentialgleichungen in der Strömungsmechanik* 335
17 Hyperbolische Systeme 1. Ordnung 343
17.1 Einige Grundlagen der Theorie 343
17.1.1 Klassifizierung 343
17.1.2 Normalform 345
17.1.3 Charakteristiken 346
17.1.4 Das Anfangswertproblem 347
17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der Strömungs¬
mechanik 349
17.2 Charakteristikenverfahren 352
17.2.1 Das Prinzip 352
17.2.2 Der lineare Fall 352
17.2.3 Der allgemeine quasilineare Fall 355
17.3 Differenzenverfahren in Rechteckgittern 358
17.3.1 Das Anfangswertproblem 358
17.3.2 Das Differenzenverfahren 359
17.3.3 Zwei spezielle Verfahren 362
17.3.4 Konvergenz der Differenzenverfahren 364
XIV Inhaltsverzeichnis
18 Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ord¬
nung 371
18.1 Elliptische Randwertprobleme 372
18.1.1 Formulierung der Randwertprobleme 372
18.1.2 Randwertprobleme und Variationsprobleme 373
18.1.3 Allgemeine Variationsprobleme und Randwertprobleme . . . 376
18.2 Differenzenverfahren 378
18.2.1 Das Modellproblem 379
18.2.2 Konvergenz des Differenzenverfahrens 383
18.2.3 Krummlinig berandete Gebiete 384
18.2.4 Variationsprobleme und nichtlineare Randwertaufgaben . . . 390
18.3 Das Ritzsche Verfahren und die Methode der finiten Elemente . 394
18.3.1 Das Ritzsche Verfahren 394
18.3.2 Die einfachste Methode der finiten Elemente 395
18.3.3 Die praktische Aufstellung des FE Gleichungssystems* . . . 400
18.3.4 Ansatzfunktionen höherer Ordnung 406
18.3.5 Isoparametrische Elemente* 408
18.3.6 Die Methode der finiten Elemente bei nichtlinearen Problemen 412
18.3.7 Ergänzungen 415
19 Lösung diskretisierter Randwertprobleme durch iterative Mehrgit¬
terverfahren 421
19.1 Das eindimensionale Modellproblem 422
19.1.1 Das Modellproblem 422
19.1.2 Glättende Iterationen 424
19.1.3 Ein Zweigitterverfahren 425
19.1.4 Mehrgitterverfahren 432
19.2 Randwertprobleme der Poisson Gleichung 433
19.2.1 Glättende Iterationen 434
19.2.2 Restriktion und Prolongation 437
19.2.3 Mehrgitterverfahren 439
19.2.4 Rechenaufwand 441
19.2.5 Schlußbemerkungen 442
20 Hinweise zu weiteren Verfahren für Randwertprobleme und Inte¬
gralgleichungen 445
20.1 Kollokationsverfahren 445
20.2 Die Randelementmethode* 450
20.3 Hinweise zur Lösung von Integralgleichungen* 454
Literaturverzeichnis 459
Sachverzeichnis 465 |
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Inhaltsverzeichnis
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