Spektraltheorie der unendlichen Matrizen: Einführung in den analytischen Apparat der Quantenmechanik
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1929
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Erstes Kapitel.
Algebraische und formale Grundlagen. Seite
§ 1. Methodische Vorbemerkung 1
§ 2. Matrizenpolynome 2
§ 3. Diagonalmatrix. Begleitende Matrix. Unitäre Matrix 4
§ 4. Die Reziproke 5
4? 5. Vektoren §
§ 6. Der Schmidtsche Orthogonalisierungsprozeß 11
§ 7. Die Matrizentransformation 13
§ 8. Das Spektrum 14
§ 9. Die Resolvente und die Hilbertsche Funktionalgleichung 16
§ 10. Die C. Neumannschen Reihen 18
§11. Kanonische Matrizen. Die Schursche Transformation 20
§ 12. Die normalen Matrizen 23
§ 13. Die Resolvente der normalen Matrizen 26
§ 14. Die beiden Normmatrizen. Hermitescher Charakter 28
§ 15. Hermitesche Matrizen 30
§ 16. Hauptachsentransformation 31
§ 17. Hermitesche Komponenten. Die Kopplungsform 32
§ 18. Der Hausdorffsche Satz über die Konvexität des Wertbereiches . . 34
§ 19. Wertbereich und Spektrum. Die ToepHtzsche Polygonregel ... 37
§ 20. Die Bilinearform 39
§ 21. Definite Matrizen. Das Spektrum der beiden Normmatrizen ... 41
§ 22. Unitäre Matrizen. Nichtspektrale Grundgebiete 45
§ 23. Treppenfunktionen 46
§ 24. Die Spektralmatrix 49
§ 25. Fortsetzung. Die Spektralmatrix als Verteilungsmatrix 53
§ 26. Einzelmatrizen und halbunitäre Matrizen 57
§ 27. Durchführung der Jacobischen Transformation 58
§ 28. DieJacobi Toeplitzsche Parameterdarstellung der definiten Matrizen 61
§ 29. Die Hermiteschen Matrizen von einfachem Spektrum und die Fourier
schen Matrizen 63
§ 30. Fortsetzung. Orthogonale Polynome 66
§ 31. Fortsetzung. Jacobische Matrizen 69
§ 32. Fortsetzung. Die Heineschen Formeln 70
§ 33. Fortsetzung. Der assoziierte Kettenbruch und das Momentenproblem 72
X Inhaltsverzeichnis.
Zweites Kapitel.
Analytische Hilfsmittel. Seite
§ 34. Funktionen von beschränkter Schwankung 74
§ 35. Reine Sprungfunktionen. Wesentliche Konvergenz 76
§ 36. Der Hellysche Fortpflanzungssatz 78
§ 37. Das Cantorsche Diagonalprinzip 80
§ 38. Der Hellysche Auswahlsatz und seine funktionentheoretischen
Parallelen 81
§ 39. Der Stieltjessche Integralbegriff 83
§ 40. Fortsetzung. Partielle Integration. Unempfindlichkeit der inneren
Sprungstellen 86
§ 41. Der Hellysche Satz über gliedweise Integration 88
§ 42. Die Resolventenintegrale 91
§ 43. Die Stieltjessche Umkehrformel 93
§ 44. Die Hilbertsche „Residuenformel . . . ¦ 97
§ 45. Funktionentheoretisches über die Resolventenintegrale 98
§ 46. Fortsetzung. Das Verhalten im Unendlichen. Momente und C. Neu
mannsche Reihen 100
§ 47. Der Grommersche Konvergenzsatz 102
§ 48. Oberbereich und Unterbereich. Der Grommer Hamburgersche Fun¬
damentalsatz 104
§ 49. Differential und linearer Operator 106
§ 50. Das Hellingersche Zerlegungsproblem 108
Drittes Kapitel.
Die beschränkten unendlichen Matrizen.
§ 51. Einleitung 121
§ 52. Definitionen 123
§ 53. Der Hilbertsche Konvergenzsatz 125
§ 54. Das Hellinger Toeplitzsche Konvergenzkriterium 128
§ 55. Der erste Hilbertsche Faltungssatz 129
§ 56. Der zweite Hilbertsche Faltungssatz 131
§ 57. Folgerungen. Das Majorantenkriterium der starken Konvergenz . 132
§ 58. Das Reziprokenproblem. Die Iterationsreihe und der Hübsche
Kunstgriff 135
§ 59. Das Reziprokenproblem. Die Toeplitzschen Kriterien und die
Formalsätze 136
§ 60. Das Reziprokenproblem. Die Toeplitzsche Tabelle 138
§ 61. Fortsetzung. Historische Bemerkungen 139
§ 62. Die lösungstheoretische Bedeutung der Reziproken 140
§ 63. Die Resolvente. Existenzsatz 142
§ 64. Die Abschnittsspektra 145
§ 65. Ein Satz über Hermitesche Matrizen 146
§ 66. Über die Lage der matrizentheoretisch singulären Stellen .... 148
§ 67. Die Resolvente in dem pathologischen Falle 150
Viertes Kapitel.
Theorie der Sp ektralmatrix.
§ 68. Unitäre, einseitig unitäre und halbunitäre Matrizen 154
§ 69. Einzelmatrizen 155
I
i Inhaltsverzeichnis. XI
j Seite
§ 70. Orthogonale Einzelmatrizen 156
§ 71. Die Trennung. Hauptsatz über Einzelmatrizen 158
| § 72. Spektrale Einzelmatrizen. Die drei Bestandteile des Spektrums . 160
§ 73. Fortsetzung. Anwendung des Hauptsatzes über Einzelmatrizen . 161
§ 74. Fortsetzung. Unitäre Kovarianz. Invarianz der Spektra .... 163
I § 75. Fortsetzung. Die Vorteile des Getrenntseins 165
§ 76. Fortsetzung. Die Hellingersche Zerlegung 166
S Fünftes Kapitel.
Spektraltheorie der beschränkten Matrizen.
§ 77. Das Auswahlverfahren 169
§ 78. Die Überflüssigkeit des Auswahlverfahrens 171
§ 79. Die Spektralmatrix als spektrale Einzelmatrix 174
§ 80. Das Spektrum. Momentendarstellung der Matrizenpotenzen . . . 177
§ 81. Über die Spektralmatrix der Reziproken u. dgl 179
§ 82. Das Korrespondenzprinzip 181
1 § 83. Funktionale Gruppenmatrizen 184
§ 84. Fortsetzung. Unitäre Äquivalenz der Klassen 186
I § 85. Fortsetzung. Polynomische Klassen 188
i § 86. Fortsetzung. Fouriersche Matrizen 189
§ 87. Fortsetzung. Jacobische Matrizen 190
§ 88. Fortsetzung. Laurentsche Matrizen 192
§ 89. Unitäre Kovarianz der Spektralmatrix ... 193
§ 90. Das Feld der normierten Eigenlösungen 194
§ 91. Hauptachsentransformation des punktspektralen Bestandteiles . . 196
§ 92. Nichtexistenz normierter Lösungen in dem Streckenspektrum . . 197
§ 93. Gewicht und Vielfachheit der Eigenwerte 199
. § 94. Die Hellingersche Hauptachsentheorie des Streckenspektrums . 201
§ 95. Exkurs. Bemerkungen über beliebige beschränkte Matrizen . . 203
§ 96. Das streckenspektrale unitäre Äquivalenzproblem 204
§ 97. Differentiallösungen 205
§ 98. Das trigonometrische Momentenproblem 207
§ 99. Anwendung auf die unitären Matrizen 210
§ 100. Die Resolvente der unitären Matrizen 212
§ 101. Spektraltheorie der unitären Matrizen 215
Sechstes Kapitel.
| Hermitesche nicht beschränkte Matrizen.
I § 102. Matrizen mit einer Lücke in dem Abschnittsspektrum 218
§ 103. Anwendung auf die Hermiteschen Matrizen. Grenzresolvente . . 220
§ 104. Reguläre Matrizen 221
1 § 105. Fortsetzung. Beweis des Carlemanschen Kriteriums 223
| § 106. Statistisch sinnvolle Matrizen. Grenzspektralmatrizen 225
§ 107. Integraldarstellung der Q Matrizen 226
§ 108. Halbbeschränkte Matrizen 229
§ 109. Ein Satz über das Abschnittsspektrum der halbbeschrankten Ma¬
trizen 231
§ 110. Die Wasserstoff ähnlichen Spektra 233
§111. Der Toeplitzsche Satz über definite Matrizen 234
XII Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 112. Das Seidel M. Sternsche Kriterium bei speziellen Jacobischen
Matrizen. Über die Koordinatenmatrix des linearen Oszillators . 236
§ 113. Beliebige Jacobische Matrizen 237
§ 114. Das Hamburgersche Momentenproblem 238
§ 115. Fortsetzung. Bestimmte Momentenprobleme 240
§ 116. Die Carlemansche „Feldtheorie . Statistische Stabilität .... 242
§ 117. Feldresolvente und Feldspektralmatrix 243
§ 118. Stabilität der regulären Matrizen 245
§ 119. „Statistische Hauptachsentransformation 247
§ 120. Über die Stabilität des reduzierten Spektrums 249
Anhang.
Skizze einer Spektraltheorie der fastperiodischen Funktionen 251
Anmerkungen und Literatur.
Endliche Matrizen 273
Stieltjessche Integrationstheorie u. dgl 275
Unendliche Matrizen 277
Radonsche Integrale und normale Spektraltheorie 279
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