Aussagenlogik, Mengen, Relationen:
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| Published: |
Freiburg [u.a.]
Herder
1973
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| Edition: | 2. Aufl. |
| Series: | Studienbücher Mathematik.
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| Physical Description: | 191 S. Ill., graph. Darst. |
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Vorwort 10
I Zur Einfiihrung 11
1 Aussagen 11
2 Prädikative Aussageformen 13
2.1 Subjekte und Prädikate 13
2.2 Prädikative Aussageformen und Quantoren 14
2.3 Einstellige Prädikate und Mengen 15
2.4 Zweistellige Prädikate und Relationen 15
2.5 Dreistellige Prädikate und zweistellige Verknüpfungen . . 16
// Aussagenlogik 17
1 Zur Aussagenlogik führende Abstraktionen 17
2 Aussagenlogische Verknüpfungen 20
2.1 Die Negation 20
2.2 Die Konjunktion (Und-Verknüpfung) 21
2.3 Die Disjunktion (Oder-Verknüpfung) 23
2.4 Die Alternative (Entweder — oder-Verknüpfung) .... 24
2.5 Die Subjunktion (Wenn — dann-Verknüpfung) 25
2.6 Die Bijunktion 29
2.7 Überblick über die Wahrheitswertefunktionen mit zwei
Variablen 30
2.8 Aussagenlogische Verknüpfungen mit mehr als zwei
Variablen 31
2.8.1 Anzahl der möglichen Belegungen 31
2.8.2 Anzahl der Wahrheitswertfunktionen von n Variablen . . 33
5
3 Gesetze der Aussagenlogik 35
3.1 Aussagenlogische Aussageformen mit mehreren Junktoren 35
3.1.1 Bildung von aussagenlogischen Aussageformen. Ver¬
wendung von Klammern 35
3.1.2 Aufstellung von Wahrheitswertetafeln 36
3.2 Tautologien, Kontradiktionen und teilgültige Aussage¬
formen 37
3.3 Logisch wahre und faktisch wahre Aussagen 39
3.4 Logische Implikation und logische Äquivalenz 41
3.5 Zusammenfassung aussagenlogischer Gesetze 44
3.5.1 Gesetze, in welchen nur die Junktoren a , v, ~i auftreten 45
3.5.2 Gesetze, welche die Junktoren x,-*,« auf die Junktoren
a , v, —i zurückführen 48
3.5.3 Aussagenlogische Gesetze über die Subjunktion 50
3.5.4 Aussagenlogische Gesetze über die Bijunktion 52
3.6 Hinweise zum axiomatischen Aufbau der Aussagenlogik . 53
3.7 Schlußregeln der Aussagenlogik 54
3.7.1 Zum Begriff der logischen Folgerung 54
3.7.2 Der Begriff der gültigen Schlußregel 56
3.7.3 Häufig verwendete Schlußregeln 57
3.7.4 Überprüfung von Schlußregeln auf ihre Gültigkeit. ... 58
3.7.5 Schlußregeln bei direkten und indirekten Beweisverfahren. 60
III Quantoren 64
1 Bildung von Aussagen mit Hilfe von Quantoren 64
2 Freie und gebundene Variablen 65
3 Negation von All- und Existenzaussagen 67
4 Hinweis auf die Quantorenlogik 70
IV Mengen 72
1 Der Begriff der Menge 72
1.1 Einführende Beispiele 72
1.2 Die Elementbeziehung 73
1.3 Der Mengenbildungsoperator 73
6
1.4 Zur Problematik des Mengenbegriffs 74
1.5 Prädikative Aussageformen und Grundmengen 77
1.6 Darstellungen von Mengen, Gleichheitszeichen bei Zeichen
für Mengen 78
2 Beziehungen zwischen Mengen 82
2.1 Die Teilmengenbeziehung 82
2.1.1 Definition der Teilmengenbeziehung 82
2.1.2 Inhaltliche Implikation zwischen prädikativen Aussage¬
formen 83
2.1.3 Bemerkungen zum Begriff der inhaltlichen Implikation . . 86
2.2 Die Gleichheitsbeziehung zwischen Mengen 87
2.2.1 Definition der Gleichheitsbeziehung 87
2.2.2 Die inhaltliche Äquivalenz zwischen prädikativen Aussage¬
formen 88
2.3 Die Potenzmenge 89
3 Verknüpfungen von Mengen 90
4 Gesetze der Mengenalgebra 99
4.1 Gesetze, in denen n, u und ~ auftreten 99
4.1.1 Zusammenstellung dieser Gesetze 99
4.1.2 Veranschaulichung einiger Gesetze durch Venndiagramme
oder Karnaughdiagramme 100
4.1.3 Erläuterungen zu diesen Gesetzen der Mengenalgebra . . 101
4.2 Gesetze, welche die Operationen A und und die Teil¬
mengenbeziehung S auf die Operationen u, n, ~ zurück¬
führen 102
4.3 Eigenschaften der Teilmengenbeziehung 103
4.4 Beweise für die Gesetze der Mengenalgebra 103
4.4.1 Beweis der Gesetze der Mengenalgebra mit Hilfe der Gesetze
der Aussagenlogik 104
4.4.2 Beweis der Gesetze der Mengenalgebra mit Zugehörig¬
keitstafeln 105
5 Bemerkungen zu einem axiomatischen Aufbau der Mengen¬
algebra 108
V Zweistellige Relationen 114
1 Geordnete Paare, Cartesisches Produkt von Mengen ... 114
7
2 Grundlegende Definitionen 120
3 Darstellungen von Relationen 124
4 Operationen mit Relationen 127
4.1 Das Komplement einer Relation 128
4.2 Die Umkehrrelation einer Relation 130
4.3 Verkettung von Relationen 132
5 Eigenschaften von Relationen zwischen Mengen 135
5.1 Sonderfälle hinsichtlich des Vor-und Nachbereiches . . . 135
5.2 Sonderfälle hinsichtlich der Eindeutigkeit 136
5.3 Abbildungen (Funktionen, Operatoren) 138
5.4 Eigenschaften von Abbildungen (Funktionen) 141
6 Eigenschaften von Relationen in einer Menge 145
6.1 Eigenschaften hinsichtlich der Reflexivität 146
6.2 Eigenschaften hinsichtlich der Symmetrie 147
6.3 Transitivität einer Relation 150
6.4 Linearität einer Relation 150
7 Äquivalenzrelationen 152
7.1 Hinführende Beispiele 152
7.2 Äquivalenzrelationen 152
7.3 Äquivalenzklassen 155
8 Ordnungsrelationen 157
8.1 Hassediagramme 158
8.2 Strenge Ordnungen 160
8.3 Lineare Ordnungen 160
8.4 Antisymmetrische Ordnungen 161
8.5 Zusammenfassung zu Abschnitt 8 162
VI Zweistellige Verknüpfungen als dreistellige Relationen .... 164
1 Cartesische Produkte und n-stellige Relationen 164
2 Zweistellige Verknüpfungen 168
8
3 Verknüpfimgsgebilde 170
3.1 Halbgruppe, Gruppe 170
3.2 Boolesche Algebra 172
Lösungen der Übungsaufgaben 175
Literaturhinweise 186
Sachverzeichnis 188
9
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