Strukturen der Mathematik im Rechenunterricht: eine moderne Didaktik und Methodik
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Vorwort 13
Zusammenschau 16
Erster Teil: Didaktik
I. Didaktische Inhalte der Mathematik 19
§ 1 Der Halbring der natürlichen Zahlen 23
A. Die Addition 24 — B. Die Multiplikation 30 — C. Das distributive Ge¬
setz 37 — D. Der Begriff Halbring 39 — E. Inverse Verknüpfungsweisen:
Subtraktion und Division 42
§ 2 Der Halbkörper der positiven rationalen Zahlen 46
A. Die gewöhnlichen Brüche 46 — B. Die Dezimalbrüche 65
§ 3 Algebraische Irrationalzahlen (Quadratwurzeln) 69
§ 4 Transzendente Irrationalzahlen 72
§ 5 Zusammenfassung über die Erweiterungen des Zahlbegriffes
in der Grund und Hauptschule 73
§ 6 Der Zahlbegriff in der Mengenlehre 73
A. Der Begriff Menge 75 — B. Abbildungen von Mengen 76 — C. Abzähl
barkeit 80 — D. Ein Beispiel für eine nicht abzählbare Menge 88 — E. Die
Mengenlehre im Rechenunterricht 93: I. Der Zahlbegriff der Mengen¬
lehre 93 — 11. Die additiven Verknüpfungen 100—III. Das Produkt 105 —
IV. Enthaltensein und Teilen 114—V. Ordnungen 117 —VI. Brüche 127
§ 7 Die Peanoschen Axiome der natürlichen Zahlen 139
§ 8 Das Sachrechnen als Struktur (Vektorräume) 147
§ 9 Sog. Bürgerliches Rechnen als Abbildung von Strukturen . . 153
A. Der Dreisatz 154 — B. Der zusammengesetzte und der umgekehrte Drei¬
satz 157 — C. Andere Abbildungen 160
§ 10 Sachrechnen und abstraktes Rechnen 161
§ 11 Gleichungen in Strukturen 162
A. Aussagen, Aussageformen 162 — B. Gleichungen und Ungleichun¬
gen 164 — C. Lösen von Bedingungsgleichungen 166 — D. Lösen von
Ungleichungen 174
6 Inhaltsverzeichnis
§ 12 Geschichte der Ziffernschrift 178
A. Die Babylonier 178 — B. Die Ägypter 180 — C. Die Griechen 182 —
D. Die Römer 183 — E. Die Inder und die Araber 183 — F. Das Abend¬
land 184 — G. Die Dezimalbruchtechnung 185
§ 13;: Aufgaben 185
II. Mathematik und Philosophie 188
§ 14 Ältere philosophische Auffassungsweisen der Zahl 188
§ 15 Moderne mathematische Grundlagen von Mathematik und
Philosophie 191
A. Nicht Aristotelische Logik 193 — B. Terme und Relationen 194 —
C. Inhalte einer mathematisch fundierten Logik 199
§16 |Zur Problematik der Widerspruchsfreiheit von Logik und
Mathematik 201
A. Semantische Paradoxien 203 — B. Syntaktische Paradoxien 204 —
C. Vermeidung von Widersprüchen durch Metawissenschaft 205
III. Die Entwicklung des mathematischen Denkens beim Kind .... 207
§ 17 Betrachtung von Mengen 208
A. Mengen 208 — B. Elemente von Mengen und Klassenbildung 213
§ 18 Zur Entstehung der ersten Zahlbegriffe 215
§19 Zur Entstehung von Elementen eines Unken Vektorhalbraumes 223
§20 Die Reihe der natürlichen Zahlen 224
§ 21 Zur Psychologie der Halbringstruktur auf der Menge der
natürlichen Zahlen 232
A. Kind und algebraische Struktur 232 — B. Fortschreitende Verknüpfun¬
gen 238 — C. Analysierende Verknüpfungen 245
§ 22 Zur Psychologie der Struktur des linken Vektorhalbraumes 247
§ 23 Das psychologische Verhalten gegenüber Aufgaben des sog.
bürgerlichen Rechnens 256
§ 24 Rechentests 261
A. Reihentests 261 —B. Das Verständnis für Klasseneinteilungen 265 —
C. Das Maßverständnis 266 — D. Rechenleistungstests 267 — E. Sach¬
rechentests 268
§25 Rechenfehler 270
§26 Rechenschwächen 275
Inhaltsverzeichnis 7
IV. Pädagogische Inhalte des Rechenunterrichtes 279
§ 27 Die didaktische Provokation 279
§ 28 Erziehung zu freier geistiger Beweglichkeit 283
§ 29 Die Intensivierung von Grundphänomenen der Arbeit . . . 289
§30 Rechenlehrmittel 293
A. Arbeitsmittel 293 — B. Anschauungsmittel 312 — C. Übungsmittel 321
Zweiter Teil: Methodik
V. Mengen im Erstrechenunterricht 325
§ 31 Kardinalzahlfreie Mengenbetrachtungen I 326
Erste Stufe der Mengenbehandlung: Mengen und Vergleiche Zwischen
ihnen 326 —A. Einzelne Mengen 327—B. Bijektionen zwischen Mengen 327
Zweite Stufe der Mengenbehandlung: Teilmengen 334
Dritte Stufe der Mengenbehandlung: Vereinigungsmengen und Rest¬
mengen 340
§ 32 Einführung von Kardinalzahlen 343
Vierte Stufe der Mengenbehandlung: Die Kardinalzahlen bis 10 343 —
A. Einzelbetrachtung 343 — B. Ziffernschrif1364 — C. Zahlvergleich 365
— D. Nachfolger 366 — E. Zählen 370 — F. Null 370
§ 33 Erste Verknüpfungen in der Menge der natürlichen Zahlen 372
Fünfte Stufe der Mengenbehandlung: Additive Verknüpfungen 372 —
A. Zerlegen 372 — B. Addition 378 — C. Ergänzen 380 — D. Subtrak¬
tion 382 — E. Bemerkung zu den natürlichen Zahlen über 100 383
§ 34 Kardinalzahlfreie Mengenbetrachtungen II 383
Sechste Stufe der Mengenbehandlung: Verbindungsmengen 383 —
A. Konstruktion einiger Elemente der Verbindungsmenge 384 — B. Kon¬
struktion aller Elemente der Verbindungsmenge 385 — C. Die Kardinal¬
zahl von Verbindungsmengen 391
§ 35 Multiplikative Verknüpfungen 394
Siebte Stufe der Mengenbehandlung: Das Zahladverb 394
Achte Stufe der Mengenbehandlung: Die Verwendung des Zahladverbs
bei Klasseneinteilungen von Verbindungsmengen 396 — A. Die Verbin¬
dungsmenge und das Zahladverb (Produkt) 396 — B. Die Verbindungs¬
menge und gewisse ihrer Klassen gleicher Kardinalzahl 399 — C. Andere
Modelle 402
§36 Geordnete Mengen 405
Neunte Stufe der Mengenbehandlung: Ordnungen 405 — A. Ordnungs¬
relationen 405 — B. Ordinalzahlen 411
8 Inhaltsverzeichnis
VI. Verknüpfungen in Mengen 415
§ 37a Additive Verknüpfungen im Halbring der natürlichen Zahlen 415
§ 37b Additive Verknüpfungen in einem linken Vektorhalbraum 421
§ 38 Multiplikative Verknüpfungen im Halbring der natürlichen
Zahlen 422
A. Einmaleinsreihen 423 — B. Das kommutative Gesetz 429 — C. Klassen
gegebener Kardinalzahl der Teilmengen Enthaltensein, Faktorenzerle¬
gung 432 — D. Klassen gegebener Anzahl der Teilmengen Division 435
— E. Das assoziative Gesetz der Multiplikation 437
§ 39 Das distributive Gesetz 444
A. Das 2. Distributivgesetz der Vektorräume 444 — B. Das 1. Distributiv¬
gesetz der Vektorräume 447 — C. Distributivität der Division 447
§ 40 Die schriftliche Addition natürlicher Zahlen 449
§ 41 Die schriftliche Subtraktion natürlicher Zahlen 456
A. Getrennte Darstellung von Subtrahend und Differenz 459 — B. Die
Verwandlung des Subtrahenden in den Minuenden 471 — C. Die Methode
des Schenkens 476
§ 42 Die schriftliche Multiplikation natürlicher Zahlen 479
§ 43 Die schriftliche Division natürlicher Zahlen 490
A. Einstelliger Divisor 491 — B. Mehrstelliger Divisor 497
§ 44a Das Multiplicativum 502
§ 44b Das Disttibutivum 505
VH. Bruchrechnung 506
§ 45 Brüche als Operatoren und Elemente in Vektorräumen . . . 506
A. Die Hälfte 506 — B. Andere Brüche 509 — C. Die Begriffe Zähler und
Nenner 512 — D. Der Vergleich von Brüchen 513 — E. Ordnungsiso
morphie zwischen einer Menge von Stammbrüchen und der Menge der
zugehörigen Nenner 517 — F. Das Erweitern 522 — G. Das Kürzen 525
§ 46 Betrachtungen aus der additiven Gruppe der Brüche mit ganz¬
zahligem Zähler und Nenner 528
A. Addition gleichnamiger Brüche 529 — B. Addition ungleichnamiger
Brüche 529 — C. Das assoziative Gesetz der Addition 530 — D. Die natür¬
liche Zahl als Multiplikator eines Bruches mit positiv ganzzahligem Zähler
und Nenner 531
§ 47 Zur Dezimalbruchrechnung 532
A. Der Begriff Dezimalbruch 532 — B. Der Dezimalbruch in der additiven
Gruppe der rationalen Zahlen 539 — C. Näherungswerte von Dezimalbrü¬
chen 541 — D. Der Zusammenhang zwischen Brüchen und Dezimalbrüchen
542
§ 48 Bruch als Multiplikator einer natürlichen Zahl 543
A. Die Gewinnung des Verfahrens 544 — B. Vertiefung der besinnlichen
Haltung 546 — C. Die Methode der Aufgabenfolgen 548 — D. „Mal und
„von 552 — E. Die Rechtecksmethode 556
Inhaltsverzeichnis 9
§49 Bruch mal Bruch 560
A. Die Gewinnung des Verfahrens 560 — B. Vertiefung der besinnlichen
Haltung 570 — C. Die Methode der Auf gabenf olgen 572 —D. „Mal und
„von 573 — E. Die Methode des Erweiterns 574
§ 50 Die Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch 576
A. Gewinnung und Durchführung des Verfahrens 576 — B. Die Ver¬
tiefung des Verfahrens 595 — C. Die Methode des Enthaltenseins 595 —
D. Die Methode der Aufgabenfolgen 597 — E. Die Methode des einmaligen
Erweiterns 599 — F. Die Methode des zweimaligen Erweiterns 599
VIII. Abbildungen 601
§ 51 Zur Einführung in die Dreisatzrechnung 601
A. Homomorphe Abbildungen in der Grundschule 601 — B. Homomorphe
Abbildungen in der Hauptschule 603
§ 52 Ein Beispiel zur Einführung in die Prozentrechnung . . . .616
A. Vorbereitung 617 — B. Berechnung der Hundertstel 618 ¦— C. Die
Begriffe „v. H. und „Prozent 625
§53 Wurzelziehen 629
Definition der Quadratwurzel 630 — A. Die Quadratwurzel aus einer Qua¬
dratzahl 632 — B. Methode des Abschätzens 632 — C. Die Intervall
schachtelung 633 — D. Faktorzerlegungsmethoden 634 — E. Quadrat
und Wurzeltabellen 635 •— F. Wurzelziehen mit dem Rechenschieber 637
— G. Graphische Darstellung der Wurzeltabelle 637 — H. Zeich¬
nerische Verfahren 638 — J. Das Heronsche Mittelwertverfahren 639 —
K. Das Divisionsverfahren 640 — L. Weitere Verfahren 642
IX. Gleichungen 644
§ 54 Die Einführung des Platzhalterbegriffs 644
§ 55 Die Erarbeitung des Gleichungsbegriffs 647
A. Gleichheitsaussagen 647 •— B. Aussageformen der Gleichheit und Un¬
gleichheit 649
§ 56 Das Rechnen mit Platzhaltern 651
A. Prinzipien der Methode 651 — B. Die arithmetischen Grundgesetze im
Körper 653 — C. Quadratische Formen 655
§ 57 Das Verständnis der teilgültigen Gleichungen und Un¬
gleichungen 657
§ 58 Lösungsmethoden für Gleichungen 660
A. Die Entwicklung von Gleichungsfolgen 660 — B. Modelle für Äqui¬
valenzurnformungen 662
§ 59 Die Behandlung linearer Gleichungen 666
A. Voraussetzungen 666 — B. Additive Äquivalenzumformungcn 667 —
C. Multiplikative Äquivalenzumformungen 671 — D. Definitionsbereich
und Lösungsmenge 673
10 Inhaltsverzeichnis
§ 60 Die Behandlung von Bruchgleichungen und quadratischen
Gleichungen 674
A. Bruchgleichungen 674 — B. Quadratische Gleichungen 675
§ 61 Einige Bemerkungen zur Behandlung von Ungleichungen . . 677
A. Voraussetzungen 677 — B. Veranschaulichungsmöglichkeiten der
Äquivalenzumformungen 679
X. Anhang: Zahlenspiele und Zahlenkunststücke 684
XL Literaturverzeichnis 692
XII. Verfasserverzeichnis 702
XIII. Sachverzeichnis 706
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| spelling | Fettweis, Ewald 1881-1967 Verfasser (DE-588)116475684 aut Strukturen der Mathematik im Rechenunterricht eine moderne Didaktik und Methodik Ewald Fettweis. Modernisierte Neubearb. von Heinz Schlechtweg ... 5., vollst. neubearb. Aufl. Paderborn Schöningh 1972 714 S. graph. Darst. txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Mathematik Mathematics Study and teaching Mathematikunterricht (DE-588)4037949-8 gnd rswk-swf Mathematikunterricht (DE-588)4037949-8 s DE-604 Schlechtweg, Heinz 1905-1990 Verfasser (DE-588)140501142 aut 1. - 4. Aufl. u.d.T. Fettweis, Ewald Didaktik und Methodik des Rechenunterichts HBZ Datenaustausch application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=002275960&sequence=000002&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis |
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