Geometrie euklidischer Ebenen: mathematische Grundlegung der Schulgeometrie
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Paderborn
Schöningh
1985
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Titel: Geometrie euklidischer Ebenen
Autor: Schröder, Eberhard M
Jahr: 1985
TEIL I
NORMALE EUKLIDISCHE EBENEN
§ 1 Historische und methodische Vorbemerkungen
A. EUKLID und das Parallelenaxiom 11
B. Entdeckung der hyperbolischen Geometrie 11
C. PASCH und HUBERT 12
D. Neuere Entwicklungen 13
E. Aufgaben 14
§ 2 Definition normaler euklidischer Ebenen
A. VorÃŒberlegungen in der Anschauungsebene 15
B. Affine Ebenen und ParallelitÀt / 16
C. Parallelogrammaxiom und Kreisschnittaxiom 17
D. Definition normaler euklidischer Ebenen . 18
E. Einige didaktische und methodische Bemerkungen 20
F. Aufgaben 21
§ 3 Punktspiegelungen und Translationen
A. Folgerungen aus dem Parallelenaxiom 22
B. Kollineationen und Bewegungen 23
C. Existenz und Eigenschaften der Punktspiegelungen 24
D. Translationen 26
E. Aufgaben 30
§ 4 OrthogonalitÀt
A. Definition und Grundeigenschaften - 31
B. Mittelsenkrechten und Höhen im Dreieck 32
C. Elementare Konstruktionen " 34
D. Der Satz des THALES 35
E. Geraden und Kreise 36
F. Klassifizierung von Dreiecken und Vierecken 38
G. Aufgaben 39
§ 5 Spiegelungen und Bewegungen. '.
A. Existenz und TransitivitÀt der Spiegelungen 40
B. Translationen, Drehungen und Spiegelungen 4 2
C. Der Dreispiegelungssatz 43
D. Darstellung von Bewegungen durch Spiegelungen 44
E. Involutorische Bewegungen 45
F. Gleitspiegelungen 46
G. TransitivitÀt von Bewegungen 47
H. Kongruenz 48
I. Symmetrie • 49
J. Winkelhalbierende 51
K. Aufgaben 53
§ 6 Winkel zwischen Geraden
A. Definitionen 55
B. Gleichsinnige Kongruenz 56
C. KonformitÀt 57
D. Grundeigenschaften 60
E. Winkel und Kreise 62
F. Aufgaben 64
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TEIL II
EUKLIDISCHE EBENEN
§ 7 Definition euklidischer Ebenen
A. Motivation 67
B. Definition 68
C. Isomorphie 69
§ 8 Anwendungen des Peripheriewinkelsatzes
A. Eine Grundeigenschaft der Kreise 70
B. Der Tangentenwinkelsatz 71
C. SÀtze Ìber Kreisvierseite 72
D. SÀtze von PAPPUS und PASCAL 76
E. SÀtze von MIQUEL und CLIFFORD 79
F. IsopolsÀtze 80
G. Aufgaben 83
§ 9 Algebraische Darstellung euklidischer Ebenen
A. Existenz gleichsinniger Ähnlichkeiten 84
B. TransitivitÀt gleichsinniger Ähnlichkeiten 86
C. Gewinnung einer quadratischen Körpererweiterung 88
D. Algebraische Darstellung von Kreisen und Ähnlichkeiten 91
E. Der Hauptsatz 92
F. Der Isomorphiesatz 94
G. Konstruktion von Modellen 96
H. Aufgaben 99
§ 10 TeilverhÀltnisse
A. Charakteristik eines Körpers 101
B. Definition und Grundeigenschaften von TeilverhÀltnissen 102
C. StrahlensÀtze 103
D. SÀtze von MENELAOS, CEVA und BRIANCHON 105
E. Seitenhalbierende im Dreieck 107
F. Harmonische Quadrupel 108
G. EULER-GeraÀe und FEUERBACH-Kreis 109
H. Aufgaben 112
§ 11 Ähnlichkeit, Kongruenz und Metrik
A. Kongruenz 114
B. Gegensinnige Ähnlichkeiten 115
C. Algebraische Beschreibung von Kongruenz und Metrik 118
D. Kennzeichnung normaler euklidischer Ebenen 121
E. Kennzeichnung und Darstellung der Bewegungen 122
F. Ähnlichkeits- und KongruenzsÀtze 125
G. Winkelmessung 127
H. SÀtze von PYTHAGORAS und EUKLID 130
I. Sekantensatz und BÌschelsÀtze 130
J. Die BerÃŒhreigenschaft des FEUERBACH-Kreises 134
K. Ein Satz von MORLEY 136
L. Aufgaben . 139
TEIL III
KLASSISCHE EUKLIDISCHE EBENEN
§ 12 Grundlegende Eigenschaften klassischer euklidischer Ebenen
A. Definition 143
B. Euklidische Körper 145
C. Darstellung klassischer euklidischer Ebenen 147
D. Abstandsmessung 150
E. Strecken, Strahlen und Speere 152
F. Ebene Anordnungseigenschaften 155
G. Archimedische euklidische Ebenen 157
H. VollstÀndige euklidische Ebenen 160
I. Aufgaben 162
§ 13 Winkel in klassischen euklidischen Ebenen
A. Vier Winkeltypen 164
B. Geordnete Winkel zwischen Strahlen 165
C. Trigonometrische Funktionen 169
D. Nichtgeordnete Winkel zwischen Strahlen 170
E. Eine AdditivitÀtseigenschaft fÌr Winkel vom Typ 1 172
F. Die Winkelsumme im Dreieck 175
G. Cosinussatz und Sinussatz 176
H. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren 177
I. Der Peripheriewinkelsatz fÃŒr verschiedene Winkeltypen 178
J. Reelle Trigonometrie 182
K. Aufgaben 183
§ 14 FlÀchenmessung in klassischen euklidischen Ebenen y
A. Einfache Vielecke 186
B. Inneres und Äußeres eines m-Flachs , 187
C. Ordnung eines Punktes bezÃŒglich eines Vielecks 189
D. Inneres und Äußeres eines einfachen Vielecks 190
E. Der Sehnenexistenzsatz 191
F. Der 1. Zerlegungssatz 192
G. Triangulierungen und 2. Zerlegungssatz 194
H. FlÀchenfunktionen 197
I. Formeln fÌr die FlÀche eines Dreiecks 198
J. Das Determinantenmaß eines Dreiecks 199
K. Das allgemeine Determinantenmaß • 200
L. Der Hauptsatz 201
M. Verhalten des FlÀchenmaßes bei affin-linearen Bijektionen 20 3
N. Monotonie der FlÀchenfunktionen 205
0. Aufgaben "206
TEIL IV NORMALE EUKLIDISCHE RÄUME
§ 15 Grundlagen der rÀumlichen Geometrie
A. Ein Axiomensystem fÃŒr den Anschauungsraum 209
B. Grundlegende inzidenzgeometrische Eigenschaften 211
C. Dilatationen 215
D. Grundlegende Eigenschaften normaler euklidischer RÀume 217
E. Vektorielle Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen 220
F. Algebraische Darstellung der Kongruenzrelation 223
G. Modelle normaler euklidischer RÀume 228
H. Algebraische Darstellung klassischer euklidischer RÀume 231
I. Algebraische Darstellung vollstÀndiger euklidischer RÀume 236
J. Aufgaben 2 38
LÖSUNGSHINWEISE ZU DEN AUFGABEN 241
Literaturverzeichnis 263
Personen- und Sachregister 265
Symbolregister 268
Symbole aus Logik und Mengenlehre 269 |
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