Formes quadratiques et groupes classiques:
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Paris
Presses Universitaires de France
1981
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SOMMAIRE
Introduction 11
Chapitre Premier / Algèbre linéaire et multilinéaire (rappels et
compléments) 13
1.1 / Espaces vectoriels et applications linéaires. Normes
(corps non nécessairement commutatif). Diffé¬
rentielle 14
1.2 /Le crochet de dualité et la transposition des appli¬
cations linéaires (corps commutatif) 28
1.3 / Représentation des applications linéaires à l'aide
de produits tensoriels. Trace 31
1.4 / Mesure des volumes (algébriques) dans un espace
vectoriel. Déterminants 34
1.5 / Analyse d'un opérateur linéaire 39
1.6 / Projecteurs. Involutions et symétries 50
1.7 / Algorithme et décomposition de Gauss 52
1.8 / Exponentiation des opérateurs linéaires et des
matrices sur le corps réel ou sur le corps complexe 59
1.9 / Algèbre de Lie d'un sous groupe d'un groupe
linéaire réel 70
1.10 / Les groupes de matrices orthogonales et unitaires
et leurs algèbres de Lie 75
1.11/ /( formes et / vecteurs 79
Chapitre II / Formes bilinéaires sur un couple d'espaces vectoriels (§ 1
à 5). Formes bilinéaires sur un espace vectoriel (§ 6 à 9) 88
II. 1 / Formes bilinéaires sur un couple d'espaces vec¬
toriels. Applications associées 88
11.2 / Expressions et matrices d'une forme bilinéaire. 91
11.3 / Relation d'orthogonalité dans le cas d'une forme
bilinéaire non dégénérée sur E X F 95
6 Formes quadratiques et groupes classiques
II. 4 / Adjoint (cas général) 96
II. 5 / Formes bilinéaires sur des espaces vectoriels normes 97
II.6 / Formes bilinéaires sur un espace vectoriel, pro¬
priétés générales 98
II. 7 / Forme bilinéaire non dégénérée sur un espace vec¬
toriel : forme bilinéaire inverse, adjoints à gauche
et à droite d'un opérateur linéaire 100
11.8 /Formes bilinéaires et formes quadratiques 101
11.9 / Complément : extension d'une forme bilinéaire
aux /( vecteurs (puissance extérieure p ième d'une
forme bilinéaire) 105
Chapitre III / Formes bilinéaires symétriques et antisymétriques sur
un espace vectoriel : la relation d'orthogonalité et ses conséquences 108
111.1 /La relation d'orthogonalité et les sous espaces.
Radical 109
111.2 / Décompositions hyperboliques. Sous espaces tota¬
lement singuliers 113
111.3 / Réduction des formes bilinéaires symétriques et
des formes bilinéaires antisymétriques 118
111.4 / Adjoint d'un opérateur linéaire relativement à
une forme bilinéaire, symétrique ou antisymé¬
trique, non dégénérée 121
II 1.5 / Projecteurs symétriques et involutions orthogo¬
nales dans (E, b), b non dégénérée 124
Chapitre IV / Formes et espaces quadratiques 128
IV. 1 / Définitions. Orthogonalisation de Schmidt. Trans¬
formation de Jacobi 128
IV.2 / Formes quadratiques équivalentes. Discriminant 135
IV.3 / Espaces quadratiques de dimension un 137
IV.4 / Plans hyperboliques 138
IV.5 / Espaces hyperboliques 140
IV. 6 / Sous espaces isotropes et hyperboliques d'un espace
quadratique régulier. Décomposition de Witt. 141
IV. 7 / Symétries orthogonales 142
IV.8 / Le théorème de Witt 148
IV.9 / Génération du groupe orthogonal d'un espace
quadratique régulier par les symétries orthogo¬
nales : théorème d'E. Cartan 152
IV. 10 / Composantes covariantes et contravariantes d'un
vecteur dans un espace quadratique régulier. 156
Sommaire 7
Chapitre V / Formes bilinéaires symétriques et quadratiques sur un
corps ordonné, et en particulier sur R. Espaces euclidiens et pseudo¬
euclidiens. Groupes O(n) et O(p, m) 164
V. 1 / Formes quadratiques positives et négatives lorsque
le corps est ordonné 165
V.2 / Matrices symétriques positives sur un corps ordonné 170
V. 3 / Sous espaces positifs et négatifs. Loi d'inertie. 172
V.4 / Espaces euclidiens. Volume euclidien. Opérateurs
symétriques et antisymétriques 175
V.5 / Espaces pseudoeuclidiens. Orientation complète.
Groupes O(/ , m) 184
V.6 / Diagonalisation simultanée de deux formes qua¬
dratiques. Formes quadratiques sur un espace
euclidien 191
V. 7 / Quadriques à centre dans un espace euclidien.
Théorèmes d'Apollonius 196
V.8 / Propriétés extrémales des formes quadratiques
réelles 198
V.9 / Application des symétries orthogonales à l'inver¬
sion des matrices réelles 201
V. 10 / Le théorème de Fisher Cochran 203
V. 11 / Formes quadratiques entières 205
Chapitre VI / Relations entre espaces vectoriels réels et complexes.
Formes sesquilinéaires et hermitiennes 209
VI. 1 / Relations entre les structures d'espace vectoriel
réel et complexe d'un espace vectoriel complexe 210
VI.2 / Complexifié d'un espace vectoriel réel 215
VI.3 / Complexifiées d'une application linéaire et d'une
forme bilinéaire. Complexifié d'un espace vectoriel
complexe 217
VI. 4 / Formes sesquilinéaires et hermitiennes 220
VI. 5 / Formes sur un complexifié 224
VI. 6 / Rang d'une forme sesquilinéaire 226
VI. 7 / Formes semiquadratiques 227
VI.8 / Diagonalisation des formes hermitiennes. Loi
d'inertie 229
Chapitre VII / Espaces hermitiens et pseudohermitiens. Groupes uni¬
taires et pseudounitaires 235
VII. 1 / Définition des espaces hermitiens et pseudohermi¬
tiens, des groupes unitaires et pseudounitaires.
Adjonctions 236
8 Formes quadratiques et groupes classiques
VII.2 / Espaces hermitiens et pseudohermitiens : involu
tions orthogonales, projecteurs symétriques, symé¬
tries orthogonales 245
VII.3 / Espaces hermitiens. Normes. Volume hermitien. 247
VII.4 / Opérateurs hermitiens, antihermitiens et opéra¬
teurs normaux sur un espace hermitien 254
VII.5 / Adjonction dans le complexifié d'un espace eucli¬
dien ou pseudoeuclidien. Réduction des opéra¬
teurs normaux d'un espace euclidien 258
VI 1.6 / Opérateurs hermitiens positifs dans un espace
hermitien et symétriques positifs dans un espace
euclidien 264
VI 1.7 / Décomposition polaire des opérateurs linéaires
dans un espace hermitien 270
VII. 8 / Groupes unitaires et pseudounitaires 278
VII. 9 / Application adjointe et pseudoinverse (de Moore
Penrose) d'une application linéaire d'un espace
hermitien dans un autre et d'une matrice complexe
quelconque 280
Chapitre VIII / Algèbres de Clifford 285
VIII. 1 / Applications de Clifford 287
VIII.2 / Algèbre de Clifford d'un espace quadratique 289
VIII.3 / Algèbres de Clifford des espaces quadratiques de
dimension un 297
VIII. 4 / Algèbres de quaternions : théorèmes de structure 298
VIII. 5 / Algèbres de composition, algèbres quadratiques et
algèbres cayleyennes 305
VIII. 6 / Quaternions d'Hamilton et quaternions complexes 308
VIII.7 / Algèbre de Clifford de l'espace euclidien à trois
dimensions. Matrices de Pauli 313
VIII.8 /Détermination du centre de l'algèbre de Clif¬
ford C(E, q) d'un espace quadratique régulier.
Conséquences pour la structure de C(E, q). Anti¬
centre 316
VIII.9 / Algèbres de Clifford des espaces quadratiques
réels réguliers de dimension 4. Matrices de Dirac 320
VIII. 10 / Algèbre extérieure d'un espace vectoriel. Algèbres
graduées 325
VIII. 11 / Algèbres de Clifford des espaces hyperboliques. 328
VIII. 12 / Etude de la simplicité des algèbres de Clifford. 332
VIII.13 / Algèbres semi simples 335
VIII. 14 /Représentations fidèles des algèbres semi simples.
Spincurs 345
Sommaire 9
Chapitre IX / Groupes de Clifford et groupes spinoriels 351
IX. 1 / Groupe de Clifford 351
IX.2 / Groupe de Clifford régulier 356
IX. 3 / Normes spinorielles. Groupe de Clifford réduit. 359
IX.4 / Cas des espaces quadratiques réguliers réels et
complexes. Groupes de revêtement de leurs groupes
orthogonaux et groupes spinoriels 361
IX.5 / Algèbres de Lie des groupes spinoriels 370
Chapitre X / Le groupe des rotations SO(3), le groupe des rotations
propres de Lorentz SO+(133) et leurs groupes de revêtement Spin(3)
et Spin(l,3), spin et moment angulaire, groupes spinoriels des espaces
quadratiques standards C4 et E4 374
X.l / Spin(3) = SU(2) et paramétrisation d'Euler du
groupe des rotations SO(3) de E3 375
X. 2 / Sous groupes à un paramètre du groupe des rota¬
tions SO(3). Angles d'Euler 382
X. 3 / Spineurs de l'espace euclidien E3 385
X. 4 / Algèbre de Lie et représentations linéaires de SO(3)
et Spin(3) = SU(2) 392
X.5 / La notion de spin en physique 401
X.6 / Groupe spinoriel Spin(l,3) = Sl(2, C) de l'espace
de Minkowski Eli3 403
X.7 /Groupes spinoriels Spin(4; C) = Sl(2; C)
XS1(2;C) et Spin(4) = SU(2) X SU(2) des
espaces quadratiques standards C* et E4 407
Chapitre XI / Espaces et groupes symplectiques 410
XI. 1 / Espaces symplectiques. Théorème de Witt 410
XI.2 / Etude du groupe symplectique Sp(E). Transvec
tions 416
XI.3 / Formes bilinéaires antisymétriques sur un espace
euclidien 426
XI. 4 / Groupes symplectiques réels 431
XI.5 / L'espace de Siegel 437
XI. 6 / Groupes symplectiques unitaires et symplectiques
complexes 439
XI.7 / Pfaffien 445 |
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