Ebene Geometrie der Lage:
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Leipzig
Göschen
1900
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7 |
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I. Der Kegelschnitt.
Seite
§ 1. Perspektive Verwandtschaft 1 10
1. Die Staudtsche Darstellung der Geometrie der Lage.
— 2. Die geraden Grnndgebilde. — 3. Die uneigentliche
Gerade. — 4. Drehungssinn. — 5. Bewegungssinn. —
6 — 9. Perspektive Grundgebilde. — 10—dl. Elliptischer
und hyperbolischer Wurf. — 12—13.* Vorläufige Inhalts¬
angabe.
§ 2. Harmonische Elemente 11—25
14. Stereometrische Hülfssätze. — 15. Perspektiv
liegende Dreiecke. — 16. Viereck und Vierseit. —
17—20. Der Fundamentalsatz der harmonischen Punkte.
— 21. Harmonische Strahlen. — 22. Harmonische Ebenen.
— 23. Harmonische Elemente. — 24. Harmonische Punkte
eines Vierecks. — 25. Harmonische Strahlen eines Vier
seits. — 26. Konstruktion des vierten harmonischen
Elementes. — 27.* Mittelpunkt und uneigentlicher Punkt
einer Strecke. — 28.* Zwei Strahlen und die Halbierungs¬
linien ihrer Winkel.
§ 3. Projektive Verwandtschaft gerader Grund¬
gebilde 25 50
29. Homologe Elemente in zwei geraden Grundgebil¬
den. — 30. Definition der projektiven Verwandtschaft.
— 31. Konstruktion zweier projektiven Grundgebilde. —
32. Der Fundamentalsatz der projektiven Verwandtschaft.
— 33. Identität zweier projektiven Grundgebilde. —
34. Perspektive Lage zweier projektiven Grundgebilde.
— 35. Einschalten von Perspektiven Gliedern zwischen
die projektiven Endglieder einer Kette. — 36. Erster
Sechseckssatz. — 37. Das zweite Ordnungselement einer
Projektivität. — 38. Elemente, die sich zweifach ent¬
sprechen; Zweiter Sechseckssatz. — 39. Projektive Per
mutatinnen. — 40. Projektive Verwandtschaft harmo¬
nischer Würfe. — 41.* Die Lehre vom Doppelverhältnis.
VI Inhalt.
Seit«
§ 4. Krumme Grundgebilde 50—72
42. Erzeugnis zweier projektiven geraden Grund¬
gebilde. — 43.* Kegelschnitt. — 44. Erzeugnis zweier
Perspektiven geraden Grundgebilde. — 45. Tangente.
— 46—48. Kurvenkonstruktionen. — 49. Bestimmungs¬
stücke einer krummen Punktreihe. — 50, Projektive
Strahlenbüschel in zwei Kurvenpunkten. — 51. Har¬
monische Trennung von Ecke und Gegenseite eines
Kurvendreiecks durch die Tangenten der beiden anderen
Ecken. — 52. Der zweite Schnittpunkt einer Gerade
mit der Kurve. — 53. Der Schnittpunkt zweier Tan¬
genten liegt in der zugeordneten Diagonallinie. —
54. Dritter Sechseckssatz (Pascal). — 55. Kurvenfünf¬
eck. — 56. Kurvenviereck. — 57. Kurvendreieck. —
58. Kurvendreiseit. — 59. Das gemeinsame Diagonal¬
dreieck eines Kurvenvierecks und des zugeordneten
Kurvenvierseits. — 60. Identität der krummen Punkt¬
reihe und des krummen Strahlenbüschels. — 61. Kurven
vierseit; Identität von Kurve und Kegelschnitt. —
62. Kurvenfünfseit.
§ 5. Die gerade Involution 72—79
63. Involution. — 64. Die Vierecksinvolution. —
65. Konstruktion einer Involution. — 66. Ordnungs
punkte einer Involution. — 67. Parabolischer Wurf.
— 68. Eine Involution und ihre Würfe.
§ 6. Ppojektive Verwandtschaft krummer Grund¬
gebilde 79—95
69. Krumme Würfe. — 70. Harmonische Elemente
eines krummen Grundgebildes. — 71. Projektive Ver¬
wandtschaft krummer Grundgebilde. — 72. Die krumme
Involution. — 78. Die Achse einer krummen Projek
tivität. — 74. Konstruktion einer krummen Projek
tivität. — 75. Ordnungselemente einer geraden Projek
tivität. — 76. Das Zentrum einer krummen Projek
tivität. — 77. Die Projektivität der Achse und des
Zentrums. — 78. Die Achse einer krummen Involution.
— 79. Das Zentrum einer krummen Involution. —
90. Viereck und Vierseit einer krummen Involution.
— 81. Die Involution der Achse und des Zentrums.
§ 7. Pol und Polare 95—103.
82—83. Die einem Punkt und einer Gerade zuge¬
ordnete krumme Punktinvolution. — 84 Pol und
Polare. — 85. Poldreieck. — 86. Punkte, die in der
Polare liegen. — 87. Geraden, die durch den Pol
gehen. — 88. Konstruktion der Polare. — 89. Kon¬
struktion des Pols. — 90. Involutorische Lage von
Pol und Polare. — 91. Polarfiguren.
Inhalt. YII
Seite
§ 8. Konjugierte Involutionen 103—122
92. Konjugierte Punkte und Involutionen. —
93. Elliptische, hyperbolische und parabolische kon¬
jugierte Involutionen. — 94 . Die durch zwei Pol¬
dreiecke bestimmten beiden Kurven. — 9 n. Konjugierte
. Punkte und Strahlen in den Seiten und Ecken eines
Dreiecks. — 96. Der Hessesche Satz. — 97. Die
durch ein Poldreieck bestimmten Kurvenvierecke. —
98. Zusammenhang zwischen den krummen Involutionen
und den konjugierten geraden Involutionen. — 99. Kon¬
jugierte Punkte in den Seiten eines Kurvenvierecks.
100. Konstruktion der Kurve aus einem Punkte und
zwei konjugierten Punktinvolutionen. — 101. Der
vierte gemeinsame Punkt zweier Kurven. — 10 .
Kurvenbüschel. — 103. Lehrsatz des Desargues. —
104. Die durch die Gegenecken eines Vierseits
harmonisch getrennten Geraden.
§ 9. Elliptische und hyperbolische Punkte und
Geraden 122 128
105. Elliptische und hyperbolische Punkte und Ge¬
raden. — 106. Die Involutionen der Ecken und Seiten
eines Poldreiecks. — 107. Die Strahlen eines ellip¬
tischen Punktes. — 108. Kennzeichen für eine elliptische
und eine hyperbolische Gerade. — 109. Kennzeichen
für die Strahlen eines hyperbolischen Punktes. —
110. Trennung der elliptischen und hyperbolischen
Elemente durch die Kurvenelemente. — 111. Das
zweite gemeinsame Element zweier Kurven.
§ 10.* Konjugierte Durchmesser 128—144
112. Zirkulare Involution. — 113. Bechtwinkliges
Strahlenpaar einer Involution. — 114. Konjugierte
Durchmesser. — 115. Beispiel. — 116. Parallele
Sehnen. — 117. Symmetrische Lage der Kurvenpunkte
zu zwei konjugierten Durchmessern. — 118. Parallele
Tangenten. — 119. Konstruktion der Kurvenachsen.
— 120. Definition der Ellipse und der Hyperbel. —
121. Durchmesser der Ellipse und der Hyperbel. —
122. Hyperbeltangenten. — 123. Hyperbelsehne. —
124. Kennzeichen für die Ellipse und die Hyperbel.
— 125. Abschnitte auf zwei parallelen Tangenten. —
126. Gleichungen der Ellipse und der Hyperbel. —
127. Parabel. — 128. Die konjugierte Involution eines
Parabeldurchmessers. — 129 Das Tangentendreiseit
einer Parabel. — 130. Gleichung der Parabel. —
131. Kreis. — 132. Konstruktion des Kreises.
§ 11. Die diagonale Involution 144—154
133. Die diagonale Involution. — 134. Die Haupt
VIII Inhalt.
Seite
involution. — 135. Darstellung zweier Gegenseiten.
— 136. Konstruktion von homologen Punkten der
diagonalen Involution und einer Hauptinvolution. —
137. Ordnungspunkte zweier Gegenseiten und ihrer
diagonalen Involution. — 138.* Fluchtpunkt und
Potenz einer Involution. — 139.* Konstruktion von
Fluchtpunkt und Involution.
§ 12.* Die fokalen Involutionen 154—180
140. Steinersche Parabel. — 141. Fokale Invo¬
lutionen. — 142. Brennpunkte. — 143. Hauptkreis.
— 144. Konstruktion der Ellipse aus ihren beiden
Achsen. — 145. Kurve aus den beiden Brennpunkten
und einer Tangente. — 146. Richtlinie. — 147. Zweites
Kennzeichen für die Ellipse und die Hyperbel. —
148. Entfernungen eines Kurvenpunktes von Brenn¬
punkt und Richtlinie — 149. Die Fufspunkte der von
den Brennpunkten auf die Kurventangenten gefällten
Lote liegen im Hauptkreise. — J50. Das Vierseit mit
zwei rechtwinkligen Gegenecken. — 151. Brennpunkt
und Richtlinie der Parabel. — 152. Der Hauptkreis
der Parabel. — 153. Krümmungskreis. — 154. Erste
Kurvenkonstruktion durch Krümmungskreise. —
155. Krümmungskreise der Parabel. — 156. Zweite
Kurvenkonstruktion durch Krümmungskreise. —
157. Zweite Konstruktion der Ellipse aus ihren beiden
Achsen.
II. Das Polarfeld.
§ 13. Die resultierende Involution 181—196
158. Art der Beweisführung. — 159. Resultierende
Involution. — 160. Übertragung auf beliebige In¬
volutionen. — 161. Ordnungselemente. — 162. Kon¬
struktion der resultierenden Involution. — 163. Ord
nnngselemente der aus zwei hyperbolischen Involutionen
resultierenden Involution. — 164. Staudtscher Satz. —
165. Kennzeichen für drei komponierende Involutionen.
— 166. Gesamtheit der komponierenden Involutionen.
— 167. Drei Involutionen. — 168. Die konjugierten
Involutionen der Strahlen eines Punktes. — 169. Ver¬
allgemeinerung des Satzes von Desargues. — 170. Die
Hauptstrahleninvolution.
§ 14. Konjugierte Projektivitäten 196 204
171. Zwei Kurven in doppelter Berührung. —
172. Büschel von Kurven in doppelter Berührung. —
173. Büschel von Projektivitäten. — 174. Konjugierte
Projektivitäten. — 175. Perspektive Lage zugeordneter
Projektivitäten. — 176.* Zirkulare Projektivitäten.
Inhalt. JX
Seite
§ 15. Kollineare und reziproke Verwandtschaft. 204 212
177. Kollineare Verwandtschaft. — 178. Konstruk¬
tion zweier kollinearen Felder. — 179. Reziproke Ver¬
wandtschaft. — 180. Konstruktion zweier reziproken
Felder. — 181. Kennzeichen des zweifachen Ent
sprechens der Elemente. — 182. Involutorische Lage
der homologen Grundgebilde.
§ 16. Das Polarfeld 212 224
183. Das Polarfeld. — 184. Konjugierte Elemente.
— 185. Das Poldreieck als Bestimmungsstück eines
Polarfeldes. — 186. Bestimmung eines Polarfeldes
durch zwei perspektiv liegende Dreiecke. — 187. Be¬
stimmung eines Polarfeldes durch zwei konjugierte
Involutionen und eine komponierende ihrer diagonalen
Involution. — 188. Bestimmung eines Polarfeldes
durch zwei konjugierte Involutionen und einen Ord¬
nungspunkt. — 189. Ordnungskurre eines Polarfeldes.
— 190. Identische Polarfelder. — 191. Konstruktion
der zweiten gemeinsam konjugierten Involution zweier
Polarfelder.
§ 17. Büschel und Schar von Polarfeldern. . . 224 249
192. Büschel von Polarfeldern. — 193. Konstruktion
eines Polarfeldes. — 194. Die dem Büschel adjungierten
Involutionen. — 195. Die Polkurve; Satz vom Kegel¬
schnitt der 9 Punkte. — 196. Absolut konjugierte
Punkte. — 197. Konstruktion des absolut konjugierten
Punktes. — 198. Die Kurve der absolut konjugierten
Punkte. — 199. Zweite Konstruktion des absolut
konjugierten Punktes. — 200. Konstruktion eines
Polarfeldes mit gegebenem Ordnungspunkte. — 201.
Die absolut konjugierten Punkte als Ordnungspunkte
der Hauptinvolutionen. — 202. Drei Büschel von Polar¬
feldern. — 203. Allgemeine Kurvenkonstruktion. —
204. Definition der Ordnungskurve durch die Haupt¬
punktinvolutionen. — 205. Projektive Verwandtschaft
zwischen einem Büschel von Polarfeldern und einem
Grundgebilde.
§ 18. Die Involution dritter Ordnung 249 262
206. Projektive und — 207. Involutorische Ver¬
wandtschaft einer geraden und einer krummen Punkt¬
reihe. — 208. Die Involution dritter Ordnung. —
209. Darstellung einer Involution dritter Ordnung. —
210. Ordnungselement und Ordnungsinvolution. — 211.
Bestimmungsstücke einer Involution dritter Ordnung.
— 212. Konstruktion der Ordnungsinvolution. —
213. Konstruktion von Involutionen dritter Ordnung
durch einen Büschel von Polarfeldern zweiter Ordnung.
X Inhalt.
Seite
§ 19. Die adjung ierten Involutionen 262—271
214. Erweiterung des Begriffs der konjugierten
Punkte durch die adjungierte Involution. — 215. Zu¬
satz zum Lehrsatz des Desargues. — 216. Bestimmung
eines Polarfeldes durch zwei konjugierte und eine
adjungierte Involution. — 217. Verallgemeinerung
des Hesseschen Satzes. — 218. Büschel adjungierter
Involutionen. — 219. Polarfelder, die eine konjugierte
und eine adjungierte Involution gemeinsam haben. —
220. Bestimmung eines Büschels durch eine konjugierte
und zwei adjungierte Involutionen. — 221. Schnitt¬
punkt dreier Chordalen.
§ 20. Zwei Polapfelder 271 289
222. Die durch zwei konjugierte Punktinvolutionen
und einen Ordnungsstrahl bestimmten Polarfelder;
Konstruktion des Kreises aus einer konjugierten Punkt¬
involution und einer Tangente. — 223 Die durch eine
konjugierte Punktinvolution, eine Strahleninvolution
und ein Ordnungselement bestimmten Polarfelder;
Konstruktion des Kreises aus einer konjugierten
Strahleninvolution und einem Punkte. — 224. Die
gemeinsam adjungierten Involutionen zweier Polar
felder. —• 225. Hauptpunkte. — 226. Hauptgeraden.
— 227. Die komponierenden Strahleninvolutionen der
Hauptpunkte. — 228. Die Ordnungsstrahlen eines
Hauptpunktes. — 229. Die gemeinsam konjugierten
Strahleninvolutionen zweier Polarfelder. — 230. Be¬
stimmung eines Büschels durch vier adjungierte In¬
volutionen. — 231. Inhalt des Buches.
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