Prinzipien zur Lösung mathematischer Probleme:
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Braunschweig
Vieweg
1958
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Seite
Einführung 1
I. Verstehen der Aufgabe 3
„Mache Dir eine sorgfältige, übersichtliche Figur! 3
„Stelle klar und zergliedert alles Wesentliche heraus! 5
„Prüfe sorgfältig jedes wesentliche Wort auf seinen begrifflichen Inhalt! 5
„Prüfe, ob die Aufgabe einen Sinn hat und eindeutig formuliert ist! .. 6
II. Entwerfen des Lösungsplans 7
Allgemeines 7
Das funktionale Denken 7
Die Rolle der Phantasie, die Bedeutung der Analogie 7
Die Auswertung einer Analogie 8
Der Sinn einer Lösung 9
Allgemeine Richtlinien für einen Lösungsplan 12
§ 1: Erstellung und statische Erkundung einer Figur 12
1. Beispiel. Flächenverhältnis zweier Dreiecke — 2 Lösungen 12
2. Beispiel. Satz des Menelaos — 2 Lösungen 14
3. Beispiel. Satz des Ceva — 2 Lösungen 16
4. Beispiel. Peripheriewinkel im Kreis 20
5. Beispiel. Satz des Pappus 21
6. Beispiel. Gleiche Abschnitte auf einer Kreissehne erzeugt durch
die Schenkel eines Peripheriewinkels — 4 Lösungen 21
7. Beispiel. Schwerpunktskonfiguration eines Tripeis gleichseitiger
Dreiecke über den Seiten eines beliebigen Dreiecks — 2 Lösungen
und Erweiterung 24
8. Beispiel. Satz des Ptolemäus und Erweiterung des Satzes von
Simson — 2 Lösungen 28
9. Beispiel. Einbeschreibung eines gegebenen Dreiecks in ein anderes
gegebenes 30
10. Beispiel. Trigonometrische Vermessungsaufgabe. Die elegante
Lösung — 3 Lösungen 33
11. Beispiel. Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks durch Aus¬
wertung einer formalen Analogie 35
12. Beispiel. Eine Konfiguration nach Beispiel 7 soll drei vorgegebene
Punkte als freie Ecken haben. Die scharfsinnige Lösung 35
vi !
i
Seite
Zusammenfassung von § 1 37
Beweggründe zum Ziehen von Hilfslinien 41
§2: Die dynamische Erkundung einer Figur 43
Allgemeines dazu 43
13. Beispiel. Reflexion eines Lichtstrahls aus gegebenem Punkt in
einen andern an einer gegebenen Geraden — 3 Lösungen. Sinn
einer Spiegelung eines Punktes an einer Geraden 44
14. Beispiel. Dreieck kleinsten Umfangs einem gegebenen Dreieck
einbeschrieben (Fejer) 45
15. Beispiel. Neue; Lösung von Beispiel 6. Zwei Beweise hierzu .... 46
16. Beispiel. Problem des Apollonius. Erste Lösung 49
17. Beispiel, a) Problem des Apollonius. Zweite Lösung 55
17. Beispiel, b) Spitzbogenfensteraufgabe. Drei Lösungen 56
18. Beispiel. Die Drehstreckung 58
Transversalenteilungsaufgabe eines Dreiecks — 2 Lösungen .... 61
Transversale vorgegebenen Teilverhältnisses durch vier gege¬
bene Gerade 62
Neue Lösung zu Beispiel 9 62
Zweite Art von Drehstreckung 62
19. Beispiel. Die Seiten eines Dreiecks, das einem gegebenen Dreieck
einzubeschreiben ist, sollen zu drei gegebenen Geraden parallel
sein 63
20. Beispiel. Kreissehne mit gegebenem Teilverhältnis durch gege¬
benen Punkt — 6 Lösungen 64
21. Beispiel. Verwandlung eines Vierecks 67
22. Beispiel. Ein Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebenen
Richtungen der beiden anderen Seiten einem gegebenen Dreieck
einzubeschreiben — 2 Lösungen 68
23. Beispiel. Dritte Lösung zu Beispiel 7 und Erweiterung desselben
durch stetige Überführung 70
24. Beispiel. Das Kriterium für Gemeinsamkeit des Schwerpunkts
zweier Dreiecke — 2 Lösungen 72
25. Beispiel. Schiffskursaufgabe nach Polya 73
Zusammenfassung zu § 2 74
Einzelfall, Spezialfall, Grenzfall, Erweiterungsfall 77
Spezialf alle vom Rang einer vollkommenen Analogie 78
Sonstige Abänderungsmöglichkeiten einer Figur 79
Die speziellen Bedingungen eines Problems als Ausgangspunkt jeder
Problemlösung 79
26. Beispiel. Gemeinsame Tangenten an gegebene Parabel und gege¬
benen Kreis um deren Brennpunkt. Erweiterung der Aufgabe .. 81
§3: „Ändere das Problem ab! 82
27. Beispiel. Lösung zweier Gleichungen zweiten Grades mit zwei
Unbekannten 83
VII
Seite
28. Beispiel. Diophantische Gleichung 84
29. Beispiel. Lösung der Gleichung vierten Grades 85
30. Beispiel. Konstruktion eines Dreiecks aus seinen drei Höhen —
2 Lösungen 86
31. Beispiel. Konstruktion eines Sehnenvierecks aus seinen vier
Seiten 87
32. Beispiel. Ein Kreis soll auf zwei Seiten eines Dreiecks Sehnen
gleicher gegebener Größe auf der dritten eine andere Sehne
gegebener Länge ausschneiden 88
33. Beispiel. I. Drei von einem Punkt ausgehende Strahlen sollen
einen gesuchten Kreis in einem Durchmesser und zwei Sehnen
gegebener Länge schneiden 89
II. Eine Strecke auf einer gegebenen Geraden soll von zwei
gegebenen Punkten aus unter gegebenem Winkel erscheinen .. 90
34. Beispiel. Einem gegebenen Kreise ein Sehnenviereck aus zwei
gegebenen Gegenseiten und der Summe der beiden andern ein-
zubeschreiben 93
35. Beispiel. Eine Transversale in einem Dreieck ist so lang wie jeder
der beiden „untern Abschnitte auf den begrenzenden Seiten .. 94
36. Beispiel. Aufgabe über elliptisches Kreisbüschel — 2 Lösungen .. 95
37. Beispiel. Satz von Desargues 96
38. Beispiel. Tangente und Fläche einer Ellipse durch Projektion
eines Kreises 97
Zentralprojektion, allgemeine Abbildung und Inversion 99
39. Beispiel. Steinerscher Schließungssatz 100
40. Beispiel. Grenzbetrachtung zu 30. Beispiel 101
Die geometrische Deutung arithmetischer Verhältnisse 103
41. Beispiel. Die Gleichung: a cos q + b sin qj —c = 0 — 2 Lösungen 103
42. Beispiel. Lage der komplexen Nullstellen der Ableitung einer
ganzen algebraischen Funktion 104
Zusammenstellung zu §3 105
§4: „Löse geometrische Probleme auf algebraischem Wege 107
Allgemeines 107
Die Aufstellung von Gleichungen 107
Die Lösung mit Zirkel und Lineal 108
43. Beispiel. Vierte Lösung zu Beispiel 7 109
44. Beispiel. Verallgemeinerung des 11. Beispiels 109
45. Beispiel. Dreieck aus seinen drei Winkelhalbierenden 112
III. Durchführung des Lösungsplans, Rückblick, Ausblick 115
VIII
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