Groupes et anneaux réticulés:
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Berlin [u.a.]
Springer
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| adam_text | TABLE DES MATIERES
PREFACE
PRELIMINAIRES
1. Ensembles ordonnés 1
2. Structures algébriques 6
3. Groupes, anneaux, treillis 9
Chapitre 1 NOTIONS FONDAMENTALES
1.1. Groupes ordonnés 14
1.2. Groupes réticulés 16
1.3. Partie positive, partie négative, valeur absolue . . 22
1.4. Homomorphismes de groupes réticulés 25
1.5. Constructions usuelles 26
1.6. Groupes réticulés commutatifs 29
1.7. Exemples 32
Note du chapitre 1 33
Chapitre 2 SOUS-GROUPES SOLIDES
2.1. Sous-groupes réticulés et sous-groupes convexes . . 36
2.2. Sous-groupes solides 38
2.3. Homomorphismes et £-idêaux 41
2.4. Sous-groupes premiers 44
2.5. Sous-groupes réguliers 46
2.6. Le théorème de Hôlder 48
Note du chapitre 2 50
Chapitre 3 POLAIRES
3.1. Eléments orthogonaux 52
3.2. Définition et premières propriétés des polaires . 53
VIII
3.3. Filets et z-sous-groupes 56
3.4. Sous-groupes premiers minimaux 59
3.5. Décomposition d un groupe réticulé en facteurs directs 64
Note du chapitre 3 68
Chapitre 4 REPRESENTATION DES GROUPES RETICULES
4.1. Groupes transitifs 69
4.2. Groupes représentables 72
4.3. Groupes à valeurs normales 75
4.4. Représentation des groupes à valeurs normales ... 80
4.5. Groupes ordonnés à gauche 83
Note du chapitre 4 86
Chapitre 5 EXTENSIONS ARCHIMEDIENNES
5.1. Majoration du cardinal d un groupe réticulé .... 90
5.2. Généralités sur les extensions archimêdiennes ... 93
5.3. Extensions archimêdiennes des groupes réticulés tran¬
sitifs 96
5.4. Le théorème de Hahn 102
5.5. Complétés archimêdiens commutatifs des groupes réti¬
culés 103
Note du chapitre 5 106
Chapitre 6 GROUPES COMPLETEMENT DISTRIBUTIFS ET GROUPES VALUES-FINIS
6.1. Sous-groupes fermés 109
6.2. Les radicaux d un groupe réticulé 113
6.3. Groupes complètement distributifs 115
6.4. Groupes valuês-finis 119
6.5. Groupes valuês-finis commutatifs: représentation de
Hahn et extensions archimêdiennes 122
Note du chapitre 6 125
Chapitre 7 PROPRIETES LIEES A L ORTHOGONALITE
7.1. Extensions lexicographiques 128
7.2. Sous-groupes convexes totalement ordonnés .... 132
7.3. Bases 134
7.4. Groupes ortho-finis 137
IX
7.5. Groupes projetables 142
7.6. Groupes latéralement complets 144
Note du chapitre 7 147
Chapitre 8 ANNEAUX RETICULES
8.1. Anneaux ordonnés et réticulés. Exemples 149
8.2. Les ^-idéaux d un anneau réticulé 154
8.3. Homomorphismes, anneaux réticulés quotients et pro¬
duits sous-directs 159
8.4. £-idêaux irréductibles 162
8.5. ^-idéaux premiers et semi-premiers 163
8.6. Radicaux 16 5
Chapitre 9 ANNEAUX RETICULES PRODUITS SOUS-DIRECTS D ANNEAUX
TOTALEMENTS ORDONNES
9.1. Définition et propriétés élémentaires des f-anneaux . 172
9.2. Le £-radical et £-idéaux premiers d un f-anneau . . 176
9.3. f-anneaux réduits et idéaux premiers minimaux . . . 178
9.4. Eléments idempotents et sur-idempotents; f-anneaux l-
simples 180
9.5. ^-idéaux dominés 187
9.6. f-anneaux S-semi-simples et le S-radical 189
9.7. Plongement dans un f-anneau unitaire 192
Note des chapitres 8 et 9 196
Chapitre 10 LE SPECTRE ET LA REPRESENTATION PAR DES SECTIONS DANS
DES FAISCEAUX
10.1. Le spectre d un f-anneau et d un groupe réticulé
commutatif 201
10.2. Les espaces de £-idéaux irréductibles 205
10.3. L espace de Stone 207
10.4. Faisceaux de groupes et d anneaux réticulés . . . 211
10.5. ^-idéaux germinaux 214
10.6. Représentation par des sections d un faisceau . . . 217
Note du chapitre 10 221
X
Chapitre 11 GROUPES ARCHIMEDIENS ET GROUPES COMPLETS
11.1. Propriétés générales 224
11.2. Groupes réticulés complets et groupes singuliers . . 229
11.3. Complétion de Dedekind d un groupe réticulé . . . 235
Note du chapitre 11 239
Chapitre 12 ORTHOMORPHISMES ET f-ANNEAUX ARCHIMEDIENS
12.1. Endomorphismes d un groupe réticulé commutatif . . 241
12.2. Orthomorphismes d un groupe archimédien 244
12.3. f-anneaux archimédiens 250
Note du chapitre 12 256
Chapitre 13 REPRESENTATION PAR DES FONCTIONS NUMERIQUES CONTINUES
13.1. Groupes et anneaux réticulés de fonctions continues . 258
13.2. Représentation d un groupe archimédien par des
fonctions numériques continues presque finies . . . 263
13.3. Représentation des orthomorphismes et des f-anneaux
archimédiens par des fonctions numériques continues . 268
13.4. Représentation sur l espace de Stone 272
13.5. Représentation des groupes archimédiens singuliers . 275
Note du chapitre 13 278
Chapitre 14 GROUPES HYPER-ARCHIMEDIENS ET SOMMES DIRECTES DE GROUPES
REELS
14.1. Groupes hyper-archimêdiens 281
14.2. Anneaux hyper-archimêdiens 285
14.3. Anneaux quasi-réguliers 288
14.4. Sommes directes de groupes réels 289
14.5. Groupes factoriels 293
Note du chapitre 14 294
Appendice GROUPES RETICULES LIBRES
A.l. Groupes réticulés commutatifs libres 296
A.2. Groupes réticulés universels (libres) sur un groupe
ordonné 302
XI
BIBLIOGRAPHIE 306
INDEX DES NOTATIONS 328
INDEX TERMINOLOGIQUE 331
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