Cours de géométrie différentielle locale:
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Pages.
Préface v
Avertissement Tx
INTRODUCTION.
Chapitre I.
Généralités. Fondements.
1. Avertissement 1
2. Espaces topologiques 1
3. Sous-espaces 3
4. Fonctions continues 3
5. Homéomorpliie 5
6. Espaces métriques 6
7. Espaces complets. Espaces et ensembles compacts 9
8. Espaces et ensembles connexes 10
9. L espace euclidien amorphe 10
10. Simplexes. Complexes 12
11. Dimension. Courbes et surfaces. Variétés cantoriennes i4
12. Variétés différentiables 16
13. Généralités sur les groupes 17
14. Transformations. Groupes de transformations 20
15. Groupes topologiques 21
10. Groupes de Lie 23
17. Objets géométriques. Transitivité et intransitivité. Orientation 25
18. Les groupes de Lie des géométries classiques 27
19. Le groupe des déplacements 28
20. Le groupe affine 33
21. Le groupe projectif 35
22. Les groupes de la géométrie différentielle 39
23. Complément sur les collinéalions 40
Exercices 43
Chapitre II.
Compléments d Algèbre. Tenseurs.
1. L espace vectoriel affine centré C 45
2. Produits tensoriels d espaces affines centrés. Tenseurs 48
35.
548 TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
3. Tenseurs affines 51
4. Convention d écriture 54
5. Opérations sur les tenseurs affines 55
C. Tenseurs symétriques et antisymétriques 58
7. Tenseurs contrevariants antisymétriques. Multivecteurs 5g
8. Tenseurs covariants antisymétriques. Formes extérieures 6i
9. Formes extérieures quadratiques. Théorème de Cartan 64
10. Tenseurs euclidiens 66
11. Analyse tensorielle élémentaire 73
Exercices 76
Chapitre III.
Compléments d Analyse : Calcul différentiel extérieur.
Applications aux groupes de Lie et à la théorie générale des variétés immergées.
1. Formes différentielles extérieures 81
2. Systèmes de Pfaff. Théorème de Frobenius 84
3. Groupes de Lie. Transformations infinitésimales. Composantes relatives et
absolues 88
4. Premier théorème de Lie 92
5. Le groupe des paramètres , 96
6. Équations de structure d Élie Cartan 98
7. Équations de structure des groupes classiques 100
8. Éléments de contact plongés dans une variété. Prolongement des groupes de
transformations io3
9. Théorie générale des variétés immergées 110
10. La méthode du repère mobile d Élie Cartan 116
Exercices 121
PREMIÈRE PARTIE.
Géométrie infinitésimale directe.
Chapitre I.
Variétés immergées. Paramétrage.
1. Problèmes de paramétrage. Généralités ¦ 125
2. Variétés immergées. Invariant local fondamental. Points ordinaires 126
3. Contingent. Paratingent 128
4. Variétés analytiques. Points réguliers 135
5. Éléments de contact dans l espace affine 137
fi. Plan osculateur et demi-plan osculateur à une courbe dans l espace E3. Con¬
cavité 140
Exercices 143
Chapitre IL
Théorie du contact.
1. Avertissement 146
2. Contact de deux courbes 146
TABLE DES MATIÈRES. 54g
Pages.
3. Contact d une courbe et d une surface i56
4. Contact de deux surfaces 162
Exercices 165
Chapitre III.
Enveloppes.
1. Théorèmes fondamentaux 168
2. Enveloppes de courbes planes 170
3. Enveloppes de surfaces dépendant d un paramètre 178
4. Enveloppes de surfaces dépendant de deux paramètres 182
5. Enveloppes de courbes de 1 espace dépendant d un paramètre 187
6. Congruences de courbes 192
Exercices 201
Chapitre IV.
Transformations de contact.
1. Éléments de contact unis 2o3
2. Transformations de contact 204
3. Exemples 203
Exercices 212
DEUXIÈME PARTIE.
Géométries classiques.
PREMIÈRE SECTION.
Géométrie euclidienne.
Chapitre I.
Théorie des courbes gauches.
1. Introduction 215
2. Formules de Serret-Frenet 216
3. Trièdre de Frenet 217
4. Courbure et torsion 219
5. Position de la courbe au voisinage d un point par rapport au trièdre de Serret-
Frenet. Signe de la torsion 223
• 6. Détermination d une courbe par ses équations intrinsèques 224
7. Hélices 228
8. La congruence des normales à une courbe gauche 231
9. Remarques 234
10. Courbes isotropes ( ou lignes minima ) 234
Exercices 239
55o TABLE DES MATIERES.
Chapitre II.
Théorie des surfaces : Trièdre de Frenet.
Pajtes.
1. Trièdre de Frenet 243
2. Cas singuliers 244
3. Surfaces invariantes par un groupe de déplacements 244
4. Théorèmes d égalité et d existence 245
5. Calcul des formes linéaires invariantes et des courbures 247
6. Propriétés géodésiques. Propriétés externes 25o
Exercices 25o
Chapitre III.
Théorie des surfaces : la première forme fondamentale.
1. Considérations élémentaires 254
2. Lignes minima 257
3. Représentation conforme d une surface sur une autre. Coordonnées isothermes 258
4. Isométrie. Courbure totale 261
5. Surfaces isométriques 265
6. Groupe des isométries des ds2 à courbure constante 267
7. Surfaces isométriques au plan 269
8. Analyse sur une surface 269
9. Lignes géodésiques ( théorie externe ) 276
10. Courbure géodésique 281
11. Champs de vecteurs. Dérivées partielles covariantes. Déplacement parallèle.... J87
12. Formule d Ossian Bonnet 292
13. Champs de tenseurs. Dérivée covariante 293
Exercices 298
Chapitre IV. s
Théorie des surfaces. La deuxième forme quadratique fondamentale.
1. Introduction 3o4
2. Position d une surface par rapport à un plan tangent. Point ordinaires
du second ordre 3o5
3. Lignes asymptotiques 310
4. Directions conjuguées. Familles conjuguées 312
5. Trièdre de Frenet d une courbe tracée sur une surface. Théorèmes de Meusnier
et d Ossian-Bonnet 315
6. Courbure des sections normales. Indicatrice de Dupin 317
7. Directions principales. Courbures principales 320
8. Lignes de courbure. Développées (ou surfaces des centres) d une surface 324
9. Congruences de normales 327
10. Kxeniples : 328
11. Représentation sphérique. Troisième forme quadratique 329
12. Torsion relative. Quatrième forme quadratique 331
13. Transformations ponctuelles et transformations de contact conservant les
asymptotiques 335
14. Transformations ponctuelles conservant les lignes de courbure 336
15. Transformation de Lie. Transformations de contact conservant les lignes de
courbure 337
TABLE DES MATIERES. 55l
Pa.nes.
16. Retour sur les conditions d intégrabilité 338
Exercices 339
Chapitre Y.
Géométrie euclidienne réglée.
1. Coordonnées pliickériennes 349
2. Surfaces réglées 351
3. Congrucnces de droites 355
4. Surfaces réglées d une congruence 357
5. Calcul des invariants. Formes quadratiques 359
6. Formule d Élie Cartan. Congruences de normales 36o
7. Congruences isotropes 361
8. Complexes de droites 364
9. Courbes mitanes. Courbes dont les tangentes appartiennent au complexe.
Complexe linéaire 366
10. Calcul des formes linéaires invariantes et des invariants. Congruences et sur¬
faces réglées du complexe 369
Exercices 372
DEUXIEME SECTION.
Géométrie affine unimodulaire.
Chapitre I.
Théorie des courbes.
1. Introduction 379
2. Théorie des courbes planes 38o
3. Interprétations géométriques. Coniques 383
4. Théorie des courbes gauches. Repère de Frenet 386
5. Calcul de l arc affine et des invariants. Cubiques gauches 390
Exercices 393
Chapitre II.
Théorie des surfaces.
1. Repère de Frenet. Cas généraux 395
2. Quadriques ( non développables). Surfaces réglées 399
3. Surfaces développables 405
4. Équations réduites 408
5. Quadriques osculatrices. Tangentes de Darboux 411
• 6. Quadrique de Lie 413
7. Surfaces invariantes par un groupe transitif 415
8. Courbes tracées sur une surface 421
9. Formes dill érentielles algébriques invariantes 426
10. Conditions d intégrabilité à partir des formes 9 et } 428
Exercices 431
552 TABLE DES MATIERES.
TROISIÈME SECTION.
Géométrie projective.
Chapitre unique.
Pages.
1. Rappel des formules du déplacement du repère. Déplacement du repère corré¬
latif 434
2. Théorie des courbes planes. Repère de Frenet 436
3. Les coniques . 438
4. Calcul de l arc projectif et de la courbure projective. Équation réduite. Points
sextactiques 440
5. Rapport anharmonique de quatre points 444
6. Les enveloppes de droites 445
7. Théorie des courbes gauches 445
8. Théorie des surfaces. Repère de Frenet 448
9. Équation réduite au voisinage d un point 451
10. Le point de vue corrélatif. Enveloppes de plans 454
11. Applicabilité projective 454
Exercices 457
TROISIÈME PARTIE.
Théorie du Transport.
Chapitre I.
Transport et connexion. Espaces à connexion, affine.
1. Fibration et géométrie différentielle. Position du problème 458
2. Le groupe d holonomie 464
3. Connexions linéaires affines. Equivalence 464
4. Les tenseurs de courbure et de torsion 466
5. Dérivée covarianle d un tenseur 469
6. Identités de Bianchi 472
7. Calcul des composantes des tenseurs de courbure et de torsion 473
8. Déplacement parallèle. Géodésiques 474
9. Théorème fondamental 475
10. Étude de la connexion au voisinage d un point 478
11. Applications géodésiques 479
12. Champs parallèles de vecteurs contrevariants 482
13. Espaces décomposables 486
14. Courbure d étendue : 489
15. Connexions métriques. Espaces d Eddington, de Wejl et d Einstein 491
16. Connexions projectives 495
17. Tenseurs projectifs 497
Exercices 501
Chapitre II.
Espaces Riemanniens.
1. Formules fondamentales 503
2. Géodésiques : propriété extrémale. Espaces de Riemann analytiques 509
TABLE DES MATIERES. 553
Pages.
3. Courbure d un espace suivant une direction de plan. Espaces à courbure cons¬
tante 511
4. Tenseur de courbure conforme 516
5. Déplacements 518
6. Espaces décomposables 522
7. Théorie des courbes 526
8. Variétés immergées 528
Exercices 536
Index 541
Bibliographie 546
Table des Matièbes 547
Fin de la table des matières.
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