Probabilités et potentiel:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | French |
| Veröffentlicht: |
Paris
Hermann
1966
|
| Schriftenreihe: | Publications de l'Institut de mathématique de l'Univ. de Strasbourg
14 Actualités scientifiques et industrielles 1318 |
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|---|---|
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Introduction
20
SECTION A: ÉLÉMENTS DE CALCUL DES PROBABILITÉS
Chapitre
I.
Tribus et variables aléatoires
......................... 23
1.
Tribus et événements
............................................. 23
Définition des tribus
(1-2).................................... 23
Variables aléatoires
(3) ...................................... 23
Exemples
(4) .............................................. 24
Composition des variables aléatoires
(5) ....................... 24
Tribu engendrée par un ensemble de parties
(6)
ou de fonc¬
tions
(7-9)............................................... 24
Tribu borélienne, tribu de Baire
(10) ......................... 25
Tribu produit
(11-12) ....................................... 25
2.
Variables aléatoires numériques
.................................... 26
Définition
(13) ............................................ 26
Premières propriétés
:
passage à la limite
(14-16) .............. 26
Approximation par des fonctions étagées
(17) .................. 26
Variables aléatoires mesurables par rapport à une tribu
£>(ƒ) (18) . 27
Tribus et familles monotones
(19-20) .......................... 27
Application
(21) ........................................... 29
Chapitre
II.
Lois de probabilité et espérances mathématiques
....... 30
1.
Résumé de la théorie de l intégration
................................ 30
Définition des lois de probabilité
(1-2)......................... 30
Espace probabilisé complet
(3)............................... 31
Exemples
(4).............................................. 31
Espérance mathématique
(5)................................ 31
Théorème de Lebesgue
(6)
et lemme de Fatou
(7).............. 32
Rappels
sur les espaces
1/ (8) ................................ 32
Remarques
(9) ............................................ 32
Convergence des variables aléatoires
(10)...................... 33
Loi image
(11-12).......................................... 33
Théorème de Fubini
(13-14).................................. 34
Intégrale de lois de probabilité
(15-16) ........................ 35
2.
Variables aléatoires uniformément
integrables
......................... 35
Définition
(17-18) .......................................... 35
Autre forme
(19-20)......................................... 36
Passages à la limite sous le signe
/ (21) ....................... 37
Critère d intégrabilité uniforme
(22) .......................... 38
Critère de compacité faible de Dunford-Pettis
(23) .............. 39
3.
Construction de mesures. Mesures de
Radon
........................... 41
Théorèmes de
Danieli
(24)
et de Carathéodory
(25) ............. 41
Ensembles intérieurement négligeables
(26),
extension de lois
(27)
et
completion
(28)......................___.___.___.... 42
Tribu de Baire et tribu borélienne d espaces compacts
(29-32)...... 43
Mesures de
Radon
positives sur un espace compact
(33) ......... 45
Théorème de représentation de Riesz
(34-35) ................... 45
Familles filtrantes de fonctions semi-continues
(36).............. 46
Caractérisation des mesures de
Radon
(37)..................... 46
Ensembles universellement mesurables
(38)..................... 46
4.
Indépendance, conditionnement
..................................... 47
Définition de l indépendance des variables aléatoires et des
tribus
(39-40)............................................ 47
Espérance d un produit de variables aléatoires indépendantes
(41). 47
Somme de variables aléatoires indépendantes et
convolution
(42).. 48
Conditionnement par rapport à une fonction
(43-45) ............ 48
Espérance conditionnelle par rapport à une tribu
(46) ........... 49
Propriétés fondamentales
(47)................................ 50
Propriétés de continuité
(48)................................. 51
Indépendance conditionnelle
(49-51)......................... 52
Chapitre
III.
Compléments de théorie de la mesure
.................. 54
1.
Pavages compacts, ensembles analytiques
............................. 54
Ensembles pavés, opérations sur les pavages
(1) ................. 54
Pavages compacts et semi-compacts
(2-3)...................... 55
Propriétés de stabilité
(4-6)...............___...........----- 55
Ensembles ^-analytiques
(7)................................. 56
Stabilité pour les opérations dénombrables
(8),
les projections
(9),
la formation d ensembles analytiques
(10),
les images réci¬
proques
(11)............................................ 56
Relation avec les tribus
(12).................................. 58
Images
directes d ensembles analytiques
(13) .. ................. 58
Séparation des ensembles sousliniens
(14)...................... 60
Espaces de
Blackwell (15-17)................................. 61
2.
Capacités
................................................___ 63
Définition des capacités de Ghoquet
(18) ...................... 63
Théorème de Ghoquet
(19) ................................. 63
Fonctions d ensemble fortement sous-additives
(20-22) .......... 65
Construction de capacités extérieures
(23) ..................... 66
Application à la théorie de la mesure
(24) ..................... 69
Prolongement d une fonction
additive :
démonstration du théorème
de
Danieli
(25).......................................... 70
Capacités continues à droite
(26-27) .......................... 71
3.
Mesures régulières
............................................. 73
Définition
(28)............................................ 74
Théorème de prolongement
(29)............................. 74
Systèmes projectifs de lois de probabilité
(30).................. 75
Existence de limites projectives
(31).......................... 76
Critère de régularité
(32)................................... 77
Mesures régulières par rapport à un pavage compact
(33)....... 77
Chapitre
IV.
Processus stochastiques
............................... 79
1.
Généralités sur les processus
...................................... 79
Notations
(1).............................................. 79
Définition des processus, trajectoires
(2)....................... 79
Equivalence
(3-4).......................................... 80
Modifications
(5)........................................... 80
Premier processus canonique
(6-7) ........................... 80
Construction des processus
(8-9) .............................. 81
Second processus canonique
(10)............................. 82
2.
Processus
separables
............................................. 83
Exemple
(11)............................................. 83
Processus
separables
(12-14) .................................. 83
Le second processus canonique est
separable
(15) ............... 84
Ensemble séparant universel
(16-17).......................... 84
Utilisation pour l étude des trajectoires
(18).................... 85
Existence de modifications
separables
(19)..................... 86
Discontinuités oscillatoires d une fonction
(20-21)
et des trajec¬
toires
(22-25)............................................ 88
Appendice
(26-29)...............................___....... 92
3.
Processus mesurables. Temps d arrêt
................................ 95
Familles croissantes de tribus
(30)
et processus adaptés
(31-32) .... 95
Temps d arrêt
(33-34)....................................... 96
Événements antérieurs à un temps d arrêt
(35) ................. 96
Propriétés
(36-43).......................................... 96
Exemples élémentaires
(44).................................. 98
Processus mesurables et progressivement mesurables
(45) ........ 99
Existence de modifications progressivement mesurables
(46) ...... 99
Lien avec la continuité à droite
(47).......................... 101
État du processus à un instant aléatoire
(48-49) ................ 101
Début d un ensemble progressivement mesurable
(50-52) ........ 102
Temps d entrée
(53)........................................ 103
Systèmes de temps d arrêt
(54-58) ............................ 104
Chaînes de temps d arrêt
(59-60) ............................. 106
SECTION
В
:
THÉORIE DES MARTINGALES
Chapitre
V.
Généralités et cas discret
............................ 109
1.
Définitions et propriétés générales
........,......................... 109
Définition des martingales et surmartingales
(1-2) .............. 109
Exemples de martingales
(3) ................................ 110
Théorèmes d additivité et de convexité
(4-6) ................... 111
Un procédé de transformation de surmartingales
(7-8)............ 111
2.
Lecasfini: inégalités fondamentales
.................................. 112
Le théorème d arrêt (cas fini)
(9-11) ........................ 112
Majoration d une surmartingale
(12)........................ 114
Inégalité de Kolmogorov
(13)................................
1
14
Inégalité de Doob
(14-15).................................... 115
Cas des surmartingales positives
(16) .......................... 116
3.
Le cas dénombrable. Thêorbms de convergence
........................ 117
Le théorème fondamental de convergence
(17) ................. 117
Cas des martingales
(18).................................... 118
Martingales uniformément
integrables
(ensemble d indices quel¬
conque)
(19-20).......................................... 119
Ensemble d indices filtrants à gauche
(21) ..................... 120
Étude de la convergence dans Lp
(22-23) ...................... 121
Définition d un potentiel
(24) ................................ 122
Décomposition de Riesz
(25) ................................ 123
Autre décomposition
(26).................................... 124
4.
Le théorème d arrêt dans le cas dénombrable
.......................... 124
Hypothèse
(27)............................................. 124
Le théorème d arrêt
(28) .................................... 124
Cas des martingales
(29) .................................... 126
Une propriété d intégrabilité uniforme
(30) .................... 126
Chapitre
VI.
Théorie des martingales
:
ensemble d indices continu
.. 127
1.
Propriétés de régularité des trajectoires
............................... 127
Inégalités fondamentales
(1-2) ................................ 127
Absence de discontinuités oscillatoires
(3)....................... 128
Existence de modifications continues à droite
(4-5)............... 129
Théorèmes de convergence
(6-7)............................... 131
Conventions de langage
(8)................................... 132
Décomposition de Riesz
(9-Ю)................................ 132
Autre décomposition
(11).................................... 132
2.
Le théorème
diarrét
dans le cas continu
.............................. 133
Hypothèse
(12)............................................. 133
Le théorème d arrêt
(13-14)................................... 133
Application aux zéros d une surmartingale positive
(15)........... 134
Suites croissantes de surmartingales
(16)........................ 135
Propriétés d intégrabilité uniforme
:
classes (D) et (DL)
(17-18)___ 137
Critères d appartenance â la classe (D)
(19-20).................. 137
Exemple
(21)............................................... 138
Chapitre
VII.
Génération des surmartingales
...................... 140
1.
Le cas discret
.................................................. 140
Décomposition de Doob dans le cas discret
(1).................. 140
Unicité
(2)................................................ 141
2.
Processus croissants
............................................. 141
Définition des processus croissants
(3-4)
et de la décomposition de
Doob
(5)................................................. 141
Potentiel engendré par un processus croissant
integrable
(6-7)..... 142
Propriétés de l ordre fort
(8-9) ................................ 143
Partie continue et partie discontinue d un processus croissant
(10-11). 143
Lemme de théorie de l intégration
(12)......................... 144
Changements de temps
(13)................................... 145
Intégration par rapport à un processus croissant
(14-17).......... 145
3.
Unicité de la décomposition de Doob
................................ 148
Processus croissants naturels
(18).............................. 149
Propriétés
(19-20)........................................... 149
Le théorème d unicité
(21)................................... 150
4.
Le théorème d existence
........................................... 151
Intégration par parties
(22).................................. 151
Formule de l énergie
(23).................................... 152
Cas des potentiels bornés
(24)................................ 153
Intégrabilité uniforme de processus croissants
(25)............... 154
Lemmes sur les laplaciens approchés
(26-28)................... 155
Théorème d existence pour la classe (D)
(29)................... 157
Suites croissantes de potentiels
(30)............................ 160
Théorème d existence pour la classe (DL)
(31).................. 160
Approximation par des potentiels bornés
(32)................... 161
Définition des surmartingales régulières
(33).................... 162
Lemmes
(34-36).........-.. . ................................. 162
Continuité du processus croissant dans la décomposition de
Doob
(37)............................................... 165
5.
Classification des temps d arrêt
..................................... 167
Notations
(38)............................................... 167
Temps de discontinuité
(39-41) ............................... 167
Temps d arrêt accessibles et inaccessibles
(42)................... 168
Parties accessible et inaccessible d un temps d arrêt
(43-44)....... 169
Approximation d un temps d arrêt accessible
(45)................ 171
Temps d arrêt inaccessibles et martingales
(46-47)............... 173
Caractérisation des processus croissants naturels
(48-50) .......... 174
Sauts accessibles d un potentiel
(51)........................... 176
Caractère naturel du processus croissant associé à un temps
d arrêt
(52-53)............................................ 177
Deux exemples
(54)......................................... 178
Esquisse d une autre classification
(55)......................... 180
6.
Quelques résultats sur l énergie
.................................... 181
Potentiels d énergie finie
(57).............-..-.-................. 181
Calcul de l énergie
(58-60)................................... 181
Convergence monotone et énergie
(61-62)...................... 183
Convergence vers un potentiel régulier
(63)..................... 184
Convergence de potentiels vers une martingale
(64-65)........... 185
Chapitre
VIII.
Applications de la théorie des martingales
.......... 189
1.
Applications des théorèmes de convergence
............................. 189
Lois symétriques
(1-2)........................................ 189
Théorèmes de
Hewitt
et Savage
(3)___........................ 190
Fonctions symétriques de variables indépendantes
(4)............. 191
Théorème de Finetti
(5)..................................... 191
Un théorème de Choquet et
Deny
(6-8)........................ 192
Démonstration du théorème de
Radon-Nikodým
par les martin¬
gales
(9)
et conséquence
(10)............................... 193
Le théorème de relèvement (démonstration de
I.
Tulcea)
(11-12) .. 195
2.
Applications à la théorie générale des processus
......................... 197
Intervalles stochastiques
(13).................................. 197
Processus et ensembles bien-mesurables
(14-15)................. 198
Cas des processus continus à droite
(16)........................ 198
Existence de modifications bien-mesurables
(17)................. 199
Étude d une classe plus restreinte
(18-20)....................... 200
Sections des ensembles bien-mesurables
(21)..................... 204
3.
Martingales de carré
integrable
..................................... 205
Définition
(22)............................................... 205
Processus croissant associé
(23)................................ 206
Quasi-continuité à gauche
(24-25)............................. 206
Orthogonalité
(26-27)......................................... 206
Première décomposition des martingales de carré
integrable
(28-30). 207
Seconde décomposition
(31-32) ............................... 210
SECTION G. OUTILS ANALYTIQUES DE LA THÉORIE
DU POTENTIEL
Chapitre
IX.
Noyaux et résolvantes
............................... 215
1.
Noyaux et diffusions
............................................ 215
Définition des noyaux
(1).................................... 215
Noyaux sous-markoviens, markoviens, propres
(2)............... 215
Prolongement aux fonctions et aux mesures
(3-7)................. 215
Noyau composé
(8) ......................................... 217
Diffusions sur un espace localement compact
(9-10).............. 217
Construction de diffusions continues
(11)
et quelconques
(12)..... 218
Exemples de noyaux
(13)..................................... 221
2.
Théorie du potentiel associée à un noyau
.............................. 222
Fonctions excessives et invariantes
(14-16)....................... 222
Noyau potentiel
(17)........................................ 223
Caractérisation des potentiels
(18)............................. 224
Décomposition de Riesz
(19-20)............................... 224
Suites croissantes de potentiels
(21)............................ 225
Réduite d une fonction excessive sur un ensemble
(22-23)......... 225
Théorème de domination
(24-25).............................. 227
Principe complet du maximum
(26-27)......................... 228
Mesures excessives
(33-34).................................... 230
Appendice
:
relation avec la théorie des martingales
(35).......... 231
3.
Semi-groupes et résolvantes
........................................ 232
Semi-groupes de noyaux
(36)................................. 232
Fonctions /»-surmédianes et /»-excessives
(37)..................... 232
Propriétés
(38)............................................. 232
Semi-groupes mesurables et résolvantes associées
(39)............ 233
Définition générale des résolvantes, résolvantes propres, potentiels de
fonctions
(40-42).......................................... 234
Résolvantes achevées
(43-44).................................. 235
Fonctions /»-surmédianes et /î-excessives
(45)..................... 235
Étude des résolvantes propres
(46-49).......................... 235
Identités concernant les résolvantes
(50-55)..................... 237
Hypothèse supplémentaire
(56-57)............................. 239
Régularisation des fonctions surmédianes
(58)................... 240
Ensembles de potentiel nul
(59).............................. 240
Propriétés de la régularisée
(60)............................... 241
Décomposition de Riesz
(61-63)............................... 241
Suites croissantes de potentiels
(64)............................ 242
Fonctions excessives par rapport à la résolvante d un semi-
groupe
(65-66)............................................ 243
Points permanents
(67)...................................... 244
Signification de l hypothèse du n°
56 :
théorème de domina¬
tion
(68-69)............................................... 245
Caractérisation des fonctions surmédianes
(70)................... 246
Pseudo-réduite
(71).......................................... 247
Relations avec les paragraphes précédents
(72).................. 248
Chapitre
X.
Construction de résolvantes et de semi-groupes
......... 250
1.
Le principe de domination
( 1 )...................................... 250
Principe de domination et principe complet du maximum
(2-3).... 250
Cas des noyaux continus
(4-5)................................. 251
Lemme topologique
(6)...................................... 253
Premières conséquences du principe de domination
(7-8)......... 253
2.
Construction de résolvantes
....................................... 254
Un exemple
(9)............................................. 254
Résolvante associée à un noyau uniforme
(10)................... 255
Théorème de
Hunt
(11)...................................... 257
3.
Construction de semi-groupes
...................................... 259
Semi-groupes et résolvantes fortement continus sur un espace de
Banach
(12).............................................. 259
Théorème de Hille-Yosida
(13)................................ 261
Définition des semi-groupes de
Feller
(14)...................... 263
Construction de semi-groupes de
Feller
(15).................... 264
Passage du cas sous-markovien au cas
markovién
(16)............ 265
Résolvantes de Ray
(17-18)................................... 266
Semi-groupe associé à une résolvante de Ray
(19)................ 267
Points de branchement
(20-21)................................ 268
Chapitre
XI.
Cônes convexes et éléments extrémaux
............... 270
1.
Ensembles convexes compacts
...................................... 270
Fonctions sous-linéaires
(1)................................... 270
Une forme du théorème de Hahn-Banach
(2-4).................. 271
Fonctions affines sur un ensemble convexe compact
(5-7).......... 272
Barycentres
(8)............................................. 275
Points extrémaux
(9)........................................ 276
Le théorème de Krein-Milman
(10-14)......................... 277
Cônes convexes à base compacte
(15).......................... 278
2.
Le
Moríme
de
Chaquet
.......................................... 279
Relation d ordre entre mesures positives
(16-17)................. 279
Enveloppe supérieure d une fonction
(18)....................... 280
Caractérisation des balayées d une mesure
(19-20)............... 280
Existence et caractérisation des balayées maximales
(21-22)........ 281
Mesures maximales et point extrémaux (cas métrisable)
(23-25)... . 281
Subdivisions
(26-27)......................................... 283
Théorie de Loomis
(28)...................................... 284
Théorème d unicité
(29-30)................................... 285
Mesures maximales et points extrémaux (cas général)
(31 -32)...... 286
Dilatations
(34-36).......................................... 288
Extensions à certains cônes sans base compacte
(37-38)........... 289
Application aux fonctions complètement monotones
(39-40)....... 292
3.
Balayage associé à un cône convexe de fonctions
........................ 294
Préordre associé à un ensemble de fonctions
(41)................. 294
Frontière
(42) .............................................. 295
Ensembles de
Šilov
(43)...................................... 295
Fonctions sous-linéaires
(44).................................. 296
Caractérisation des balayées
(45-46)............................ 296
Caractérisation des cônes stables pour l opération
inf.
(47)........ 297
Frontière de
Šilov
(48)....................................... 297
Extension
(49).............................................. 298
Exemple
(50)............................................... 299
Théorèmes d existence de diffusions
(51-53)..................... 300
Théorie des mesures maximales
(54)........................... 303
Index des notations
............................................... 305
Index terminologique
............................................. 306
Bibliographie
..................................................... 311
Appendice
......................................................... 318
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