Grundlagen und analytischer Aufbau der projektiven, euklidischen, nichteuklidischen Geometrie:
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| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1958
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I
A. Grundlagen der Geometrie
1. I. Axiome der Inzidenz 9
2. Verwirklichung der Axiome I im erweiterten Anschauungsraum 11
3. Definitionen. Projektive Transformation von Grundgebilden I. und II. Stufe 12
4. Dualität im Baum, im ebenen Feld und im Bündel 13
5. Satz von Desargues 14
6. Viereckssatz 16
7. Harmonische Paarung 16
8. Weitere Axiome der Anordnung. Orientierung der Grundgebilde I. Stufe 18
9. Satz von Pasch. Dreieckseiten und Dreieckwinkel 20
10: Projektive Streckengleichheit für einen Fluchtpunkt 21
11. Projektive Skala 22
12. III. Stetigkeitsaxiom von Dedekind 23
13. Satz vom Fluchtpunkt der projektiven Skala ,. . 23
14. Ein eindeutige Zuordnung zwischen der Punktreihe und der Zahlenreihe 24
15. Doppelverhältnis (DV) eines beliebigen (reinen) Wurfes 26
16. DV eines gemischten Punkt Geraden Wurfes in der Ebene 29
17. Inzidenzsatz für Punkt und Gerade 31
18. DV eines gemischten Punkt Ebenen Wurfes im Raum 33
19. Inzidenzsatz für Punkt und Ebene 34
20. Fundamentalsatz der projektiven Zuordnung von Grundgebilden I. Stufe 37
21. Fundamentalsatz für Grundgebilde II. Stufe 38
22. Kollineare und korrelative Transformation 39
23. Fundamentalsatz für Grundgebilde III. Stufe 42
24. Projektive Geometrie 44
25. Auszeichnung A. Parallelgeometrie 45
26. Affine Transformation und Geometrie 46
27. Auszeichnung Ao. Orthogonalgeometrie 46
28. Äquiforme Transformation und Geometrie 47
29. Geometrie und Dualität in den parallelgeometrisch verschiedenen Grundgebilden 48
30. Abschließender Charakter der Euklidischen Geometrie 49
31. Euklidische und nichteuklidische Geometrie 49
B. Projektive Geometrie
I. Projektive Geometrie in den Grundgebilden I. Stufe (Reelle Punktreihe)
32. DV Koordinaten. Imaginäre Punkte der reellen Punktreihe 51
33. Homogene Koordinaten 52
34. Koordinatentransformation 52
35. Ausdruck des DVes in Koordinaten 53
36. Analytischer Ausdruck der projektiven Transformation 54
37. Quadratische Formen 54
38. Das Punktepaar 56
39. Involution von Punktepaaren 56
40. Doppelpunkte der Involution 57
6 Inhaltsverzeichnis
II. Projektive Geometrie in den Grundgebilden II. Stufe (Reelle Ebene)
41. Homogene Punkt und Linienkoordinaten 59
42. Ausdruck der Inzidenzbedingung in den Koordinaten 60
43. Harmonische Polarität in bezug auf ein Dreieck 62
44. Gleichung der Geraden, des Punktes. 3 Punkte kollinear. 3 Gerade konzentrisch .. 62
45. Imaginäre Punkte und Gerade in der reellen Ebene 63
46. Transformation der Punktkoordinaten 64
47. Transformation der Linienkoordinaten 65
48. Ausdruck des gemischten DVes in Koordinaten 65
49. Mehrere Gerade oder Punkte 66
50. Kollineare oder projektive Transformation der Ebene (analytisch) 67
51. Korrelative oder reziproke Transformation der Ebene (analytisch) 68
52. Kurven II. Ordnung und II. Klasse. Kegelschnitt (KS) 68
53. Weitere allgemeine Eigenschaften der KSe 69
54. Projektive Einteilung der KSe 70
55. Kriterien für die projektive Art des KSes aus den Koeffizienten 71
56. Projektive Transformation der Ebene mit invariantem KS 72
57. Polarität in bezug auf einen KS 72
HI. Projektive Geometrie im Raum
58. Homogene Punkt und Ebenenkoordinaten 74
59. Ausdruck der Inzidenzbedingung in den Koordinaten 75
60. Harmonische Polarität in bezug auf ein Tetraeder 76
61. Gleichung der Ebene, des Punktes. Gleichungssysteme der Geraden 77
62. Imaginäre Elemente im Raum 77
63. Koordinatentransformation 78
64. Mehrere Punkte oder Ebenen 79
65. Kollineare oder projektive Transformation des Raumes (analytisch). „Rechts und
„Links 80
66. Korrelative oder reziproke Transformation des Raumes (analytisch) 81
67. Linienkoordinaten 81
68. Ebene und Gerade; Punkt und Gerade. Mehrere Gerade 82 ;
69. Flächen II.Ordnung und II.Klasse .» 84
70. Die adjungierte Fläche 85
71. Projektive Einteilung der Flächen II. Grades 85
72. Kriterien für die projektive Art der Fläche 86
73. Pol und Polarebene 87 i
74. Polare Gerade ¦ 87 ;
75. Polartetraeder 88
C. Parallelgeometrie
I. Elemente der Parallelgeometrie
76. Qualitative Begriffe 89
77. Vektoren und Winkel 90
78. Quantitative Begriffe: Das reine Abstandsverhältnis (AV) 92
79. Das gemischte AV in der Ebene 92
80. Das gemischte AV im Raum 93
81. Hessesche Koordinaten im affinen Raum 94
82. Analytischer Ausdruck der Parallelitäten usw 95
83. Analytischer Ausdruck der AVe und ihrer Anwendungen 97
84. Transformation der Hesseschen Koordinaten und affine Transformation 98
Inhaltsverzeichnis 7
II. Parallelgeometrie der Gebilde II. Grades
85. Parallelgeometrische Spezialfälle des Punktepaares und der Involution 99
86. Affine Einteilung der nicht entarteten KSe 99
87. Mittelpunkt, Mittelpunktsgleichung des KSes 100
88. Durchmesser und Asymptoten 101
89. Die Eichellipse des Hesseschen Koordinatensystems in der Ebene 101
90. Affine Einteilung der höchstens einfach entarteten Flächen II. Ordnung 102
91. Affine Einteilung der höchstens einfach entarteten Flächen II. Klasse 103
92. Mittelpunkt, Diametralebene, Durchmesser usw 105
93. Das Eichellipsoid des Hesseschen Koordinatensystems im Baum 105
D. Orthogonalgeometrie
I. Elemente der Orthogonalgeometrie
94. Qualitative Begriffe; Längengleichheit von Vektoren 107
95. Gleichheit von Winkeln 108
96. Quantitative Begriffe: Richtungsyerhältnis (RV), Stellungsverhältnis (SV) 108
97. Größenverhältnis nicht paralleler Vektoren und Flächenstücke 109
98. Kreis und Kugel 110
99. Äquiforme Koordinaten 110
100. Orthogonalitätsbedingungen 111
101. Transformation der äquiformen Koordinaten. Äquiforme Transformation des Raumes 112
102. „Gleichheit und „Kongruenz ; 113
103. Das allgemeine Prinzip der Maßbestimmung 114
104. Sinusquadrat von Elementepaaren 116
105. Beziehungen zwischen den verschiedenen zweielementigen Größen 118
106. Kosinusquadrat und Tangensquadrat von Elementepaaren 120
107. Sinusquadrat von Elementetripeln und quadrupeln 121
108. Eigenschaften der dreielementigen Größen 122
109. Eigenschaften der vierelementigen Größen 123
110. Die eindeutigen goniometrischen Funktionen bestimmter Winkel 124
111. Anwendungen des Kosinus eines Winkels 126
112. Projektionssätze 128
113. Vektoren in der Orthogonalgeometrie 128
114. Winkelgrößen 129
, 115. Polarkoordinaten 131
, II. Orthogonalgeometrie der Gebilde II. Grade«
116. Im eigentlichen Büschel mit eigentlichem Mittelpunkt 131
117. In der eigentlichen Ebene 132
118. Im Bündel mit eigentlichem Mittelpunkt 133
119. Im Raum 134
E. Nichteuklidische (Cayley Kleinsche) Geometrie
I. Absolutes Gebilde. Parallelitäten und Orthogonalitäten. Bewegungen
! 120. Die nichteuklidischen Auszeichnungen At und A_x. Die Kleinschen Modelle 135
121. Koordinaten. Eichfunktionen. Absolutes Gebilde 137
122. Parallelitäten 138
123. Parallel gestellte (parataktische) Gerade 140
8 Inhaltsverzeichnis
124. Orthogonalitäten 141
125. Gemeinsame Normalen zweier reeller windschiefer Gerader 142
126. Bewegungsgleichungen im Raum 143
127. Bewegungsgleichungen in der Ebene und in der Geraden 145
128. Die Bewegungsarten in der Ebene bestimmt durch die Fixelemente 146
129. Die Fixelemente und die Arten der Bewegung im Raum 148
130. I. e„ es, q„ gt 149
131. II. Ql, 6l, g„ 6l 149
132. in. p,, e,, q3, e, 151
133. iv. ei, ei, ei, ei 152
II. Cayley Kleinsche Größenlehre
134. Normalkoordinaten 153
135. Sinus von Elementepaaren (Goniometrie). Linienelement 154
136. Beziehungen zwischen den verschiedenen Sinus 156
137. Kosinus und Tangens von Elementepaaren 157
138. Die eindeutigen goniometrischen Funktionen eines bestimmten Segmentes 157
139. Additioratheoreme der goniometrischen Funktionen 159 j
140. Größe des Segmentes (der Strecke, des Winkels) 160 j
141. Sinus von Elementetripeln (Trigonometrie) 162 j
142. Sinus und Kosinussätze 164 s
143. Flächenelement 166
144. Dreiecksfläche und Winkelsumme 167 j
145. Tetraedrometrie. Volumenelement 169 j
146. Kantensinus des Tetraeders 170
147. Kreise 171
148. Kugeln. Ort der Geraden konstanten Momentes 173
149. Kleinste Strecken der Punkte und Winkel der Ebenen zweier reellen windschiefen
Geraden . 174
150. Clifford Fläche 176
m. Abgeänderte Darstellungsgebiete der hyperbolischen und der elliptischen Geometrie
151. Abbildung der Kleinschen Modelle auf sich selbst 177
152. Bündel und Hemisphäre als Darstellungsgebiet der elliptischen Geometrie. Sphärische
Geometrie 179
153. Zweischaliges Rotationshyperboloid als Darstellungsgebiet der hyperbolischen t
Geometrie 181
154. Hyperbolische Geometrie auf der Pseudosphäre 181 i
155. Bilder des realen Raumes 182 :
156. Euklidisch unendlich großes Bild des hyperbolischen Raumes 182
157. Euklidisch endliches Bild des elliptischen Raumes 186
158. Sphärische Doppelebene und sphärischer Doppelraum 188
Sachregister 190
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