Géométrie différentielle et systèmes extérieurs:
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Dunod
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Chapitre I. — Variétés différentiables. Fibres vectoriels 1
A) Variétés différentiables 2
1. Rappels de Topologie générale 2
2. Espaces de Banach (Rappels) 3
3. Variété 5
4. Application différentiable d une variété différentiable dans une
autre 9
5. Produit direct de variétés différentiables 10
6. Groupe de Lie 11
7. Sous variétés et plongements 11
B) Champs de vecteurs 17
8. Vecteurs tangents 17
9. Espace vectoriel tangent 19
10. Champs de vecteurs 21
11. Structurefibrée deE(Vn) 22
12. Espace fibre E ( Vn) des vecteurs tangents à une variété différentiable
Vn 23
13. Propriétés des champs de vecteurs 24
14. Image d un vecteur par une application différentiable. Différentielle
d une application 26
15. Vecteurs covariants 28
16. Champ de vecteurs covariants 29
C) Tenseurs 30
17. Tenseurs en un point 30
18. Tenseurs contravariants 31
19. Tenseurs mixtes 32
20. Algèbretensorielle 32
21. Contraction 33
22. Tenseurs symétriques et antisymétriques 34
23. Champs de tenseurs 36
24. Image d un champ de tenseurs par une application différentiable/
de Vn dans Wv 37
D) Compléments 38
25. Variétés différentiables de dimension infinie 38
XIV TABLE DES MATIÈRES
Chapitre II. — Formes différentielles extérieures. Intégration 54
A) Algèbre extérieure. Différentielle extérieure 55
1. Définition des formes différentielles extérieures 55
2. Algèbre extérieure 55
3. Base et composantes strictes de l algèbre extérieure d ordre p dans le
domaine d une carte 56
4. Transformée d une forme différentielle par une application diffé
rentiable 58
5. Différentiation extérieure 59
6. Propriétés globales 63
B) Intégration des formes différentielles 66
7. Orientation 66
8. Partition de l Unité 67
9. Intégration d une forme différentielle de degré n sur une variété de
dimension n « orientée » 69
10. Calcul pratique des intégrales multiples sur les variétés simples
usuelles 72
C) Formule de Stokes 74
11. La formule de Stokes 74
12. Formule de Stokes pour un pavé P de RP 77
13. Formule de Stokes pour une chaîne 78
14. Formule de Stokes pour une variété à bord 79
D) Compléments 81
15. Théorèmes de De Rham 81
16. Homologie compacte 84
Chapitre III. — Variétés riemaniennes 89
A) Définitions 89
1. Définition 89
2. Correspondance canonique entre tenseurs contra variants et cova
riants 90
3. Elément de volume. Formes adjointes 92
4. Variétés proprement riemaniennes. Groupe orthogonal 93
5. Variétés hyperboliques. Groupe de Lorentz 94
6. Existence de structures riemaniennes sur une variété paracompacte. 100
7. Métrique induite 103
8. Isométries 105
B) Géodésiques 108
9. Introduction 108
10. Equations d Euler 109
11. Intégrale première de l énergie 111
12. Equations différentielles des géodésiques d une variété riemanienne 112
13. Existence locale. Coordonnées normales géodésiques 114
TABLE DES MATIÈRES XV
14. Variété riemanienne géodésiquement complète 116
15. Variétés proprement riemaniennes 117
16. Variétés hyperboliques 120
C) Compléments. Spineurs 125
17. Introduction 125
18. Algèbre de Clifford et Groupe spinoriel 126
19. Spineurs sur un espace vectoriel 129
20. Spineurs sur une variété riemanienne 130
Chapitre IV. — Groupes de transformations différentiables 137
A) 137
1. Rappel sur les équations différentielles dans un espace vectoriel
norme 137
2. Groupe à un paramètre 139
3. Transformations infinitésimales 140
4. Dérivées de Lie 143
5. Champs de tenseurs invariant par un groupe local à un paramètre
de difféomorphismes 150
6. Groupes de Lie de transformations différentiables de Vn 153
7. Cas où Vn est un groupe de Lie. Algèbre de Lie 154
8. Formes différentielles invariantes sur un groupe de Lie G 156
9. Sous groupes à un paramètre d un groupe de Lie 159
10. Coordonnées canoniques dans un voisinage de e 161
11. Champ de tenseurs invariant par un groupe de Lie de transforma¬
tions différentiables 164
12. Propriétés des vecteurs de Killing 164
B) Invariants intégraux 166
13. Forme différentielle invariante pour les trajectoires d un système
différentiel 166
14. Invariant intégral absolu 170
15. Système différentiel admettant une transformation infinitésimale... 172
C) Compléments. Opérateurs différentiels invariants sur un groupe de Lie 173
16. Opérateurs différentiels sur une variété 173
17. Opérateur différentiel invariant par un difféomorphisme 174
18. Cas où Vn est un groupe de Lie 176
19. Détermination d un groupe de Lie par son algèbre de Lie 178
Chapitre V. — Systèmes différentiels extérieurs 187
A) Généralités 187
1. Système d équations extérieures 187
2. Systèmes différentiels extérieurs 188
3. Systèmes différentiels fermés 189
B) Systèmes de Pfaff. 189
4. Définition 189
5. Systèmes de Pfaff complètement intégrables 191
XVI TABLE DES MATIÈRES
6. Théorème de Frobénius 192
7. Un système de Pfaff est dit complètement intégrable sur une variété
Vn si 196
8. Point de vue dual 196
C) Systèmes différentiels extérieurs 198
9. Espace associé d une forme extérieure 198
10. Construction de l espace Q* associé à une forme extérieure co 199
11. Système associé d une forme différentielle extérieure 201
12. Système associé d un système de formes extérieures 202
13. Système associé d un système différentiel extérieur 205
14. Variétés caractéristiques 209
D) Equations aux dérivées partielles du premier ordre 210
15. La résolution d une équation aux dérivées partielles du premier
ordre dans Rn 210
16. Problème de Cauchy 212
17. Cas de l espace Ri 216
18. Cas des équations quasi linéaires 217
19. Cas des équations homogènes de degré 1 219
20. Equations linéaires homogènes 220
Chapitre VI. — Connexions 228
A) Connexions linéaires. Première définition 229
1. Définition d une connexion linéaire. Différentielle absolue d un
champ de vecteur. . 229
2. Parallélisme 231
3. Différentielle d un vecteur covariant 233
4. Différentielle absolue d un tenseur 235
5. Torsion d une connexion linéaire 237
6. Courbure d une connexion linéaire 239
7. Identités satisfaites par courbure et torsion 240
8. Connexion riemanienne 242
9. Géodésiques d une variété riemanienne 244
10. Courbure d une connexion riemanienne. Identités 245
11. Opérateurs différentiels sur une variété riemanienne 246
12. Espaces plats 250
B) Connexions sur un espace fibre principal 251
13. Espace fibre principal L( Vn) 252
14. Définition et propriétés des espaces fibres principaux 252
15. Application linéaire définissant une connexion 254
16. Transport parallèle dans P(Vn) 255
17. Sous espaces horizontaux et verticaux 255
18. Forme de connexion 256
19. Existence de connexions sur un espace fibre principal de base Vn
paracompacte 257
20. Forme de courbure 258
TABLE DES MATIÈRES XVII
C) Connexions linéaires. Deuxième définition 260
21. Définition 260
22. Traduction en coordonnées locales 261
23. Tenseurs de courbure et de torsion 264
24. Transport parallèle dans E(Vn) 267
25. Dérivation covariante 267
26. Différentielle absolue d un vecteur covariant 268
27. Transport parallèle et différentielle absolue des tenseurs 269
28. Traduction en coordonnées locales 270
29. Connexion riemanienne 271
Chapitre VII. — Applications aux sciences physiques 280
A) Mécanique analytique classique 281
1. Structure géométrique de l espace temps V4 de Galilée Newton.... 281
2. Cinétique 283
3. Loi fondamentale de la dynamique 284
4. Systèmes à un nombre fini de degrés de liberté 285
5. Systèmes holonomes à liaisons parfaites — Equations de Lagrange. 286
6. Equations d Hamilton 290
7. Principes variationnels 292
8. Interprétations riemaniennes 293
9. Invariant intégral de la dynamique 294
10. Transformations canoniques 295
11. Equation de Jacobi 297
B) Relativité restreinte 298
12. Espace temps de Minkovski 299
13. Dynamique du point en relativité restreinte 301
C) Electromagnétisme 305
14. Equations de Maxwell 305
15. Forme intrinsèque des équations de Maxwell dans les milieux non
inductifs 307
16. Champ électromagnétique sur une variété hyperbolique 309
17. Tenseur de Maxwell 310
18. Invariance du champ électromagnétique par un système différentiel. 311
19. Champ électromagnétique singulier 313
20. Equations d onde 314
D) Relativité générale et mécanique des fluides relativistes 316
21. Relativité générale 316
22. Mécanique des fluides relativistes 317
23. Théorie relativiste de la gravitation 320
Bibliographie sommaire 323
Index 325
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