Grundlagen der Geometrie:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1972
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| Ausgabe: | 11. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Teubner Studienbücher : Mathematik
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Inhalt.
Seite
Einleitung i
Erstes Kapitel. Die fünf Axiomgruppen 2
§ 1. Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen . 2
§2. Die Axiomgruppe I: Axiome der Verknüpfung 5
§3. Die Axiomgruppe II: Axiome der Anordnung 4
§ 4. Folgerungen aus den Axiomen der Verknüpfung und der An¬
ordnung 5
§5. Die Axiomgruppe III: Axiome der Kongruenz 11
§6. Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz 15
§7. Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen 28
§8. Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit 30
Zweites Kapitel. Die Widerspruchsfreiheit und gegen¬
seitige Unabhängigkeit der Axiome 34
§ 9. Die Widerspruchsfreiheit der Axiome 34
§ 10. Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms (Nicht Euklidische
Geometrie) 38
§11. Die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome 45
§ 12. Die Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome V (Nicht Archi¬
medische Geometrie) 47
Drittes Kapitel. Die Lehre von den Proportionen . 51
§ 13. Komplexe Zahlensysteme 51
§ 14. Beweis des Pascalschen Satzes 53
§ 15. Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes . 60
§ 16. Die Proportionen und die Ähnlichkeitssätze 64
§ 17. Die Gleichungen der Geraden und Ebenen 66
Viertes Kapitel. Die Lehre von den Flächeninhalten in
der Ebene 69
§ 18. Die Zerlegungsgleichheit und Ergänzungsgleichheit von Poly¬
gonen 69
§ 19. Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und
Höhe 71
§ 20. Das Inhaltsmaß von Dreiecken und Polygonen. 75
§ 21. Die Ergänzungsgleichheit und das Inhaltsmaß 78
VI Inhalt
Seite
Fünftes Kapitel. Der Desarguessche Satz 83
§ 22. Der Desarguessche Satz und sein Beweis in der Ebene mit
Hilfe der Kongruenzaxiome 83
§ 23. Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der
Ebene ohne Hilfe der Kongruenzaxiome 85
§ 24. Einführung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongru¬
enzaxiome auf Grund des Desarguesschen Satzes 88
§ 25. Das kommutative und assoziative Gesetz der Addition in
der neuen Streckenrechnung 90
§ 26. Das assoziative Gesetz der Multiplikation und die beiden
distributiven Gesetze in der neuen Streckenrechnung . 93
§ 27. Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Strecken¬
rechnung 96
§ 28. Der Inbegriff der Strecken aufgefaßt als komplexes Zahlen¬
system 98
§ 29. Aufbau einer räumlichen Geometrie mit Hilfe eines Desar¬
guesschen Zahlensystems 99
§ 30. Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes 102
Sechstes Kapitel. Der Pascalsche Satz 104
§31. Zwei Sätze über die Beweisbarkeit des Pascalschen Satzes 104
§ 32. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Archimedi¬
schen Zahlensystem 105
§ 33. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht Archi¬
medischen Zahlensystem 107
§ 34. Beweis der beiden Sätze über den Pascalschen Satz. (Nicht
Pascalsche Geometrie) 110
§ 35. Beweis eines beliebigen Schnittpunktsatzes mittels des Pas¬
calschen Satzes in
SiebentesKapitel. Die geometrischen Konstruktionenauf
Grund der Axiome I—IV 115
§ 36. Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und Eich¬
maßes 115
§ 37. Kriterium für die Ausführbarkeit geometrischer Konstruk¬
tionen mittels Lineals und Eichmaßes 118
Schlußwort 124
Anhang I. Über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier
Punkte 126
Anhang II. Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im
gleichschenkligen Dreieck 133
Inhalt VII
Anhang III. Neue Begründung der Bolyai Lobatschefskyschen Geo Seite
metrie 159
Anhang IV. Über die Grundlagen der Geometrie 178
Anhang V. Über Flachen von konstanter Gaußscher Krümmung . 231
Supplement I 1 Bemerkungen zu §§ 3—4 241
Supplement I 2 Zu § 13 243
Supplement II Vereinfachte Begründung der Proportionenlehre 243
Supplement III Zur Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene 248
Supplement IV 1 Bemerkung zur Einführung einer Streckenrech¬
nung auf Grund des Desarguesschen Satzes . 258
Supplement IV 2 Zu § 37 259
Supplement V 1 Zerlegungsgleichheit in den Modellen des Anhan¬
ges II 259
Supplement V 2 Huberts Axiom der Einlagerung 264
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