Vorlesungen über Funktionalanalysis:
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| Sprache: | German |
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Berlin
Dt. Verl. der Wiss.
1973
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| Schriftenreihe: | Hochschulbücher für Mathematik
27 |
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Kapitel I. Differentiation
Der Satz von Lebesgüe über die Ableitung einer monotonen Funktion 1
1. Beispiel einer stetigen nirgends differenzierbaren Funktion. - 2. Der Satz von
Lebesgüe über die Ableitung einer monotonen Funktion. Mengen vom Maß Null. -
3. Beweis des Satzes von Lebesgüe. - 4. Funktionen von endlicher Variation.
Einige unmittelbare Folgerungen aus dem Satz von Lebesgüe 9
5. Der Satz von Fubini über die Differentiation von Reihen mit monotonen Gliedern.
- 6. Verdichtungspunkte linearer Punktmengen. - 7. Sprungfunktionen. - 8. Beliebige
Funktionen von endlicher Variation. - 9. Satz von Denjoy-Young-Saks über die
Ableitungszahlen allgemeiner Funktionen.
Intervallfunktionen 16
10. Vorbemerkungen. - 11. Erster Fundamentalsatz. - 12. Zweiter Fundamentalsatz.
- 13. DABBOuxsche und RiEMANNsche Integrale. - 14. Der Satz von Darboux. -
15. Funktionen von endlicher Variation. Rektifizierbare Kurven.
Kapitel II. Das Lebesguesche Integral
Definition und Haupteigenschaften 25
16. Integrale von Treppenfunktionen. Zwei Hilfssätze. - 17. Das Integral summier¬
barer Funktionen. - 18. Gliedweise Integration einer wachsenden Folge (Satz von
Beppo Levi). - 19. Gliedweise Integration einer Folge mit summierbarer Majorante
(Satz von Lebesgüe). - 20. Sätze über die Integrierbarkeit einer Grenzfunktion. -
21. Die ScHWARZsche, die HöLDERsche und die MiNKOwsKische Ungleichung. -
22. Meßbare Mengen und meßbare Funktionen.
Unbestimmte Integrale. Absolut stetige Funktionen 42
23. Die Totalvariation und die Ableitung eines unbestimmten Integrals. - 24. Bei¬
spiel einer monotonen stetigen Funktion mit fast überall verschwindender Ablei¬
tung. - 25. Absolut stetige Funktionen. Kanonische Zerlegung monotoner Funk¬
tionen. - 26. Partielle Integration und Integration durch Substitution. - 27. Das
Integral als Mengenfunktion.
Der Raum I? und seine linearen Funktionale. Die Räume LP 51
28. Der Raum L*. Konvergenz im Mittel. Satz von Riesz-Fischer. - 29. Schwache
Konvergenz. - 30. Lineare Funktionale. - 31. Folgen linearer Funktionale. Ein Satz
von Osgood. - 32. Die Separabilität von Iß. Das Auswahltheorem. - 33. Orthonor-
mierte Systeme. - 34. Unterräume von L*. Zerlegungssatz. - 35. Ein anderer Beweis
i des Auswahltheorems. Fortsetzung von Funktionalen. - 36. Der Raum LP und seine
linearen Funktionale. - 37. Ein Satz über die Konvergenz im Mittel. - 38. Ein Satz
von Banach-Saks.
i
VIII Inhaltsverzeichnis
Funktionen mehrerer Veränderlicher 73
39. Definitionen. Übertragungsprinzip. - 40. Sukzessive Integrationen. Satz von
Fübini. - 41. Ableitungen einer additiven niohtnegativen Rechtecksfunktion be¬
züglich eines Gitternetzes. Parallelverschiebung des Netzes. - 42. Rechtecks¬
funktionen von endlicher Variation. Konjugierte Netze. - 43. Additive Mengen¬
funktionen, (ß)-meßbare Mengen.
Andere Definitionen des LEBESGtrEschen Integrals 83
44. (2,)-meßlare Mengen. - 45. (L)-meßbare Funktionen und (i)-Integral. - 46. An¬
dere Definitionen. Satz von Egoroit. - 47. Elementarer Beweis der Sätze von Ar-
zela und Osgood. - 48. Die Integration als Umkehrung der Differentiation.
Kapitel III. Das Stieltjessche Integral und seine Verallgemeinerungen
Lineare Funktionale im Raum der stetigen Funktionen 97
49. Das STiELTJEssche Integral. - 50. Lineare Funktionale im Raum C. - 51. Die
Eindeutigkeit der erzeugenden Funktion. - 52. Fortsetzung eines linearen Funktio¬
nais. - 53. Approximationssatz. Momentenproblem. - 54. Partielle Integration.
Zweiter Mittelwertsatz. - 55. Folgen von Funktionalen.
Verallgemeinerungen des Stieltjes-Integrals 113
56. Die SiiELTJEs-RiEMANNschen und STiELTJEs-LEBESGTTESchen Integrale. -
57. Reduktion des STiEi/rJEs-LEBESGiTEschen Integrals auf ein LEBESGUESches
Integral. - 58. Beziehungen zwischen zwei SnELTJES-LEBESGUEschen Integralen. -
59. Funktionen mehrerer Variabler. Direkte Definition. - 60. Definition mit Hilfe
des Übertragungsprinzips.
Das DANiELLSche Integral 122
61. Positive lineare Funktionale. - 62. Funktionale von veränderlichem Vor¬
zeichen. — 63. Die Ableitung eines Funktionais bezüglich eines anderen.
Kapitel IV. Integralgleichungen
Verfahren der sukzessiven Approximationen 131
64. Einführung. - 65. Beschränkte Kerne. - 66. Quadratisch summierbare Kerne.
Lineare Transformationen des Raumes L*. - 67. Inverse Transformation. Reguläre
und singuläre Werte. - 68. Iterierte Kerne, lösende Kerne. - 69. Approximation
eines beliebigen Kernes durch ausgeartete Kerne.
FREDHOLMsche Alternativ« 149
70. Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen. - 71. Integralgleichungen mit
Kernen vom allgemeinen Typ. - 72. Zerlegung an der Stelle eines singulären
Wertes. - 73. Die FREDHOLMsche Alternative für allgemeine Kerne.
Die FREDHOLMschen Determinanten 159
74. Das FREDHOLMsche Verfahren. - 75. Die ÜADAMARDSche Ungleichung.
Ein anderes auf der Vollstetigkeit beruhendes Verfahren 164
76. Vollstetigkeit. - 77. Die Unterräume 3Hn und 9J„. - 78. Die Fälle v = 0 und
»äli Zerlegungssatz. - 79. Verteilung der singulären Werte. - 80. Kanonische
Zerlegung an der Stelle eines singulären Wertes.
Anwendungen auf die Potentialtheorie 176
81. DiBiCHLETSches und NEUMANNSches Problem; Lösung nach der Methode von
Fredholm.
Inhaltsverzeichnis IX
Kapitel V. Hilbertsche und Banachsche Räume
Der HiLBERTsche Raum 181
82. Der HiLBERTsche Folgenraum. - 83. Der abstrakte HiLBERTsche Raum. -
84. Lineare Transformationen des HiLBERTSchen Raumes. Grundlegende Begriffe. -
85. Lineare vollstetige Transformationen.-86. Biorthogonale Folgen. Ein Satz von
Paley und Wiener.
BANACHSche Räume 19
87. BANACHsche Räume und ihre konjugierten Räume. - 88. Lineare Transforma¬
tionen und ihre adjungierten Transformationen. - 89. Funktionalgleichungen. -
90. Transformationen des Raumes der stetigen Funktionen. - 91. Weiteres zur
Potentialtheorie.
Kapitel VI. Vollstetige symmetrische Transformationen des Hilbertschen Raumes
, Existenz von Eigenelementen. Entwicklungssatz 214
92. Eigenwerte und Eigenelemente. Einfachste Eigenschaften symmetrischer
Transformationen. - 93. Vollstetige symmetrische Transformationen. - 94. Lösung
der Funktionalgleichung / — /.Af = g. - 95. Direkte Bestimmung des ra-ten Eigen¬
wertes von gegebenem Vorzeichen. - 96. Ein anderes Verfahren zur Konstruktion
der Eigenwerte und Eigenelemente.
Transformationen mit symmetrischem Kern 227
, 97. Die Sätze von Hilbert und Schmidt. - 98. Der Satz von Mercer.
Anwendungen auf das Problem der schwingenden Saite und auf fastperiodische Funk¬
tionen 236
99. Das Problem der schwingenden Saite. Die Räume D und H. - 100. Problem der
schwingenden Saite. Eigenschwingungen. - 101. Der Raum der fastperiodischen
Funktionen. - 102. Beweis des Fundamentalsatzes über die fastperiodischen Funk¬
tionen. - 103. Isometrische Transformationen eines endh chdimensionalen Raumes.
Kapitel VII.
Beschränkte symmetrische, unitäre und normale Transformationen des Hilbertraumes
Symmetrische Transformationen 247
104. Einige grundlegende Eigenschaften. - 105. Projektionen. - 106. Funktionen
einer beschränkten symmetrischen Transformation. - 107. Spektralzerlegung einer
beschränkten symmetrischen Transformation. - 108. Poäitiver und negativer Teil
einer symmetrischen Transformation. Anderer Beweis für die Spektralzerlegung.
Unitäre und normale Transformationen 265
109. Unitäre Transformationen. - 110. Normale Transformationen. Faktorisierun-
gen. - 111. Spektralzerlegung normaler Transformationen. Funktionen mehrerer
Transformationen.
Unitäre Transformationen des Raumes I? 276
112. Ein Satz von Bochner. - 113. Die Transformationen von Fourier-Plan-
cherel und von Watson.
X Inhaltsverzeichnis
Kapitel VIII.
Nichtbeschränkte lineare Transformationen des Hilbertschen Raumes
Verallgemeinerung des Begriffs der linearen Transformation 281
114. Ein Satz von Hellinger und Toeplitz. Erweiterung des Begriffs der linearen
Transformation. - 115. Adjungierte Transformationen. — 116. Vertauschbarkeit.
Reduktion. - 117. Der Graph einer Transformation. - 118. Die Transformationen
B= (I + T*T)- und C= T (1 + T*T)-
Selbstadjungierte Transformationen. Spektralzerlegung 293
119. Symmetrische und selbstadjungierte Transformationen. Definitionen und
Beispiele. - 120. Spektralzerlegung einer selbstadjungierten Transformation. -
121. Methode von von Neumann. CAYLEY-Transforcnierte. - 122. Halbbeschränkte
selbstadjungierte Transformationen.
Fortsetzung symmetrischer Transformationen 309
123. CAYLEY-Transformierte. Defektindizes. - 124. Halbbeschränkte symmetrische
Transformationen. Methode von Friedrichs. - 125. Methode von Krein.
Kapitel IX.
Selbstadjungierte Transformationen: Funktionalkalkiil, Spektrum, Störungen
Funktionalkalkül 323
126. Beschränkte Funktionen. - 127. Nicht beschränkte Funktionen. Definitionen. -
128. Nicht beschränkte Funktionen. Rechenregeln. - 129. Charakteristische Eigen¬
schaften der Funktionen einer selbstadjungierten Transformation. - 130. Endliche
oder abzählbare Mengen vertauschbarer selbstadjungierter Transformationen. -
131. Behebige Mengen vertauschbarer selbstadjungierter Transformationen.
Das Spektrum einer selbstadjungierten Transformation und seine Störungen 344
W2. Das Spektrum einer selbstadjungierten Transformation. Zerlegung in Punkt¬
spektrum und kontinuierliches Spektrum. - 133. Häufungspunkte des Spektrums. -
134. Störung des Spektrums durch Addition einer vollstetigen Transformation. —
135. Stetige Störungen. - 136. Analytische Störungen.
Kapitel X.
Gruppen und Halbgruppen von Transformationen
Unitäre Transformationen 363
137. Der Satz von Stone. - 138. Ein weiterer Beweis, der auf dem Satz von Boch-
ner beruht. - 139. Einige Anwendungen des Satzes von Stone. - 140. Unitäre Dar¬
stellungen allgemeinerer Gruppen.
Nicht unitäre Transformationen 376
141. Gruppen und Halbgruppen selbstadjungierter Transformationen. - 142. In¬
finitesimale Transformation einer Halbgruppe von Transformationen allgemeinen
Typs. - 143. Exponentialformeln.
Ergodensätze 388
144. Die ersten Methoden. - 145. Methoden, die auf Konvexitätsbetrachtungen be¬
ruhen. - 146. Halbgruppen nicht vertauschbarer Kontraktionen.
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitel XI. Spektraltheorie linearer Transformationen von allgemeinem Typ
Anwendungen funktionentheoretischer Methoden 397
147. Das Spektrum. Kurvenintegrale. - 148. Zerlegungssatz. - 149. Beziehungen
zwischen dem Spektrum und den Normen der iterierten Transformationen. -
150. Anwendung auf absolut konvergente trigonometrische Reihen. - 151. Elemente
eines Funktionalkalküls. - 152. Zwei Beispiele.
Spektralmengen nach J. von Neumann 417
153. Grundlegende Sätze. - 154. Spektralmengen. - 155. Charakterisierung der sym¬
metrischen, unitären und normalen Transformationen durch ihre Spcktralmengen.
Anhang
Fortsetzung linearer Transformationen des HiLBERTSchen Raumes mit Austritt aus
dem Raum 427
§ 1. Einleitung. - § 2. Verallgemeinerte Spektralscharen. Satz von Nettmark. -
§ 3. Momentfolgen von Transformationen. - § 4. Kontraktionen des Hu.BERTsehen
Raums. - § 5. Normale Fortsetzungen. - § 6. Der Hauptsatz. - § 7. Beweis des
NEUMABKSchen Satzes. - § 8. Beweis des Satzes über Momentfolgen. - § 9. Beweis
der Sätze über Kontraktionen. - § 10. Beweis des Satzes über normale Fortsetzungen.
Nachtrag 459
Literaturverzeichnis 463
Namen- und Sachverzeichnis 473
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