Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1973
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| Ausgabe: | 2., erg. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
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Seite
Kapitel I. Einführung 1
§ 1. Spiegelungen in der euklidischen Ebene 1
1. Involutorische Bewegungen S. 2. — 2. Darstellung der Bewegungen
durch Spiegelungsprodukte S. 3- — 3- Das Bewegen von Bewegungen
(Transformieren) S. 9- — 4. Formulierung geometrischer Beziehungen in
der Bewegungsgruppe S. 11. — 5- Beweis einiger Sätze durch Rechnen
mit Spiegelungen S. 13.
§ 2. Der Begriff der metrischen Ebene 19
1. Modelle der stetigen elliptischen Ebene S. 19. — 2. Das KLEiNsche
Modell der stetigen hyperbolischen Ebene S. 22. — 3. Metrische Ebenen
S. 24. — 4. Formulierung der ebenen metrischen Geometrie in der Be¬
wegungsgruppe S. 26. — 5. Beweise S. 29.
Kapitel II. Metrische (absolute) Geometrie 32
§ 3- Das Axiomensystem der metrischen (absoluten) Geometrie 32
1. Involutorische Elemente einer Gruppe. Grundrelationen S. 32. —
2. Axiomensystem S. 33. — 3. Gruppenebene. Bewegungen der Gruppen¬
ebene S. 34. — 4. Erste Folgerungen aus dem Axiomensystem S. 37- —
5. Das Im-Büschel-Liegen S. 40. — 6. Lotensatz S. 42. — 7. Darstellung
einer Bewegung S. 44. — 8. Gerade und ungerade Bewegungen. Axiom
vom Polardreiseit S. 46. — 9. Punkt-Geraden-Analogie S. 48. — 10. Fix¬
geraden und Fixpunkte einer Bewegung S. 51- — 11- Existenz von
Punkten und Geraden S. 55.
§ 4. Sätze der metrischen Geometrie 56
1. Mittelsenkrechtensatz S. 56. — 2. Höhensatz S. 57. — 3. Fu߬
punktsatz S. 59- — 4. Transitivitätssatz S. 62. — 5- Geradenbüschel
S. 64. — 6. Winkelhalbierendensatz S. 67. — 7. Lemma von den neun
Geraden S. 67. — 8. Gegenpaarung S. 68. — 9. Satz von Pappus-
Brianchon S. 71. — 10. Seitenhalbierendensatz S. 74.
§ 5- Projektive und projektiv-metrische Ebenen 76
1. Projektive Ebenen S. 76. — 2. Projektive Geometrie der eindimen¬
sionalen Grundgebilde S. 82. — 3. Ebene projektive Kollineationen
S. 85. — 4. Korrelationen, Polaritäten S. 88. — 5- Projektiv-metrische
Ebenen S. 89. — 6. Die Recht winkelin volution S. 91.
§ 6. Begründung der metrischen Geometrie 93
1. Halbdrehungen der Geraden S. 94. — 2. Die durch Halbdrehungen
bewirkten Büschelabbildungen S. 97. — 3. Zur Definition der Halb¬
drehung S. 99. — 4. Erweiterung der Gruppenebene zur Idealebene
S. 101. — 5. Die Idealebene einer Bewegungsgruppe S. 103- — 6. Die von
den Halbdrehungen um einen Idealpunkt erzeugte Gruppe S. 107- —
7. Die Axiome der euklidischen und der nichteuklidischen Metrik S. 109-
XIV Inhaltsverzeichnis
Seite
8. Metrisch-euklidische Ebenen S. 110. — 9- Die absolute Polar-Involu-
tion in der Idealebene einer metrisch-euklidischen Bewegungsgruppe
S. 114. — 10. Die absolute Polarität in der Idealebene einer metrisch-
nichteuklidischen Bewegungsgruppe S. 115- — 11. Haupt - Theorem
S. 120. — 12. Euklidische und elliptische Bewegungsgruppen S. 121.
Note über freie Beweglichkeit 124
§ 7. Über das Transitivitätsgesetz für beliebige involutorische Elemente . .127
1. Gesetze über beliebige involutorische Elemente, welche in den me¬
trisch-nichteuklidischen Bewegungsgruppen gelten S. 127. — 2. Über
die axiomatische Kennzeichnung der elliptischen Bewegungsgruppen
S. 130. — 3- Büschel von involutorischen Elementen S. 132. — 4. Zwei-
spiegelige Gruppen, in denen das Transitivitätsgesetz gilt S. 133. —
5. Die THOMSEN-Relation S. 135.
Note über die Algebraisierung der affinen und projektiven Ebenen . . 137
Kapitel III. Projektiv-metrische Geometrie 140
§ 8. Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume . . 141
1. Projektive und projektiv-metrische Koordinatenebenen S. 141. —
2. Vektorräume S. 144. — 3- Metrische Vektorräume und orthogonale
Gruppen S. 146. — 4. Projektiv-metrische Ebenen und metrische Vektor¬
räume S. 151. — 5- Über den Satz von den drei Spiegelungen S. 154.
§9. Orthogonale Gruppen 157
1. Überblick S. 157- — 2. Ein Lemma S. 159. — 3. Die Gruppen
0$(K,F) mit binärer nullteiliger Form S. 160. — 4. Die Gruppen
O3 (K, F) mit binärer nullteiliger Form als euklidische Bewegungsgruppen
S. 163. — 5- Die Gruppen 0£(K,F) mit ternärer nullteiliger Form
S. 164. — 6. Die Gruppen OJ (K,F) mit ternärer nullteiliger Form als ellip¬
tische Bewegungsgruppen S. 165- — 7- Die Gruppen 0^(K,F) mit be¬
liebiger ternärer Form S. 166. — 8. Gesetze über die involutorischen
Elemente der Gruppe O J (K, F) mit ternärer, nicht nullteiliger Form S. 168.
§ 10. Darstellung metrischer Vektorräume und ihrer orthogonalen Gruppen
mit Hilfe hyperkomplexer Systeme 170
1. Normierte ternäre Formen S. 170. — 2. Quaternionen S. 174. —
3. Die Norm einer eigentlich-orthogonalen Transformation S. 178. —
4. Zweireihige Matrizen über K. Die lineare Gruppe L%(K) S. 180. —
5. Konstruktion metrisch-nichteuklidischer Bewegungsgruppen S. 183-
§11. Die Bewegungsgruppen der hyperbolischen projektiv-metrischen Ebenen
als abstrakte, aus ihren involutorischen Elementen erzeugte Gruppen
(//-Gruppen) 186
1. Das Axiomensystem der H-Gruppen S. 187. — 2. Büschel von
involutorischen Elementen. Folgerungen aus der Grundannahme und
Axiom T S. 188. — 3. Enden. Folgerungen aus den Axiomen ~V,
UV1, UV2 S. 189. — 4. Endenrechnung S. 191. — 5. Darstellung durch
gebrochen-lineare Transformationen S. 195. — 6. Zusammenfassung
S. 198. — 7. Eine spezielle Klasse von involutorischen Elementen der
H-Gruppen S. 198.
Kapitel IV. Euklidische Geometrie 200
§12. Der Satz von Pappus-Pascal in der euklidischen Geometrie 201
1. Axiome und erste Folgerungen S. 201. — 2. Hilfssätze über par¬
allele Geraden S. 202. — 3. Sechs Beweise des Satzes von Pappus-
Pascal s. 205.
Inhaltsverzeichnis XV
Seite
§13. Algebraische Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen 210
1. Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen als Bewegungs¬
gruppen euklidischer Koordinatenebenen S. 210. — 2. Spezielle eukli¬
dische Bewegungsgruppen S. 215-
Kapitel V. Hyperbolische Geometrie 217
§ 14- Hyperbolische Bewegungsgruppen 219
1. Die Axiome der hyperbolischen Bewegungsgruppen S. 219. —
2. Enden S. 221. — 3. Das BERGAUsche Lemma vom Ende S. 222. —
4. Verbindbarkeit der Enden S. 224. — 5. Hyperbolische Bewegungsgrup¬
pen und H-Gruppen S. 226. — 6. Forderungen, die mit dem hyperboli¬
schen Axiom H äquivalent sind S. 229.
§ 1 5. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen durch binäre lineare
Gruppen 231
1. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen S. 231. — 2. Hy¬
perbolische Bewegungsgruppen, in denen jede Gerade Enden angehört
5. 236.
Kapitel VI. Elliptische Geometrie 237
§16. Begründung der elliptischen Geometrie 239
1. Elliptische Bewegungsgruppen und ihre Gruppenebenen S. 239. —
2. Der Satz von Pappus-Pascal S. 241. — 3- Darstellung einer ellipti¬
schen Bewegungsgruppe als Bewegungsgruppe einer projektiv-metri-
schen Ebene S. 243.
§ 17. Der Gruppenraum einer elliptischen Bewegungsgruppe 244
1. Büschel und Drehgruppen S. 244. — 2. Räumliche projektive
Inzidenzaxiome S. 245- — 3- Der Gruppenraum S. 246, — 4. Rechts¬
und Linksparallelismus. CLiFFORDSche Flächen S. 250. — 5. Beweis
des Satzes von Pappus-Pascal aus räumlichen Tatsachen S. 252. —
6. Die Quadrate in einer elliptischen Bewegungsgruppe. Das Beweg¬
lichkeitsaxiom S. 256. — 7. Bewegungen des Gruppenraumes S. 259. —
8. Erzeugbarkeit von CLIFFORD-Flächen durch Rotation S. 262. —
9. Halbdrehungen in der Gruppenebene und Schiebungen im Gruppen¬
raum S. 265. — 10. Deutung des Gruppenraumes in der Gruppenebene
S. 268. — 11. Ein Satz von Baer S. 271.
Anhang 274
§ 18. Über die metrischen Bewegungsgruppen 275
1. Über verschiedene Erzeugendensysteme derselben Gruppe S. 275. —
2. Die projektiv-metrischen Bewegungsgruppen S. 277. — 3. Die voll¬
ständigen metrischen Bewegungsgruppen S. 277. — 4. Metrische Unter-
Bewegungsgruppen S. 278. — 5- Zugehörige metrische Unter-Bewegungs¬
gruppen S. 279. — 6. Beispiele S. 280.
§ 19. Metrisch-euklidische Ebenen 286
1. Geometrische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teilebenen
S. 286. — 2. Algebraische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teil¬
ebenen S. 288. — 3. Metrisch-euklidische Teilebenen mit freier Beweg¬
lichkeit S. 293- — 4. Metrisch-euklidische Unter-Bewegungsgruppen
S. 295-
Literatur 297
Zusammenstellung besonderer Zeichen 303
Axiomentafel 304
XVI Inhaltsverzeichnis
Seite
Anmerkungen 305
1. Axiomensystem der metrischen Ebenen S. 305- — 2. Höhensatz
S. 305. — 3- Gegenpaarungssatz S. 306. — 4. Rechtseitsatz S. 306. —
5. Zur Definition der Idealgeraden und der absoluten Polarität in der
Idealebene S. 307- — 6. Abhängigkeit des Axioms UV 2 im Axiomen¬
system der //-Gruppen S. 309. — 7. Elliptische Geometrie S. 310. —
8. Zum Begriff „total ganzzahlig-einschließbar S. 310.
Supplement 311
§20. Ergänzungen und Hinweise auf die Literatur 311
1. Involutorisch erzeugte Gruppen S. 313. — 2. Geometrie involutori-
scher Gruppenelemente S. 314. — 3. Axiomensystem der ebenen absolu¬
ten Geometrie S. 318. — 4. Kleine Axiome, Axiomensystem des Senk¬
rechtstehens, Hjelmslev-Gruppen S. 318. — 5- Nicht-elliptische Hjelms-
lev-Gruppen S. 323. — 6. Minkowskische Gruppen S. 328. — 7. S-
Gruppen S. 330. — 8. Orthogonale und projektiv-orthogonale Gruppen
S. 333. — 9- M-dimensionale absolute Geometrie S. 335- — 10. Eigentlich-
keitsbereiche und vollständige Spiegelungsgruppen metrischer Vektor¬
räume S. 338. — 11. Gruppentheoretische Kennzeichnung orthogonaler
Gruppen S. 340. — 12. Kinematische Räume S. 342. — 13. Hilbert-
Ebenen S. 345. — 14. Modelle der absoluten Geometrie S. 349. — 15. Der
Satz von der dritten Quasispiegelung S. 354.
Neuere Literatur 358
Namen- und Sachverzeichnis 366
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