Statistische Methoden:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Dt. Verl. der Wiss.
1970
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| Ausgabe: | 2., berichtigte Aufl. |
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Kapitel 1. Einleitung 1
Kapitel 2. Einige einfache mathematische Begriffe 5
2.1. Einleitung 5
2.2. Mengen 8
2.3. Die Menge der reellen Zahlen 10
2.4. Abbildung von Mengen; Funktionen 12
2.5. Folgen; Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte 14
2.6. Kartesisches Produkt; n dimensionaler euklidischer Raum RH 15
2.7. Numerische. Rechnungen und das Aufsuchen von Tafelwerten 16
Kapitel 3. Experiment, zufälliges Ereignis, zufällige Veränderliche 18
3.1. Experiment 18
3.2. Zufälliges Ereignis; zufäUige Veränderliche 21
Kapitel 4. Wahrscheinlichkeit 24
4.1. Einleitung 24
4.2. Einführung des Begriffs Wahrscheinlichkeit 25
4.3. Bedingte Wahrscheinlichkeit 30
Kapitel 5. Zufällige Veränderliche und ihre Charakteristiken 32
5.1. Die Verteilungsfunktion 32
5.2. Diskrete zufällige Veränderliche 35
Bemerkung 1. Die Summe zweier zufälliger Veränderlicher 37
Bemerkung 2. Die zufällige Auswahl eines Gliedes einer Folge 38
5.3. Binomische zufällige Veränderliche 39
Bemerkung 1. Die Summe zweier binomischer zufälliger Veränderlicher 43
Bemerkung 2. Zufällige Verteilung von Objekten auf k Blöcke 43
5.4. Poissonsche zufällige Veränderliche 44
Bemerkung 1. Das Vorkommen von Objekten in der Ebene und im Raum 50
Bemerkung 2. Die Beziehung der Poissonschen Verteilung zur Binomialverteilung 51
Bemerkung 3. Die Verteilung von Objekten auf k Blöcke 51
Bemerkung 4. Die Summe zweier unabhängiger (Jt,) Poissonscher zufälliger Ver¬
änderlicher 54
5.5. Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen zufälli¬
gen Veränderlichen 54
X Inhalt
5.6. Normalverteilte zufällige Veränderliche 55
Bemerkung 1. Zentraler Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung 57
Bemerkung 2. Die Approximation anderer Verteilungsfunktionen durch eine Nor¬
malverteilung 58
5.7. 72,£2 verteilte zufällige Veränderliche 60
Bemerkung 1. Die Wartezeit im Poissonschen Prozeß 61
Bemerkung 2. F Verteilung 63
5.8. Die Verteilungsfunktion als Beschreibung des Wahrscheinlichkeitsverhaltens einer
zufälligen Veränderlichen im allgemeinen Fall 63
5.9. Der Erwartungswert 65
5.10. Quantil und Mediän 71
5.11. Varianz 73
Bemerkung 1. Varianz und Streuung des arithmetischen Mittels n unabhängiger
zufälliger Veränderlicher 76
Bemerkung 2. Zentraler Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung 78
5.12. Charakteristiken der Lage und der Variabilität 78
5.13. Symmetrie zufälliger Veränderlicher 79
5.14. Stochastische Unabhängigkeit 79
Bemerkung 1. Stochastische Unabhängigkeit der Schätzungen des Erwartungs¬
wertes und der Varianz normalverteilter zufälliger Veränderlicher 80
5.15. Die Beschreibung des Wahrscheinlichkeitsverhaltens einer Gruppe zufälliger Ereig¬
nisse oder Veränderlicher 80
5.16. Drei Typen von Abhängigkeiten 81
5.17. Lineare Prädiktion und Korrelationskoeffizient 83
Bemerkung 1. Zufällige Auswahl eines Gliedes aus einer Folge zweidimensionaler
Vektoren 85
Bemerkung 2. Schätzungen des Korrelationskoeffizienten 86
Bemerkung 3. Studium des Regressionskoeffizienten ß 87
5.18. Berechnung empirischer Charakteristiken der Folge x1, x2, ¦ • •, x„ 88
Bemerkung 1. Klassifizierung der Daten in Intervalle 96
5.19. Die Berechnung empirischer Charakteristiken der Folge [x1,;k1], ..., lxn,y„] 96
Bemerkung 1. Linearisierung von Abhängigkeiten 99
5.20. Die starken Gesetze der großen Zahlen 100
5.21. Unverzerrte und konsistente Schätzungen 103
Bemerkung 1. Schätzungen der Varianz bei der Messung verschiedener Werte 105
Kapitel 6. Prüfen von Wahrscheinlichkeitsmodellen 108
6.1. Einleitung 108
6.2. Prüfen eines Wahrscheinlichkeitsmodells 108
6.3. Prüfen des Typs einer Verteilungsfunktion 113
Kapitel 7. Wahl des Experiments 119
7.1. Einleitung 119
7.2. Zufällige Auswahl 119
7.3. Die technische Durchführung einer zufälligen Auswahl 121
Bemerkung 1. Zufälliges Ordnen und zufälliges Ausschließen von Elementen einer
Menge 124
7.4. Vergleich zweier oder mehrerer Behandlungen 124
Bemerkung 1. Homogenität 128
Bemerkung 2. Verallgemeinerung der Problematik 128
Inhalt X1
7.5. Wahl der Experimentaleinheit 129
7.6. Zusammenfassung der Ergebnisse eines Experiments 131
7.7. Retrospektive Studie 132
7.8. Beispiel der Formulierung eines Problems aus dem medizinischen Bereich als
wahrscheinlichkeitstheoretisches Problem: die Bewertung eines diagnostischen Tests 135
Kapitel 8. Spezielle Typen von Experimenten 141
8.1. Einleitung 141
8.2. Zufällige Blöcke 142
Bemerkung 1. Graphische Interpretation der Voraussetzung der Additivität 158
Bemerkung 2. Randomisierung 160
8.3. Lateinische Quadrate 162
8.4. Griechisch lateinische Quadrate 170
8.5. Bemerkungen über zufällige Blöcke, lateinische und griechisch lateinische Quadrate 173
8.6. Stochastische Approximationsmethode für das Aufsuchen optimaler Bedingungen 174
8.7. Varianzanalyse 187
Kapitel 9. Grundlegende Eigenschaften und Typen statistischer Methoden 203
9.1. Einleitung 203
9.2. Prüfmethoden 203
Bemerkung 1. Statistische Signifikanz 206
9.3. Statistische Methoden für die Wahl von Entscheidungen 207
9.4. Einige Typen von Mengen möglicher Entscheidungen 209
Bemerkung 1. Der Fall, daß die Folgen einzelner fehlerhafter Entscheidungen
unterschiedlich bewertet werden 216
9.5. Grundbedingung für die Anwendbarkeit statistischer Methoden 217
9.6. Gleichzeitige Anwendung mehrerer statistischer Methoden 217
Bemerkung 1. Das simultane Prüfen mehrerer Hypothesen auf Grund unabhängi¬
ger Experimente 221
9.7. Sequentielle und nichtsequentielle Methoden 222
9.8. Parametrische und nichtparametrische Methoden 223
9.9. Einige oft benutzte tabellierte Werte 225
Kapitel 10. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 229
10.1. Einleitung 229
10.2. Intervallschätzung (Mj), Schätzung einer unteren (M2) und einer oberen Grenze
(M3) einer unbekannten Wahrscheinlichkeit P(A) 232
Bemerkung 1. Tafeln für die Zahlen c, C 233
Bemerkung 2. Die Wahl des Umfangs n des Grundexperimenls 233
10.3. Methode für einen dichotomen Vergleich der unbekannten Wahrscheinlichkeit P(Ä)
mit gegebenen Zahlen pup2 246
10.4. Sequentielle Methode für einen dichotomen Vergleich der unbekannten Wahr¬
scheinlichkeit P(A) mit gegebenen Zahlen pu p2 248
Bemerkung 1. Die Anzahl n der unabhängigen Wiederholungen des Experiments £ 249
Bemerkung 2. Unterbrechung des sequentiellen Verfahrens 251
Bemerkung 3. Wiederholung des Experiments £ in Gruppen 252
Bemerkung 4. Vergleich der Methoden aus den §§ 10.3 und 10.4 252
10.5. Trichotomer Vergleich der unbekannten Wahrscheinlichkeit ?{A) mit einer gege¬
benen Zahl k 256
Bemerkung 1. Wahl des Umfangs n des Grundexperiments 257
XII Inhalt
10.6. Sequentielle Methode für eine Entscheidung, ob die unbekannte Wahrscheinlich¬
keit P(A) größer oder kleiner als 1/2 ist 259
Bemerkung 1. Anzahl der Wiederholungen des Experiments £ 264
Bemerkung 2. Wiederholungen des Experiments in Gruppen 264
Kapitel 11. Vergleich zweier und mehrerer zufälliger Ereignisse 266
11.1. Einleitung 266
Bemerkung 1. Die Bedeutung der Charakteristik
9y = P(A B)ljP(A B) + ?{B A)] 267
Bemerkung 2. Die Charakteristik q t im Fall der Unabhängigkeit der Ereignisse A, B 268
Bemerkung 3. Untersuchung der Charakteristik ipl mit den Methoden des Kapi¬
tels 10 _ 270
Bemerkung 4. Bestimmung der Anzahl von Wiederholungen der Experimente Sf
und der Häufigkeit des Ereignisses Ä, falls A, B unabhängige Ereig¬
nisse sind 270
11.2. Eine Methode zum Prüfen der Gleichheit Py= Pz~ •= Pk ^er Wahrscheinlich¬
keit p t — P(A j) von Ereignissen A, bzw. der Parameter p t von (n js p j) binomischen
zufälligen Veränderlichen 271
11.3. Verallgemeinerung der Prüfmethode des § 11.2 279
11.4. Beispiele für die Anwendung der Methoden aus Kapitel 10 zur Untersuchung der
Charakteristik pj 282
11.5. Intervallschätzung der Charakteristik pt für unabhängige Ereignisse A, B 286
11.6. Angenäherte Intervallschätzung der prozentualen Differenz zwischen den Wahr¬
scheinlichkeiten zweier unabhängiger Ereignisse, die kleine Wahrscheinlichkeiten
haben 292
Bemerkung 1. Benutzung der Tafeln 294
Kapitel 12. Poissonsche zufällige Veränderliche 297
12.1. Einleitung 297
12.2. Methoden zur Intervallschätzung des Parameters X einer Poissonschen zufälli¬
gen Veränderlichen 297
12.3. Prüfen der Annahme über die Gleichheit von k Erwartungswerten Poissonscher
zufälliger Veränderlicher 300
12.4. Vergleich der Erwartungswerte zweier Poissonscher zufälliger Veränderlicher 303
Kapitel 13. Verteilungsfunktionen 306
13.1. Einleitung 306
13.2. Intervallschätzungen einer Verteilungsfunktion 308
13.3. Die Methode von Wilcoxon zur Feststellung, welche von zwei zufälligen Verän¬
derlichen stochastisch größer ist 315
Bemerkung 1. Vorentscheidungen 320
Kapitel 14. Mediän 325
14.1. Einleitung 325
14.2. Intervallschätzung des Medianwerts 325
Kapitel 15. Toleranzgrenzen 329
15.1. Einleitung 329
15.2. Toleranzgrenzen (untere, obere und zweiseitige) 330
Inhalt XI»
Kapitel 16. Prüfen der Zulfälligkeit und Unabhängigkeit 334
16.1. Einleitung 334
Bemerkung 1. Prüfen der stochastischen Unabhängigkeit 341
16.2. Prüfen der Voraussetzung der Zufälligkeit mit dem Spearmanschen Korrelations
koeffizienten 341
16.3. Prüfen der Voraussetzung der Zufälligkeit nach der Anzahl der Iterationen 349
Kapitel 17. Prüfen der Zufälligkeit bzw. der Unabhängigkeit unter Voraussetzung
der Normalität 354
17.1. Einleitung 354
17.2. Prüfen der Zufälligkeit mit Hilfe einer Schätzung der Varianz aus benachbarten
Beobachtungen 356
Kapitel 18. Normal verteilte zufällige Veränderliche 360
18.1. Einleitung 360
Bemerkung 1. Ausnutzen einer vorläufigen Information über die Varianz 361
18.2. Intervallschätzungen (mit vorgegebener Breite 2Ä) des Erwartungswertes einer nor
malverte lten zufälligen Veränderlichen { 363
Bemerkung 1. Die Wahl des Umfangs n für das vorläufige Experiment 366
18.3. Intervallschätzungen für die Varianz D2£ (bzw. für die Streuung D J) einer normal¬
verteilten zufälligen Veränderlichen { • 372
18.4. Simultane Schätzung des Erwartungswertes und der Varianz einer normalverteil¬
ten zufälligen Veränderlichen 380
18.5. Toleranzgrenzen (untere, obere und zweiseitige) 381
Kapitel 19. Vergleich zweier normalverteilter zufälliger Veränderlicher 385
19.1. Einleitung 385
Bemerkung 1. Ausnutzen einer vorläufigen Information über die Varianzen 385
19.2. Intervallschätzungen (mit vorgegebener Breite 2Ä) der Differenz E{ — Bj der Er¬
wartungswerte zweier normalverteilter zufälliger Veränderlicher 386
19.3. Intervallschätzungen (mit vorgegebener Breite 2Ä) der Differenz E J — E# der Er¬
wartungswerte zweier normalverteilter zufälliger Veränderlicher mit gemeinsamer
Varianz 399
19.4. Intervallschätzung des Quotienten D2£/D2J7 403
Kapitel 20. Gruppen normalverteilter zufälliger Veränderlicher und Verallge¬
meinerung der Methoden aus den Kapiteln 18 und 19 411
20.1. Einleitung 411
Bemerkung 1. Verallgemeinerung der Voraussetzungen zu den Methoden in §§ 20.4
bis 20.8 und in den §§ 21.4 und 22.4 411
Bemerkung 2. Ausnutzen der Kenntnis der Varianz 412
20.2. Prüfen der Voraussetzung der Gleichheit von q Varianzen 414
20.3. Prüfen der Voraussetzung, daß eine Gruppe normalverteilter zufälliger Veränder¬
licher einen gemeinsamen Erwartungswert hat 417
20.4. Intervallschätzung (mit vorgegebener Breite 2Ä) der Zahl /i 418
20.5. Intervallschätzung (mit vorgegebener Breite 2A) der Zahl p, wenn zwei Varianzen
geschätzt sind 424
20.6. Simultane Intervallschätzung (mit vorgegebener Breite 2A) von Differenzen
Ph ~ Mh der Zahlen nt, fi2 Pt 427
XIV Inhalt
20.7. Auswahl der zufälligen Veränderlichen mit dem größten Erwartungswert 432
20.8. Auswahl der zufälligen Veränderlichen mit der kleinsten Varianz 441
Bemerkung 1. Auswahl der größten Varianz 442
20.9. Toleranzgrenzen 445
Kapitel 21. Eindimensionale Regression 446
21.1. Einleitung 446
Bemerkung 1. Strukturelle Relationen 450
21.2. Prüfen der Form einer Regressionsfunktion 452
21.3. Untersuchung der Parameter « und ß der Regressionsgeraden JUx) = a + ßx 455
21.4. Simultane Intervallschätzung der Regressionsgeraden 471
21.5. Simultane Toleranzgrenzen 472
21.6. Schätzen der Parameter und simultane Schätzung der Funktionswerte der linearen
Funktion R(u) = « + ßu, falls die Beobachtungen der Werte « und R(u) mit Fehlern
behaftet sind 474
Kapitel 22. Allgemeine Regression 481
22.1. Einleitung 481
Bemerkung 1. Polynomiale Regression 484
Bemerkung 2. Umformungen der Veränderlichen 484
Bemerkung 3. Auslassen einer Veränderlichen 485
22 2. Prüfen der Form der Regression 486
22 3. Untersuchung der Parameter 487
22 4. Simultane Schätzung der Werte einer Regressionsfunktion R{x) 502
Zusammenstellung der wichtigsten Symbole 505
Bemerkungen und Hinweise zur Literatur 508
Literatur 515
Namen und Sachverzeichnis 523
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