Holdings: Vorlesungen über Differentialgeometrie

Vorlesungen über Differentialgeometrie:

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Bibliographic Details
Main Author:	Bianchi, Luigi (Author)
Format:	Book
Language:	German Italian
Published:	Leipzig [u.a.] Teubner 1910
Edition:	2., verm. u. verb. Aufl.
Subjects:	Differentiaalmeetkunde Geometry, Differential Differentialgeometrie Aufsatzsammlung
Online Access:	Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	XVIII, 721 S.

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adam_text	InhaltsYerzeiclmis. Kapitel I. Kurven doppelter Krümmung. Soite § 1. Tangente und Nonnalenebens 1 § 2. Die erste Krümmung oder Flexion 2 § 3. Die Schmiegungsebene 4 § 4. Hauptnormale und Binormale 6 § 6. Die zweite Krümmung oder Toraion 8 ¦£§ 6. Frenetsche Formeln 9 £ § 7. Das Vorzeichen der Torsion 10 § 8. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve 12 f § 9. Integration der natürlichen Kurvengleichungen 13 % § 10. Zylindrische Schraubenlinien 15 1 § 11. Formeln für zylindrische Schraubenlinien 17 ^ § 12. Enveloppe von oo1 Flächen 19 § 13. Abwickelbare Flächen 21 § 14. Polardeveloppable einer Kurve 23 § 15. Ort der Mitten der Schmiegungskugeln . 24 § 16. § 17. Evoluten und Evolventen 26 § 18. Orthogonale Trajektorien von oo1 Ebenen 29 § 19. Kurven mit gemeinsamen Hauptnormalen 30 § 20. Gleichungen der Bertrandschen Kurven 32 Kapitel II. Binäre quadratische Differentialformen. § 21. Allgemeines über binäre quadratische Differentialfonnen 34 § 22. Differentialinvarianten und Differentialparameter 37 § 23. Erste Differentialparameter Aj L, V([7, F) 38 § 24. Äquivalenz vun Differentialformen. — Christoffeische Formeln 39 § 25. Eigenschaften der Christoffeischen Dreiindizessymbole 42 § 26. Kovariante zweite Differentialquotienten und zweite Differentialpara¬ meter A2 Z7, A22 U 44 § 27. Integrabilitätsbedingungen für die Christoffeischen Formeln 46 § 28. Vierindizessymbole und ihre Eigenschaften 48 § 29. Krümmung einer binären Form 50 § 30. Formen konstanter oder verschwindender Krümmung 61 § 31. Simultane quadratische Formen. — Reduktion auf die Normalform . . 53 § 31. Kubische und lineare Kovariante 55 Kapitel III. Krummlinige Koordinaten auf den Flächen. Konforme Abbildung. § 32. Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche 58 § 33. Linienelement der Fläche 60 § 34. Winkel einer Flächenkurve mit den Parameterlinien 63 VI Inhaltsverzeichnis. Seite § 35. Christoffeische Symbole, Differentialparameter und Krümmungsmaß. . 65 § 36. Einführung neuer krummliniger Koordinaten 67 § 37. Isothermensysteme 69 § 38. Isometrische Parameter 71 § 39. Liescher Satz über Isothermensysteme 72 § 40. Konforme Abbildung einer Fläche auf die Ebene oder auf eine andere Fläche 74 § 41. Allgemeine Lösung des Problems der konformen Abbildung 75 § 42. Isothermensysteme auf den Rotationsflächen 77 § 43. Stereographische Polarprojektion der Kugelfläche 78 § 44. Doppelte Orthogonalsysteme von Kreisen auf der Kugel und in der Ebene 79 § 45. Darstellung der Bewegungen der komplexen Kugelfläche in sich mittels linearer Substitutionen nach Cayley 80 Kapitel IV. Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie. § 46. Die beiden quadratischen Fundamentalformen der Fläche 84 § 47. Formeln für die zweiten Ableitungen von x, y, z und für die ersten Ab¬ leitungen von X, Y, Z 86 § 48. Formeln von Gauß und Mainardi Codazzi zwischen den Koeffizienten E, F, G, D, D D der beiden Fundamentalformen 89 § 49. Existenz und Eindeutigkeit der Fläche, die zwei solchen gegebenen Fundamentalformen entspricht, welche den Gleichungen von Gauß und Codazzi genügen 92 § 50. Beendigung des Existenzbeweises 94 § 51. Krümmungslinien der Fläche 96 § 52. Hauptkrümmungsradien der Fläche 98 § 53. Radien der ersten Krümmung der Flächenkurven und Meuanierscher Satz 99 § 54. Eulersche Formel und Dupinsche Indikatrix 101 § 55. Totale und mittlere Krümmung 104 § 56. Konjugierte Systeme 106 § 67. Haupttangentenkurven 108 § 58. Laplacesche Gleichung für die Koordinaten x, y, z der Flächenpunkte bei Zugrundelegung konjugierter Parameterlinien 108 § 59. Einige Anwendungen 111 § 60. Berechnung der Differentialparameter 114 Kapitel V. Die sphärische Abbildung nach Gauß. — Ebenenkoordinaten. § 61. Sphärische Abbildung nach Gauß 117 § 62. Eigenschaften der Gaußischen Abbildung uad Satz yon Enneper über die Torsion der Haupttangentenkurven 119 § 63. Zweiter Beweis und Präzisierung des Enneperschen Satzes 121 § 64. Allgemeine Formeln für die sphärische Abbildung 123 § 65. Die Flächen bezogen auf ihre Haupttangentenkurven 125 § 66. Haupttangentenkurven auf den Minimalflächen 128 § 67. Haupttangentenkurven der pseudosphärischen Flächen 129 § 68. Formeln von Lelieuvre 130 J § 69. Die Flächen bezogen auf ein konjugiertes System 133 § 70. Flächen mit positiver Krümmung bezogen auf ein isotherm konjugiertes System 135 Inhaltsverzeichnis. VII Seito § 71. Formeln für isotherm konjugierte Systeme 137 § 72. Formeln von Weingarten für die Ebenenkoordinaten der Fläche . . 139 § 73. Flächen mit gegebenem Bilde eines konjugierten Systems 141 § 74. Flächen mit einer Schar Krünimungslinien in parallelen Ebenen . . 142 Kapitel VI. Geodätische Krümmung. — Geodätische Linien. § 75. Tangentiale oder geodätische Krümmung orthogonaler Parameterlinien 145 § 76. Bonnetscher Ausdruck für die geodätische Krümmung 147 § 77. Liouvillescher Ausdruck für die Krümmung einer Fläche 149 § 78. Geodätische Linien 151 § 79. Kürzeste Flächenkurve zwischen zwei gegebenen Punkten 153 § 80. Gaußische Form der Differentialgleichung der geodätischen Linien . 154 § 81. Geodätisch parallele Linien 157 § 82. Geodätische Kreise 159 § 83. Geodätische Ellipsen und Hyperbeln 162 § 84. Torsion einer geodätischen Linie 163 § 85. Geodätische Torsion einer Flächenkurve 165 § 86. Allgemeine Sätze über die Integration der Differentialgleichung der geodätischen Linien 167 § 87. Jacobischer Satz über die Differentialgleichung der geodätischen Linien 169 § 88. Geodätische Linien auf den Liouvilleschen Flächen 170 § 89. Geodätische Linien auf den Rotationsflächen 172 § 90. Gaußischer Satz über die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks 173 § 91. Doppelte Orthogonalsysteme von Kurven konstanter geodätischer Krümmung 174 Kapitel VII. Aufeinander abwickelbare Flächen. § 92. Definition der Abwickelbarkeit von Flächen aufeinander 177 § 93. Gaußischer Satz von der Unveränderlichkeit des Krümmungsmaßes bei Verbiegung 179 § 94. Kriterien dafür, ob zwei gegebene Flächen aufeinander abwickelbar sind 181 § 95. Flächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind 182 § 96. Fall der Flächen von konstantem Krümmungsmaß 184 § 97. Abwickelbarkeit eines Stückes einer Fläche von konstantem Krümmungs¬ maß auf ein beliebiges anderes Stück derselben Fläche 186 § 98. Das Linienelement der pseudosphärischen Flächen 187 § 99. Pseudosphärische Rotationsflächen 188 § 100. Abwicklung einer allgemeinen pseudosphärischen Fläche auf eine pseudo¬ sphärische Rotationsfläche 191 § 101. Flächen, die eine stetige Verbiegung in sich zulassen 193 § 102. Aufeinander abwickelbare Rotationsflächen 194 § 103. Beispiel: Rotationsflächen konstanter Krümmung 196 § 104. Theorem von Bour über Schraubenflächen 197 § 105. Beispiele zur Abwicklung von Schraubenflächen auf Rotationsflächen 199 § 106. Das allgemeine Problem der Arerbiegung von Flächen 200 § 107. Partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, von der die Verbiegung einer gegebenen Fläche abhängt 201 § 108. Verbiegung einer Fläche mit einer starren Kurve 203 Viil Inhaltsverzeichnis. Seite § 109. Verbiegung, bei der eine gegebene Kurve in eine andere gegebene Kurve übergeht 206 § 110. Nachweise für die verbogene Fläche 208 § 111. Besondere Verbiegungen 210 § 112. Virtuelle Haupttangentenkurven und Darbouxsche Gleichungen . . . 212 § 113. Verbiegung mit zwei beliebigen virtuellen Haupttangentenkurven . . 214 § 114. Verbiegungen mit starrer Haupttangentenkurve. — Bonnetscher Satz 21T Kapitel VIIL Verbiegung der Linienflächen. § 115. Aufeinander abwickelbare Linienflächen 219 § 116. Zweiter Beweis des Bonnetschen Satzes 220 § 117. Beltramischer Satz und Folgerungen daraus 222 § 118. Linienelement einer Linienfläche 223 § 119. Striktionslinie und darauf bezügliche Sätze von Bonnet 225 § 120. Haupttangentenkurven der zweiten Schar. — Formel von Chasles . . 227 § 121. Verbiegung einer Linienfläche nach der Methode von Minding . . . 229 § 122. Methode von Beltrami und die darauf bezüglichen Fundamental¬ gleichungen 231 § 123. Problem, eine Linienfläche derart zu verbiegen, daß eine auf ihr ge¬ gebene Kurve eine Haupttangentenkurve wird 233 § 124. Problem, eine Linienfläche derart zu verbiegen, daß eine auf ihr ge¬ gebene Kurve eben oder eine Krümmungslinie wird 235 § 125. Linienflächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind 236 § 126. Satz von Chieffi 238 Kapitel IX. Evolutenfläche und Weingartenscher Satz. § 127. Die geodätischen Linien der Evolutenfläche, die den Krümmungslinien der Evolventenfläche entsprechen 239 § 128. Formeln für die Evolutenfläche 241 § 129. Weitere Eigenschaften der Evolutenfläche 243 § 130. Beltramis Konstruktion des Radius der geodätischen Krümmung . . 244 § 131. Evolventen und Evolutenmittelfläche nach Ribaucour 246 § 132. Tf Flächen, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Gleichung ver¬ bunden sind 248 § 133. Satz von Ribaucour über das Entsprechen der Krümmungslinien auf den beiden Mänteln der Evolutenfläche 250 § 134. Lies Satz über die Bestimmung der Krümmungslinien der TF Flächen mittels Quadraturen 251 § 135. Weingartens Satz über die Abwickelbarkeit der beiden Evolutenmäntel auf Rotationsflächen 252 § 136. Beltramis Satz über die Normalensysteme von Flächen, die zugleich Flächen berühren 254 § 137. Beweis der Umkehrung des Weingartenschen Satzes 255 § 138. Besondere Formen des Linienelements auf der Kugel, die den IT Flächen entsprechen 256 § 139. Anwendung anf die Bestimmung der Minimalflächen: r± + rs = 0 und der Weingartenschen Flächen: 2^5,—rx) = sin 2(rs +r,) 258 § 140. Evolventen und Ergänzungsflächen der pseudosphärischen Flächen . 25» Inhaltsverzeichnis. IX Kapitel X. Strahlensysteme (Kongruenzen). geite § 141. StrahlenBysteme 262 § 142. Formeln für Strahlensysteme 263 § 143. Grenzpunkte und Hauptebenen . . 265 § 144. Isotrope Kongruenzen von Ribaucour. — Haupttiächen 267 § 145. Gleichung zur Bestimmung der Grenzpunkte 269 § 146. Abwickelbare Flächen und Brennpunkte des Strahlensystems .... 270 § 147. Brennflächen des Strahlensystems 272 § 148. Normalensysteme 274 § 149. Malus Dupinscher Satz 275 § 150. Strahlensysteme mit gegebenem sphärischen Bilde der Hauptflächen. 277 § 151. Lösung der gestellten Aufgabe 278 § 152. Anwendung auf isotrope Strahlensysteme 279 § 153. Strahlensysteme mit gegebenem sphärischen Bilde der abwickelbaren Flächen 280 § 154. Formeln für die beiden Brennmäntel 282 § 155. Fortsetzung 285 § 156. Pseudosphärische Strahlensysteme 288 § 157. Guichardsche Strahlensysteme. — Guichardsche und Vossische Flächen 290 Kapitel XL Unendlich kleine Verbieguagen der Flächen und Entsprechen durch Orthogonalität der Elemente. § 158. Zusammenhang der Aufgabe der unendlich kleinen Verbiegungen mit der Frage nach Paaren von Flächen, die sich durch Orthogonalität der Elemente entsprechen, sovie nach Paaren aufeinander abwickel¬ barer Flächen 292 § 159. Die charakteristische Funktion j und die charakteristische Gleichung 294 § 160. Umformung der charakteristischen Gleichung 297 § 161. Die bei einer unendlich kleinen Verbiegung assoziierten Flächen . . 299 § 162. Zurückführung der charakteristischen Gleichung auf ihre beiden Normalformen 301 § 163. Das konjugierte System, das bei einer unendlich kleinen Verbiegung konjugiert bleibt 303 § 164. Eigenschaften von Flächen, die einander durch Orthogonalität der Elemente entsprechen 305 § 165. Die Ribaucoursehen Strahlensysteme 308 § 166. Sätze über Ribaucoursche Strahlensysteme 309 § 167. Besondere Klassen von Ribaucoursehen Strahlensystemen 311 § 168. Kurzer Abriß einer zweiten Methode, die Aufgabe der unendlich kleinen Verbiegungen zu behandeln 313 § 169. Anwendungen der zweiten Methode 315 Kapitel XII. TF Strahlensysteme. § 170. Moutards Satz über die Laplaceschen Gleichungen von der Form: S * = M 317 cuov § 171. Geometrische Deutung des Moutardschen Satzes 319 X Inhaltsverzeichnis. Seite § 172. TF Strahlensysteme 321 § 173. Ableitung aller TF Strahlensysteme aus unendlich kleinen Verbiegungen der Brennflächen 322 § 174. Verallgemeinerung des Halphenschen Satzes 326 § 175. Neuer Beweis des Weingartenschen Satzes 327 § 176. TF Strahlensysteme, die der Gleichung: ,5—5 =0 entsprechen . . . 329 ouov § 177. TFVNormalensysteme, die der Gleichung: „—= = 0 entsprechen. . . 331 ouov § 178. TF Normalensysteme, die der Gleichung: x—s + 0 ~i = 0 entsprechen 333 § 179. Bestimmung aller auf das Rotationsparaboloid abwickelbaren Flächen 335 § 180. TF Strahlensysteme, deren Brennmäntel in entsprechenden Punkten gleiche Krümmung haben 337 § 181. Zurückfuhrung ihrer Bestimmung auf eine Biccatische Gleichung . . 339 § 182. Sätze von Cosserat 342 § 183. Beispiele 343 Kapitel XIII. Die normalen Kreissysteme. § 184. Bedingung dafür daß eine Schar von oos Kurven eine Schar Ortho gonalflächen hat 345 § 185. Normale Kreissysteme und Sätze von Kibaucour 346 § 186. Formehi für normale Kreissysteme 348 § 187. Laplacesche Gleichung, von der die normalen Kreissysteme abhängen 350 § 188. Dreifaches Orthogonalsystem von Flächen, das zu einem normalen Kreissystem gehört 352 § 189. Zyklische Strahlensysteme 353 § 190. Strahlensysteme, die auf unendlich viele Weisen zyklisch sind . . . 355 § 191. Die normalen Kreissysteme gleich großer Kreise 357 § 192. Ausdruck für das Linienelement des Baumes, bezogen auf ein normales Kreissystem 359 § 193. Bestimmung der sphärischen Bilder der Abwickelbaren eines zyklischen Strahlensystems 360 Kapitel XIV. Die Minimalnächen. § 194. Geschichtlicher Überblick bis auf Meusnier 362 § 196. Neuere Untersuchungen über Minimalflächen 363 § 196. Formeln von Weierstraß 364 § 197. Algebraische Minimalflächen 367 § 198. Minimal Doppelflächen 368 § 199. Verbiegung der Minimalflächen, wobei sie beständig Minimalflächen bleiben 371 § 200. Assoziierte Minimalflächen. — Konjugierte Minimalflächen 372 § 201. Sätze über assoziierte Minimalflächen 373 § 202. Minimalflächen mit ebenen Krümmungslinien 375 § 203. Ennepersche Minimalfläche 376 § 204. Bestimmung aller Minimalflächen mit ebenen Krümmungslinien . . . 377 § 205. Die auf Rotationsflächen abwickelbaren Minimalflächen 378 § 206. Die Minimal Schraubenflächen 379 Inhaltsverzeichnis. XI Seite § 207. Andere Gestalt der Weierstraßischen Formeln 381 § 208. Formeln von Schwarz 383 § 209. Lösung der Aufgabe, durch einen gegebenen Streifen eine Minimal¬ fläche hindurchzulegen 384 § 210. Besondere Fälle 385 § 211. Kriterium dafür, daß eine Fläche in eine Minimalfläche verbiegbar ist 387 Kapitel XV. Das Plateausche Problem und die Schwarzsehe Minimalfläche. § 212. Das Plateausche Problem 389 § 213. Konforme Abbildung der Minimalfläche auf die Gaußische Kugel und auf die Ebene 390 § 214. Fall einer aus geradlinigen Strecken und aus Ebenen bestehenden Begrenzung 391 § 215. Fall des von zwei Paar Gegenseiten eines regulären Tetraeders ge¬ bildeten Vierecks 393 § 216. Oktaedernetz auf der Kugel ¦ 395 § 217. Konforme Abbildung des Oktaedernetzes 397 § 218. Analytische Darstellung der Gruppe der 24 Drehungen des Oktaeder¬ netzes 398 § 219. Nachweis für die konforme Abbildung des Oktaedernetzes vermöge der aufgestellten Gleichungen 400 § 220. Bestimmung von F(r) für die Schwarzsehe Minimalfläche 401 § 221. Analytische Darstellung der Schwarzsehen Minimalfläche 403 § 222. Besondere Kurven auf der Schwarzsehen Minimalfläche 404 § 223. Einfachere Form der Gleichungen der Schwarzsehen Minimalfläche . 406 § 224. Begrenzungskurven 409 § 225. Die Gruppe von Bewegungen, welche die Schwarzsehe Fläche unge ändert läßt 410 § 226. Ausgezeichnete Untergruppe von Translationen 412 § 227. Nachweis für die eigentliche Diskontinuität der Bewegungsgruppe der Schwarzsehen Fläche 413 § 228. Analytische Fortsetzung der Schwarzsehen Minimalfläche 415 § 229. Die zur Schwarzsehen Fläche konjugierte Minimalfläche 417 § 230. Die Gruppe der konjugierten Fläche 418 § 231. Die zweite Variation des Flächeninhalts einer Minimalfläche .... 420 § 232. Untersuchung der zweiten Variation 421 § 233. Satz von Schwarz über die zweite Variation 422 Kapitel XVI. Pseudosphärische Geometrie. § 234. Zweidimensionale Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung 424 § 235. Konforme Abbildung der pseudosphärischen Flächen auf die Halbebene 425 § 236. Darstellung der Bewegungen der Flüche in eich durch lineare Sub¬ stitutionen der komplexen Veränderlichen 427 § 237. Bewegungen erster Art 428 § 238. Bewegungen zweiter Art 429 § 239. Abänderung der konformen Abbildung 431 § 240. Abbildung der Kurven konstanter geodätischer Krümmung 432 § 241. Die drei Arten von geodätischen Kreisen 433 § 242. Der Parallelitätswinkel 434 XII Inhaltsverzeichnis. Seite § 243. Geodätische Dreiecke 436 § 244. Pseudosphärische Trigonometrie 437 § 245. Überblick über die nichteuklidieche Geometrie 440 § 246. Beltramische Abbildung 440 § 247. Flächen, die auf die Ebene geodätisch abbildbar sind 442 § 248. Die Biccatische Differentialgleichung für die geodätischen Linien . . 443 Kapitel XVII. Die pseudosphärischen Flächen und die Bäcklundsche Transformation. § 249. Cauchys Aufgabe über Flächen konstanter Krümmung 44 § 250. Pseudosphärische Fläche mit zwei gegebenen Haupttangentenkurven 448 § 251. Vorhandensein und Eindeutigkeit der Lösung 449 § 252. Analytischer Fall 453 § 253. Verbiegurigen mit einer starren Haupttangentenkurve 455 § 254. Bäcklundsche Transformationen 456 § 255. Formeln für die Bäcklundsche Transformation 458 § 256. Nachweise für die Eigenschaften der Bäcklundschen Transformation. 460 § 257. Fall der Komplementärtransformation 461 § 258. Unendlich kleine Verbiegungen der beiden Brennmäntel eines pseudo¬ sphärischen Strahlensystems 463 § 259. Die vier Evolutenmäntel bei einer Bäcklundschen Transformation . . 464 § 260. Der Vertauschbarkeitssatz 466 § 261. Berechnungen und Nachweise für die Fläche S 470 § 262. Aufeinanderfolgende Anwendung der Bäcklundschen Transformation . 471 § 263. Geodätische Linien auf den abgeleiteten Flächen 474 § 264. Anwendung auf Dinische Schraubenflächen und auf die Komplementär¬ fläche der Pseudosphäre 475 § 266. Zusammensetzung zweier konjugiert imaginärer Bäcklundscher Trans¬ formationen 477 § 266. Zusammensetzung zweier entgegengesetzter Transformationen Bg und B_a 479 § 267. Unterscheidung der drei Gestalten der Meridiankurve 481 § 268. Liesche Transformation der pseudosphärischen Flächen 484 Kapitel XVIII. Transformationen der Flächen konstanter positiver Krümmung und ihre Beziehungen zu den Biegungsflächen der Kotationsflächen zweiten Grades. § 269. Biegungsflächen der Kugel und Hazzidakissche Transformation . . . 487 § 270. Zusammenhang mit den Flächen konstanter mittlerer Krümmung . . 489 § 271. Bonnet Liesche Transformation 49» § 272. Bäcklundsche Transformation 491 § 273. Der Vertauschbarkeitssatz und die Zusammensetzung imaginärer Trans¬ formationen zu reellen 494 § 274. Fall: b = 0. — Biegungsfläche So des Rotationsellipsoids 497 § 275. Fall: 6 = ^ . — Biegungsfläche So des zweischaligen Rotationshyper¬ boloids 499 § 276. Verbiegung von Kugelkongruenzen und Strahlensystemen 500 § 277. Formeln für die Verbiegung von Strahlensystemen 503 Inhaltsverzeichnis. XIII Seite § 278. Bestimmungsgrößen für die beiden Mäntel E, 2 der Kugelenveloppe. 506 § 279. Fall, in dem die Fläche Z konstante mittlere Krümmung behält . . 507 § 280. Fall einer Minimalfläche. — Erster Guichardscher Satz 510 § 281. Fall: H4=0. — Zweiter Guichardscher Satz 512 Kapitel XIX. Transformationen Bk der auf das hyperbolische Paraboloid abwickel¬ baren Flächen. § 282. Unendlich vieldeutige Transformationen der Flächenelemente des Baumes nach Lie 516 § 283. Grundlagen für die Theorie der Transformationen Bk 519 § 284. Ableitung einiger Fundamentalformeln 522 § 285. Erste Formelgruppe für das hyperbolische Paraboloid 524 § 286. Beweis einiger Identitäten 527 § 287. Orientierung der Facetten ft 529 § 288. Grundlegende Differentialgleichungen für die Funktion i.(u,v). . . . 531 § 289. Unbeschränkte Integrierbarkeit des Gleichungensystems (I) 533 •§ 290. Transformationen .Bj. der Biegungsflächen des hyperbolischen Paraboloids 535 § 291. Fall, in dem die Biegungsflächen Linienflächen sind 536 § 292. Berechnung des Linienelements der transformierten Flächen St . . . 539 § 293. Die Ivorysche Verwandtschaft und die Abwicklungsformeln 541 § 294. Nachweis der Abwickelbarkeit der Flächen Sj auf das hyperbolische Paraboloid 545 § 295. Spezialfall der Biegungsflächen. — Singuläre Transformation Bo . . 549 § 296. Entsprechen der Haupttangentenkurven auf S und St 551 § 297. Zweiter Beweis für das Entsprechen der Haupttangentenkurven . . . 553 § 298. Weitere Eigenschaften der Transformationen Bk 555 § 299. Entsprechen der dauernd konjugierten Systeme auf S und /Sj . . . . 656 § 300. Wechselbeziehung zwischen S und Sl 558 § 301. Weitere Eigenschaften der Ivoryschen Verwandtschaft und Abschluß des Beweises 559 § 302. Expliziter Ausdruck für die unveränderliche Bewegung und für die Symmetrie 562 Kapitel XX. Transformationen Bk der auf das einschalige Hyperboloid abwickel¬ baren Flächen. § 303. Erste Formelgruppe für das einschalige Hyperboloid 505 § 304. Einige, grundlegende Identitäten 567 § 305. Orientierung der Facetten ft 570 § 306. Grundlegende Differentialgleichungen für die Funktion (u,v) ... 571 § 307. Unbeschränkte Integrabilität des Gleichungensystems 573 § 308. Berechnung des Linienelements der Flächen S, 575 § 309. Die durch die Ivorysche Verwandtschaft gegebenen Abwicklungs¬ gleichungen 577 § 310. Erste Transformation der Abwicklungsgleichungen 580 § 311. Abschluß des Nachweises der Abwickelbarkeit 582 § 312. Transformationen der Biegun^slinienflächen des Hyperboloids .... 584 § 313. Eigenschaften der Transformationen Bk 586 § 314. Wechselbeziehung zwischen B und 2?t 587 § 816. Besonderer Fall des einschaligen Rotationshyperboloids 589 XIV Inhaltsverzeichnis. Kapitel XXI. Transformationen Su der auf andere Flächen zweiten Grades abwickelbaren Flächen. geite § 316. Allgemeines 592 § 317. Transformationen Bk der Biegungsflächen des elliptischen Paraboloids 594 § 318. Ideelle Abwickelbarkeit der Transformationsflächen S1 auf das ellip¬ tische Paraboloid 596 § 319. Transformationen Bk der auf das elliptische Paraboloid ideell ab¬ wickelbaren Flächen 598 § 320. Transformationen Bk der Biegungsflächen des zweischaligen Hyper¬ boloids 602 § 321. Fall des Ellipsoids. — Änderung der Bezeichnungen 605 § 322. Transformationen Bk der Biegungsflächen des Ellipsoids 607 § 323. Transformationen Bk der auf das ideelle Gebiet des hyperbolischen Paraboloids abwickelbaren Flächen 610 § 324. Transformationen Bk der reellen, auf das imaginäre Gebiet des ein¬ schaligen Hyperboloids abwickelbaren Flächen 613 § 325. Biegungsflächen der imaginären Kugel 615 § 326. Neue Formeln für die Bäcklundsche Transformation der pseudosphä¬ rischen Flächen 617 § 327. Vergleich mit den allgemeinen Eigenschaften der Transformationen Bk 619 § 328. Bemerkungen über den Vertauschbarkeitssatz 622 Kapitel XXII. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. § 329. Krummlinige Koordinaten im Räume 625 § 330. Darboux Dupinscher Satz 627 § 331. Folgerungen aus dem Darboux Dupinschen Satze 630 § 332. Differentialgleichungen für die Richtungskosinus des Haupttrieders . 631 § 333. Die Lameschen Gleichungen als notwendige und hinreichende Be¬ dingungen 634 § 334. Konforme Abbildungen des Raumes 636 § 335. Hauptkrümmungsradien der Parameterflächen. — Krümmungen der Parameterlinien 638 § 336. Äquidistanzkurven und Cayleysche Gleichung 640 § 337. Combescuresche Transformation 643 Kapitel XXIII. Untersuchung einiger spezieller dreifacher Orthogonalsysteme. § 338. Dreifache Orthogonalsysteme, die eine Schar von Rotationsflächen ent¬ halten 646 § 339. Oskulierende Zykelsysteme 647 § 340. Dreifache Orthogonal Systeme mit einer Schar von ebenen Krümmungs¬ linien 648 § 341. Fortsetzung 651 § 342. Erledigung dieses Problems 653 § 343. Konfokale Flächen zweiten Grades 655 § 344. Elliptische Koordinaten 666 Inhaltsverzeichnis. XV Seite § 345. Chaslesscher Satz ¦ 658 § 346. Gemeinsame Evolutenflächen 659 § 347. Geodätische Linien auf Mittelpunktsflächen zweiten Grades 660 § 348. Geodätische Linien auf dem Ellipsoid 662 § 349. Joachimsthalscher Satz 664 § 350. Geodätische Linien durch die Nabelpunkte 666 § 351. Einführung elliptischer Funktionen 668 § 352. Linienelement auf dem Ellipsoid 670 § 353. Verlauf der geodätischen Liniea 672 Kapitel XXIV. Die aus Flächen konstanter Krümmung bestehenden Lame schen Flächenfamilien. § 354. Dreifache pseudosphärische Orthogonalsysteme 675 § 355. Partielle Differentialgleichungen für die Funktion o 678 § 356. Aus Flächen konstanter positiver Krümmung bestehende Lamesche Flächenfamilien 680 § 357. Verschiedene Beispiele 682 § 358. Bäcklundsche Transformation dreifacher pseudosphärischer Systeme . 683 § 359. Totale Differentialgleichung für die Funktion k^ 684 § 360. Vertauschbarkeitssatz 687 § 361. Transformationen der Lameschen Flächenfamilien konstanter positiver Krümmung 689 § 362. Weingartensche Systeme 690 § 363. Äquidistanzkurven in Weingartenschen Systemen 693 § 364. PBeudosphärische Weingartensche Systeme konstanter Flexion. . . . 694 § 365. Zykelsysteme von konstantem Radius 696 § 366. Dreifaches Weingartensches System von Schraubenflächen 698 § 367. Bäcklundsche Transformation Weingartenscher Systeme 700 § 368. Komplementärtransformation Weingartenscher Systeme 702 § 369. Vollständiges System von partiellen Differentialgleichungen für Lame¬ sche Flächenfamilien konstanter Krümmung 704 § 370. Enveloppe der Nonnalenebenen der Äquidistanzkurven 706 § 371. Berechnung des Linienelements von S. — Die den imaginären Kugel¬ kreis oskulierende Fläche Q zweiten Grades 708 Sachregister 712
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