Vorlesungen über Differentialgeometrie:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German Italian |
| Veröffentlicht: |
Leipzig [u.a.]
Teubner
1910
|
| Ausgabe: | 2., verm. u. verb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XVIII, 721 S. |
Internformat
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| adam_text | InhaltsYerzeiclmis.
Kapitel I.
Kurven doppelter Krümmung. Soite
§ 1. Tangente und Nonnalenebens 1
§ 2. Die erste Krümmung oder Flexion 2
§ 3. Die Schmiegungsebene 4
§ 4. Hauptnormale und Binormale 6
§ 6. Die zweite Krümmung oder Toraion 8
¦*£§ 6. Frenetsche Formeln 9 £
§ 7. Das Vorzeichen der Torsion 10
§ 8. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve 12 f
§ 9. Integration der natürlichen Kurvengleichungen 13 %
§ 10. Zylindrische Schraubenlinien 15 1
§ 11. Formeln für zylindrische Schraubenlinien 17 ^
§ 12. Enveloppe von oo1 Flächen 19
§ 13. Abwickelbare Flächen 21
§ 14. Polardeveloppable einer Kurve 23
§ 15. Ort der Mitten der Schmiegungskugeln . 24
§ 16. § 17. Evoluten und Evolventen 26
§ 18. Orthogonale Trajektorien von oo1 Ebenen 29
§ 19. Kurven mit gemeinsamen Hauptnormalen 30
§ 20. Gleichungen der Bertrandschen Kurven 32
Kapitel II.
Binäre quadratische Differentialformen.
§ 21. Allgemeines über binäre quadratische Differentialfonnen 34
§ 22. Differentialinvarianten und Differentialparameter 37
§ 23. Erste Differentialparameter Aj L*, V([7, F) 38
§ 24. Äquivalenz vun Differentialformen. — Christoffeische Formeln 39
§ 25. Eigenschaften der Christoffeischen Dreiindizessymbole 42
§ 26. Kovariante zweite Differentialquotienten und zweite Differentialpara¬
meter A2 Z7, A22 U 44
§ 27. Integrabilitätsbedingungen für die Christoffeischen Formeln 46
§ 28. Vierindizessymbole und ihre Eigenschaften 48
§ 29. Krümmung einer binären Form 50
§ 30. Formen konstanter oder verschwindender Krümmung 61
§ 31. Simultane quadratische Formen. — Reduktion auf die Normalform . . 53
§ 31*. Kubische und lineare Kovariante 55
Kapitel III.
Krummlinige Koordinaten auf den Flächen.
Konforme Abbildung.
§ 32. Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche 58
§ 33. Linienelement der Fläche 60
§ 34. Winkel einer Flächenkurve mit den Parameterlinien 63
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 35. Christoffeische Symbole, Differentialparameter und Krümmungsmaß. . 65
§ 36. Einführung neuer krummliniger Koordinaten 67
§ 37. Isothermensysteme 69
§ 38. Isometrische Parameter 71
§ 39. Liescher Satz über Isothermensysteme 72
§ 40. Konforme Abbildung einer Fläche auf die Ebene oder auf eine andere
Fläche 74
§ 41. Allgemeine Lösung des Problems der konformen Abbildung 75
§ 42. Isothermensysteme auf den Rotationsflächen 77
§ 43. Stereographische Polarprojektion der Kugelfläche 78
§ 44. Doppelte Orthogonalsysteme von Kreisen auf der Kugel und in der
Ebene 79
§ 45. Darstellung der Bewegungen der komplexen Kugelfläche in sich mittels
linearer Substitutionen nach Cayley 80
Kapitel IV.
Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie.
§ 46. Die beiden quadratischen Fundamentalformen der Fläche 84
§ 47. Formeln für die zweiten Ableitungen von x, y, z und für die ersten Ab¬
leitungen von X, Y, Z 86
§ 48. Formeln von Gauß und Mainardi Codazzi zwischen den Koeffizienten
E, F, G, D, D D der beiden Fundamentalformen 89
§ 49. Existenz und Eindeutigkeit der Fläche, die zwei solchen gegebenen
Fundamentalformen entspricht, welche den Gleichungen von Gauß und
Codazzi genügen 92
§ 50. Beendigung des Existenzbeweises 94
§ 51. Krümmungslinien der Fläche 96
§ 52. Hauptkrümmungsradien der Fläche 98
§ 53. Radien der ersten Krümmung der Flächenkurven und Meuanierscher Satz 99
§ 54. Eulersche Formel und Dupinsche Indikatrix 101
§ 55. Totale und mittlere Krümmung 104
§ 56. Konjugierte Systeme 106
§ 67. Haupttangentenkurven 108
§ 58. Laplacesche Gleichung für die Koordinaten x, y, z der Flächenpunkte
bei Zugrundelegung konjugierter Parameterlinien 108
§ 59. Einige Anwendungen 111
§ 60. Berechnung der Differentialparameter 114
Kapitel V.
Die sphärische Abbildung nach Gauß. — Ebenenkoordinaten.
§ 61. Sphärische Abbildung nach Gauß 117
§ 62. Eigenschaften der Gaußischen Abbildung uad Satz yon Enneper über
die Torsion der Haupttangentenkurven 119
§ 63. Zweiter Beweis und Präzisierung des Enneperschen Satzes 121
§ 64. Allgemeine Formeln für die sphärische Abbildung 123
§ 65. Die Flächen bezogen auf ihre Haupttangentenkurven 125
§ 66. Haupttangentenkurven auf den Minimalflächen 128
§ 67. Haupttangentenkurven der pseudosphärischen Flächen 129
§ 68. Formeln von Lelieuvre 130 J
§ 69. Die Flächen bezogen auf ein konjugiertes System 133
§ 70. Flächen mit positiver Krümmung bezogen auf ein isotherm konjugiertes
System 135
Inhaltsverzeichnis. VII
Seito
§ 71. Formeln für isotherm konjugierte Systeme 137
§ 72. Formeln von Weingarten für die Ebenenkoordinaten der Fläche . . 139
§ 73. Flächen mit gegebenem Bilde eines konjugierten Systems 141
§ 74. Flächen mit einer Schar Krünimungslinien in parallelen Ebenen . . 142
Kapitel VI.
Geodätische Krümmung. — Geodätische Linien.
§ 75. Tangentiale oder geodätische Krümmung orthogonaler Parameterlinien 145
§ 76. Bonnetscher Ausdruck für die geodätische Krümmung 147
§ 77. Liouvillescher Ausdruck für die Krümmung einer Fläche 149
§ 78. Geodätische Linien 151
§ 79. Kürzeste Flächenkurve zwischen zwei gegebenen Punkten 153
§ 80. Gaußische Form der Differentialgleichung der geodätischen Linien . 154
§ 81. Geodätisch parallele Linien 157
§ 82. Geodätische Kreise 159
§ 83. Geodätische Ellipsen und Hyperbeln 162
§ 84. Torsion einer geodätischen Linie 163
§ 85. Geodätische Torsion einer Flächenkurve 165
§ 86. Allgemeine Sätze über die Integration der Differentialgleichung der
geodätischen Linien 167
§ 87. Jacobischer Satz über die Differentialgleichung der geodätischen Linien 169
§ 88. Geodätische Linien auf den Liouvilleschen Flächen 170
§ 89. Geodätische Linien auf den Rotationsflächen 172
§ 90. Gaußischer Satz über die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks 173
§ 91. Doppelte Orthogonalsysteme von Kurven konstanter geodätischer
Krümmung 174
Kapitel VII.
Aufeinander abwickelbare Flächen.
§ 92. Definition der Abwickelbarkeit von Flächen aufeinander 177
§ 93. Gaußischer Satz von der Unveränderlichkeit des Krümmungsmaßes
bei Verbiegung 179
§ 94. Kriterien dafür, ob zwei gegebene Flächen aufeinander abwickelbar
sind 181
§ 95. Flächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind 182
§ 96. Fall der Flächen von konstantem Krümmungsmaß 184
§ 97. Abwickelbarkeit eines Stückes einer Fläche von konstantem Krümmungs¬
maß auf ein beliebiges anderes Stück derselben Fläche 186
§ 98. Das Linienelement der pseudosphärischen Flächen 187
§ 99. Pseudosphärische Rotationsflächen 188
§ 100. Abwicklung einer allgemeinen pseudosphärischen Fläche auf eine pseudo¬
sphärische Rotationsfläche 191
§ 101. Flächen, die eine stetige Verbiegung in sich zulassen 193
§ 102. Aufeinander abwickelbare Rotationsflächen 194
§ 103. Beispiel: Rotationsflächen konstanter Krümmung 196
§ 104. Theorem von Bour über Schraubenflächen 197
§ 105. Beispiele zur Abwicklung von Schraubenflächen auf Rotationsflächen 199
§ 106. Das allgemeine Problem der Arerbiegung von Flächen 200
§ 107. Partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, von der die Verbiegung
einer gegebenen Fläche abhängt 201
§ 108. Verbiegung einer Fläche mit einer starren Kurve 203
Viil Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 109. Verbiegung, bei der eine gegebene Kurve in eine andere gegebene
Kurve übergeht 206
§ 110. Nachweise für die verbogene Fläche 208
§ 111. Besondere Verbiegungen 210
§ 112. Virtuelle Haupttangentenkurven und Darbouxsche Gleichungen . . . 212
§ 113. Verbiegung mit zwei beliebigen virtuellen Haupttangentenkurven . . 214
§ 114. Verbiegungen mit starrer Haupttangentenkurve. — Bonnetscher Satz 21T
Kapitel VIIL
Verbiegung der Linienflächen.
§ 115. Aufeinander abwickelbare Linienflächen 219
§ 116. Zweiter Beweis des Bonnetschen Satzes 220
§ 117. Beltramischer Satz und Folgerungen daraus 222
§ 118. Linienelement einer Linienfläche 223
§ 119. Striktionslinie und darauf bezügliche Sätze von Bonnet 225
§ 120. Haupttangentenkurven der zweiten Schar. — Formel von Chasles . . 227
§ 121. Verbiegung einer Linienfläche nach der Methode von Minding . . . 229
§ 122. Methode von Beltrami und die darauf bezüglichen Fundamental¬
gleichungen 231
§ 123. Problem, eine Linienfläche derart zu verbiegen, daß eine auf ihr ge¬
gebene Kurve eine Haupttangentenkurve wird 233
§ 124. Problem, eine Linienfläche derart zu verbiegen, daß eine auf ihr ge¬
gebene Kurve eben oder eine Krümmungslinie wird 235
§ 125. Linienflächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind 236
§ 126. Satz von Chieffi 238
Kapitel IX.
Evolutenfläche und Weingartenscher Satz.
§ 127. Die geodätischen Linien der Evolutenfläche, die den Krümmungslinien
der Evolventenfläche entsprechen 239
§ 128. Formeln für die Evolutenfläche 241
§ 129. Weitere Eigenschaften der Evolutenfläche 243
§ 130. Beltramis Konstruktion des Radius der geodätischen Krümmung . . 244
§ 131. Evolventen und Evolutenmittelfläche nach Ribaucour 246
§ 132. Tf Flächen, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Gleichung ver¬
bunden sind 248
§ 133. Satz von Ribaucour über das Entsprechen der Krümmungslinien auf
den beiden Mänteln der Evolutenfläche 250
§ 134. Lies Satz über die Bestimmung der Krümmungslinien der TF Flächen
mittels Quadraturen 251
§ 135. Weingartens Satz über die Abwickelbarkeit der beiden Evolutenmäntel
auf Rotationsflächen 252
§ 136. Beltramis Satz über die Normalensysteme von Flächen, die zugleich
Flächen berühren 254
§ 137. Beweis der Umkehrung des Weingartenschen Satzes 255
§ 138. Besondere Formen des Linienelements auf der Kugel, die den IT
Flächen entsprechen 256
§ 139. Anwendung anf die Bestimmung der Minimalflächen: r± + rs = 0 und
der Weingartenschen Flächen: 2^5,—rx) = sin 2(rs +r,) 258
§ 140. Evolventen und Ergänzungsflächen der pseudosphärischen Flächen . 25»
Inhaltsverzeichnis. IX
Kapitel X.
Strahlensysteme (Kongruenzen). geite
§ 141. StrahlenBysteme 262
§ 142. Formeln für Strahlensysteme 263
§ 143. Grenzpunkte und Hauptebenen *. . 265
§ 144. Isotrope Kongruenzen von Ribaucour. — Haupttiächen 267
§ 145. Gleichung zur Bestimmung der Grenzpunkte 269
§ 146. Abwickelbare Flächen und Brennpunkte des Strahlensystems .... 270
§ 147. Brennflächen des Strahlensystems 272
§ 148. Normalensysteme 274
§ 149. Malus Dupinscher Satz 275
§ 150. Strahlensysteme mit gegebenem sphärischen Bilde der Hauptflächen. 277
§ 151. Lösung der gestellten Aufgabe 278
§ 152. Anwendung auf isotrope Strahlensysteme 279
§ 153. Strahlensysteme mit gegebenem sphärischen Bilde der abwickelbaren
Flächen 280
§ 154. Formeln für die beiden Brennmäntel 282
§ 155. Fortsetzung 285
§ 156. Pseudosphärische Strahlensysteme 288
§ 157. Guichardsche Strahlensysteme. — Guichardsche und Vossische Flächen 290
Kapitel XL
Unendlich kleine Verbieguagen der Flächen und Entsprechen
durch Orthogonalität der Elemente.
§ 158. Zusammenhang der Aufgabe der unendlich kleinen Verbiegungen mit
der Frage nach Paaren von Flächen, die sich durch Orthogonalität
der Elemente entsprechen, sovie nach Paaren aufeinander abwickel¬
barer Flächen 292
§ 159. Die charakteristische Funktion j und die charakteristische Gleichung 294
§ 160. Umformung der charakteristischen Gleichung 297
§ 161. Die bei einer unendlich kleinen Verbiegung assoziierten Flächen . . 299
§ 162. Zurückführung der charakteristischen Gleichung auf ihre beiden
Normalformen 301
§ 163. Das konjugierte System, das bei einer unendlich kleinen Verbiegung
konjugiert bleibt 303
§ 164. Eigenschaften von Flächen, die einander durch Orthogonalität der
Elemente entsprechen 305
§ 165. Die Ribaucoursehen Strahlensysteme 308
§ 166. Sätze über Ribaucoursche Strahlensysteme 309
§ 167. Besondere Klassen von Ribaucoursehen Strahlensystemen 311
§ 168. Kurzer Abriß einer zweiten Methode, die Aufgabe der unendlich
kleinen Verbiegungen zu behandeln 313
§ 169. Anwendungen der zweiten Methode 315
Kapitel XII.
TF Strahlensysteme.
§ 170. Moutards Satz über die Laplaceschen Gleichungen von der Form:
S * = M 317
cuov
§ 171. Geometrische Deutung des Moutardschen Satzes 319
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 172. TF Strahlensysteme 321
§ 173. Ableitung aller TF Strahlensysteme aus unendlich kleinen Verbiegungen
der Brennflächen 322
§ 174. Verallgemeinerung des Halphenschen Satzes 326
§ 175. Neuer Beweis des Weingartenschen Satzes 327
§ 176. TF Strahlensysteme, die der Gleichung: ,5—5 =0 entsprechen . . . 329
ouov
§ 177. TFVNormalensysteme, die der Gleichung: „—= = 0 entsprechen. . . 331
ouov
§ 178. TF Normalensysteme, die der Gleichung: x—s + 0 ~i = 0 entsprechen 333
§ 179. Bestimmung aller auf das Rotationsparaboloid abwickelbaren Flächen 335
§ 180. TF Strahlensysteme, deren Brennmäntel in entsprechenden Punkten
gleiche Krümmung haben 337
§ 181. Zurückfuhrung ihrer Bestimmung auf eine Biccatische Gleichung . . 339
§ 182. Sätze von Cosserat 342
§ 183. Beispiele 343
Kapitel XIII.
Die normalen Kreissysteme.
§ 184. Bedingung dafür daß eine Schar von oos Kurven eine Schar Ortho
gonalflächen hat 345
§ 185. Normale Kreissysteme und Sätze von Kibaucour 346
§ 186. Formehi für normale Kreissysteme 348
§ 187. Laplacesche Gleichung, von der die normalen Kreissysteme abhängen 350
§ 188. Dreifaches Orthogonalsystem von Flächen, das zu einem normalen
Kreissystem gehört 352
§ 189. Zyklische Strahlensysteme 353
§ 190. Strahlensysteme, die auf unendlich viele Weisen zyklisch sind . . . 355
§ 191. Die normalen Kreissysteme gleich großer Kreise 357
§ 192. Ausdruck für das Linienelement des Baumes, bezogen auf ein normales
Kreissystem 359
§ 193. Bestimmung der sphärischen Bilder der Abwickelbaren eines zyklischen
Strahlensystems 360
Kapitel XIV.
Die Minimalnächen.
§ 194. Geschichtlicher Überblick bis auf Meusnier 362
§ 196. Neuere Untersuchungen über Minimalflächen 363
§ 196. Formeln von Weierstraß 364
§ 197. Algebraische Minimalflächen 367
§ 198. Minimal Doppelflächen 368
§ 199. Verbiegung der Minimalflächen, wobei sie beständig Minimalflächen
bleiben 371
§ 200. Assoziierte Minimalflächen. — Konjugierte Minimalflächen 372
§ 201. Sätze über assoziierte Minimalflächen 373
§ 202. Minimalflächen mit ebenen Krümmungslinien 375
§ 203. Ennepersche Minimalfläche 376
§ 204. Bestimmung aller Minimalflächen mit ebenen Krümmungslinien . . . 377
§ 205. Die auf Rotationsflächen abwickelbaren Minimalflächen 378
§ 206. Die Minimal Schraubenflächen 379
Inhaltsverzeichnis. XI
Seite
§ 207. Andere Gestalt der Weierstraßischen Formeln 381
§ 208. Formeln von Schwarz 383
§ 209. Lösung der Aufgabe, durch einen gegebenen Streifen eine Minimal¬
fläche hindurchzulegen 384
§ 210. Besondere Fälle 385
§ 211. Kriterium dafür, daß eine Fläche in eine Minimalfläche verbiegbar ist 387
Kapitel XV.
Das Plateausche Problem und die Schwarzsehe Minimalfläche.
§ 212. Das Plateausche Problem 389
§ 213. Konforme Abbildung der Minimalfläche auf die Gaußische Kugel und
auf die Ebene 390
§ 214. Fall einer aus geradlinigen Strecken und aus Ebenen bestehenden
Begrenzung 391
§ 215. Fall des von zwei Paar Gegenseiten eines regulären Tetraeders ge¬
bildeten Vierecks 393
§ 216. Oktaedernetz auf der Kugel ¦ 395
§ 217. Konforme Abbildung des Oktaedernetzes 397
§ 218. Analytische Darstellung der Gruppe der 24 Drehungen des Oktaeder¬
netzes 398
§ 219. Nachweis für die konforme Abbildung des Oktaedernetzes vermöge
der aufgestellten Gleichungen 400
§ 220. Bestimmung von F(r) für die Schwarzsehe Minimalfläche 401
§ 221. Analytische Darstellung der Schwarzsehen Minimalfläche 403
§ 222. Besondere Kurven auf der Schwarzsehen Minimalfläche 404
§ 223. Einfachere Form der Gleichungen der Schwarzsehen Minimalfläche . 406
§ 224. Begrenzungskurven 409
§ 225. Die Gruppe von Bewegungen, welche die Schwarzsehe Fläche unge
ändert läßt 410
§ 226. Ausgezeichnete Untergruppe von Translationen 412
§ 227. Nachweis für die eigentliche Diskontinuität der Bewegungsgruppe der
Schwarzsehen Fläche 413
§ 228. Analytische Fortsetzung der Schwarzsehen Minimalfläche 415
§ 229. Die zur Schwarzsehen Fläche konjugierte Minimalfläche 417
§ 230. Die Gruppe der konjugierten Fläche 418
§ 231. Die zweite Variation des Flächeninhalts einer Minimalfläche .... 420
§ 232. Untersuchung der zweiten Variation 421
§ 233. Satz von Schwarz über die zweite Variation 422
Kapitel XVI.
Pseudosphärische Geometrie.
§ 234. Zweidimensionale Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung 424
§ 235. Konforme Abbildung der pseudosphärischen Flächen auf die Halbebene 425
§ 236. Darstellung der Bewegungen der Flüche in eich durch lineare Sub¬
stitutionen der komplexen Veränderlichen 427
§ 237. Bewegungen erster Art 428
§ 238. Bewegungen zweiter Art 429
§ 239. Abänderung der konformen Abbildung 431
§ 240. Abbildung der Kurven konstanter geodätischer Krümmung 432
§ 241. Die drei Arten von geodätischen Kreisen 433
§ 242. Der Parallelitätswinkel 434
XII Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 243. Geodätische Dreiecke 436
§ 244. Pseudosphärische Trigonometrie 437
§ 245. Überblick über die nichteuklidieche Geometrie 440
§ 246. Beltramische Abbildung 440
§ 247. Flächen, die auf die Ebene geodätisch abbildbar sind 442
§ 248. Die Biccatische Differentialgleichung für die geodätischen Linien . . 443
Kapitel XVII.
Die pseudosphärischen Flächen und die Bäcklundsche Transformation.
§ 249. Cauchys Aufgabe über Flächen konstanter Krümmung 44
§ 250. Pseudosphärische Fläche mit zwei gegebenen Haupttangentenkurven 448
§ 251. Vorhandensein und Eindeutigkeit der Lösung 449
§ 252. Analytischer Fall 453
§ 253. Verbiegurigen mit einer starren Haupttangentenkurve 455
§ 254. Bäcklundsche Transformationen 456
§ 255. Formeln für die Bäcklundsche Transformation 458
§ 256. Nachweise für die Eigenschaften der Bäcklundschen Transformation. 460
§ 257. Fall der Komplementärtransformation 461
§ 258. Unendlich kleine Verbiegungen der beiden Brennmäntel eines pseudo¬
sphärischen Strahlensystems 463
§ 259. Die vier Evolutenmäntel bei einer Bäcklundschen Transformation . . 464
§ 260. Der Vertauschbarkeitssatz 466
§ 261. Berechnungen und Nachweise für die Fläche S 470
§ 262. Aufeinanderfolgende Anwendung der Bäcklundschen Transformation . 471
§ 263. Geodätische Linien auf den abgeleiteten Flächen 474
§ 264. Anwendung auf Dinische Schraubenflächen und auf die Komplementär¬
fläche der Pseudosphäre 475
§ 266. Zusammensetzung zweier konjugiert imaginärer Bäcklundscher Trans¬
formationen 477
§ 266. Zusammensetzung zweier entgegengesetzter Transformationen Bg und
B_a 479
§ 267. Unterscheidung der drei Gestalten der Meridiankurve 481
§ 268. Liesche Transformation der pseudosphärischen Flächen 484
Kapitel XVIII.
Transformationen der Flächen konstanter positiver Krümmung und
ihre Beziehungen zu den Biegungsflächen der Kotationsflächen
zweiten Grades.
§ 269. Biegungsflächen der Kugel und Hazzidakissche Transformation . . . 487
§ 270. Zusammenhang mit den Flächen konstanter mittlerer Krümmung . . 489
§ 271. Bonnet Liesche Transformation 49»
§ 272. Bäcklundsche Transformation 491
§ 273. Der Vertauschbarkeitssatz und die Zusammensetzung imaginärer Trans¬
formationen zu reellen 494
§ 274. Fall: b = 0. — Biegungsfläche So des Rotationsellipsoids 497
§ 275. Fall: 6 = ^ . — Biegungsfläche So des zweischaligen Rotationshyper¬
boloids 499
§ 276. Verbiegung von Kugelkongruenzen und Strahlensystemen 500
§ 277. Formeln für die Verbiegung von Strahlensystemen 503
Inhaltsverzeichnis. XIII
Seite
§ 278. Bestimmungsgrößen für die beiden Mäntel E, 2 der Kugelenveloppe. 506
§ 279. Fall, in dem die Fläche Z konstante mittlere Krümmung behält . . 507
§ 280. Fall einer Minimalfläche. — Erster Guichardscher Satz 510
§ 281. Fall: H4=0. — Zweiter Guichardscher Satz 512
Kapitel XIX.
Transformationen Bk der auf das hyperbolische Paraboloid abwickel¬
baren Flächen.
§ 282. Unendlich vieldeutige Transformationen der Flächenelemente des Baumes
nach Lie 516
§ 283. Grundlagen für die Theorie der Transformationen Bk 519
§ 284. Ableitung einiger Fundamentalformeln 522
§ 285. Erste Formelgruppe für das hyperbolische Paraboloid 524
§ 286. Beweis einiger Identitäten 527
§ 287. Orientierung der Facetten ft 529
§ 288. Grundlegende Differentialgleichungen für die Funktion i.(u,v). . . . 531
§ 289. Unbeschränkte Integrierbarkeit des Gleichungensystems (I) 533
•§ 290. Transformationen .Bj. der Biegungsflächen des hyperbolischen Paraboloids 535
§ 291. Fall, in dem die Biegungsflächen Linienflächen sind 536
§ 292. Berechnung des Linienelements der transformierten Flächen St . . . 539
§ 293. Die Ivorysche Verwandtschaft und die Abwicklungsformeln 541
§ 294. Nachweis der Abwickelbarkeit der Flächen Sj auf das hyperbolische
Paraboloid 545
§ 295. Spezialfall der Biegungsflächen. — Singuläre Transformation Bo . . 549
§ 296. Entsprechen der Haupttangentenkurven auf S und St 551
§ 297. Zweiter Beweis für das Entsprechen der Haupttangentenkurven . . . 553
§ 298. Weitere Eigenschaften der Transformationen Bk 555
§ 299. Entsprechen der dauernd konjugierten Systeme auf S und /Sj . . . . 656
§ 300. Wechselbeziehung zwischen S und Sl 558
§ 301. Weitere Eigenschaften der Ivoryschen Verwandtschaft und Abschluß
des Beweises 559
§ 302. Expliziter Ausdruck für die unveränderliche Bewegung und für die
Symmetrie 562
Kapitel XX.
Transformationen Bk der auf das einschalige Hyperboloid abwickel¬
baren Flächen.
§ 303. Erste Formelgruppe für das einschalige Hyperboloid 505
§ 304. Einige, grundlegende Identitäten 567
§ 305. Orientierung der Facetten ft 570
§ 306. Grundlegende Differentialgleichungen für die Funktion (u,v) ... 571
§ 307. Unbeschränkte Integrabilität des Gleichungensystems 573
§ 308. Berechnung des Linienelements der Flächen S, 575
§ 309. Die durch die Ivorysche Verwandtschaft gegebenen Abwicklungs¬
gleichungen 577
§ 310. Erste Transformation der Abwicklungsgleichungen 580
§ 311. Abschluß des Nachweises der Abwickelbarkeit 582
§ 312. Transformationen der Biegun^slinienflächen des Hyperboloids .... 584
§ 313. Eigenschaften der Transformationen Bk 586
§ 314. Wechselbeziehung zwischen B und 2?t 587
§ 816. Besonderer Fall des einschaligen Rotationshyperboloids 589
XIV Inhaltsverzeichnis.
Kapitel XXI.
Transformationen Su der auf andere Flächen zweiten Grades
abwickelbaren Flächen. geite
§ 316. Allgemeines 592
§ 317. Transformationen Bk der Biegungsflächen des elliptischen Paraboloids 594
§ 318. Ideelle Abwickelbarkeit der Transformationsflächen S1 auf das ellip¬
tische Paraboloid 596
§ 319. Transformationen Bk der auf das elliptische Paraboloid ideell ab¬
wickelbaren Flächen 598
§ 320. Transformationen Bk der Biegungsflächen des zweischaligen Hyper¬
boloids 602
§ 321. Fall des Ellipsoids. — Änderung der Bezeichnungen 605
§ 322. Transformationen Bk der Biegungsflächen des Ellipsoids 607
§ 323. Transformationen Bk der auf das ideelle Gebiet des hyperbolischen
Paraboloids abwickelbaren Flächen 610
§ 324. Transformationen Bk der reellen, auf das imaginäre Gebiet des ein¬
schaligen Hyperboloids abwickelbaren Flächen 613
§ 325. Biegungsflächen der imaginären Kugel 615
§ 326. Neue Formeln für die Bäcklundsche Transformation der pseudosphä¬
rischen Flächen 617
§ 327. Vergleich mit den allgemeinen Eigenschaften der Transformationen Bk 619
§ 328. Bemerkungen über den Vertauschbarkeitssatz 622
Kapitel XXII.
Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme.
§ 329. Krummlinige Koordinaten im Räume 625
§ 330. Darboux Dupinscher Satz 627
§ 331. Folgerungen aus dem Darboux Dupinschen Satze 630
§ 332. Differentialgleichungen für die Richtungskosinus des Haupttrieders . 631
§ 333. Die Lameschen Gleichungen als notwendige und hinreichende Be¬
dingungen 634
§ 334. Konforme Abbildungen des Raumes 636
§ 335. Hauptkrümmungsradien der Parameterflächen. — Krümmungen der
Parameterlinien 638
§ 336. Äquidistanzkurven und Cayleysche Gleichung 640
§ 337. Combescuresche Transformation 643
Kapitel XXIII.
Untersuchung einiger spezieller dreifacher Orthogonalsysteme.
§ 338. Dreifache Orthogonalsysteme, die eine Schar von Rotationsflächen ent¬
halten 646
§ 339. Oskulierende Zykelsysteme 647
§ 340. Dreifache Orthogonal Systeme mit einer Schar von ebenen Krümmungs¬
linien 648
§ 341. Fortsetzung 651
§ 342. Erledigung dieses Problems 653
§ 343. Konfokale Flächen zweiten Grades 655
§ 344. Elliptische Koordinaten 666
Inhaltsverzeichnis. XV
Seite
§ 345. Chaslesscher Satz ¦ 658
§ 346. Gemeinsame Evolutenflächen 659
§ 347. Geodätische Linien auf Mittelpunktsflächen zweiten Grades 660
§ 348. Geodätische Linien auf dem Ellipsoid 662
§ 349. Joachimsthalscher Satz 664
§ 350. Geodätische Linien durch die Nabelpunkte 666
§ 351. Einführung elliptischer Funktionen 668
§ 352. Linienelement auf dem Ellipsoid 670
§ 353. Verlauf der geodätischen Liniea 672
Kapitel XXIV.
Die aus Flächen konstanter Krümmung bestehenden Lame schen
Flächenfamilien.
§ 354. Dreifache pseudosphärische Orthogonalsysteme 675
§ 355. Partielle Differentialgleichungen für die Funktion o 678
§ 356. Aus Flächen konstanter positiver Krümmung bestehende Lamesche
Flächenfamilien 680
§ 357. Verschiedene Beispiele 682
§ 358. Bäcklundsche Transformation dreifacher pseudosphärischer Systeme . 683
§ 359. Totale Differentialgleichung für die Funktion k^ 684
§ 360. Vertauschbarkeitssatz 687
§ 361. Transformationen der Lameschen Flächenfamilien konstanter positiver
Krümmung 689
§ 362. Weingartensche Systeme 690
§ 363. Äquidistanzkurven in Weingartenschen Systemen 693
§ 364. PBeudosphärische Weingartensche Systeme konstanter Flexion. . . . 694
§ 365. Zykelsysteme von konstantem Radius 696
§ 366. Dreifaches Weingartensches System von Schraubenflächen 698
§ 367. Bäcklundsche Transformation Weingartenscher Systeme 700
§ 368. Komplementärtransformation Weingartenscher Systeme 702
§ 369. Vollständiges System von partiellen Differentialgleichungen für Lame¬
sche Flächenfamilien konstanter Krümmung 704
§ 370. Enveloppe der Nonnalenebenen der Äquidistanzkurven 706
§ 371. Berechnung des Linienelements von S. — Die den imaginären Kugel¬
kreis oskulierende Fläche Q zweiten Grades 708
Sachregister 712
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