Differentialformen und Vektoranalysis:
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Berlin
Dt. Verl. der Wiss.
1973
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S. BREHMER - H. HAAR
DIFFERENTIALFORMEN
UND
VEKTORANALYSIS
MIT 82 ABBILDUNGEN
D W
VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1973
IMAGE 2
INHALT
*
1. DER P-DIMENSIONALE EUKLIDISCHE RAUM E P 11
1.1. SKALARPRPDUKT UND NORM 11
1.2. LINEARE ABBILDUNGEN AUS E P IN.E Q 12
1.3. PUNKTMENGEN, FUNKTIONEN 14
2. RIEMANNSCHER INHALT UND RIEMANNSCHES INTEGRAL 19
2.1. DAS INHALTSPROBLEM 19
2.2. DER RIEMANNSCHE INHALT IM EUKLIDISCHEN RAUM E P 20
2.3. DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL 26
2.4. BEWEIS DER INTEGRABILITAETSKRITERIEN 29
2.5. EIGENSCHAFTEN DES INTEGRALS 33
2.6. ADDITIVE MENGENFUNKTIONEN 36
2.7. REDUKTIONSSATZ FUER INTEGRALE 40
3. DIFFERENTIALRECHNUNG 43
3.1. PARTIELLE ABLEITUNGEN 43
3.2. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN 45
3.3. FUNKTIONALDETERMINANTEN 52
3.4. UMKEHRABBILDUNGEN 54
3.5. IMPLIZIT DEFINIERTE FUNKTIONEN 59
3.6. DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ UND SEINE ANWENDUNG AUF DIE THEORIE DER
UMKEHR ABBILDUNGEN UND DER IMPLIZIT DEFINIERTEN FUNKTIONEN 61
3.7. HOEHERE ABLEITUNGEN 68
3.8. TRANSFORMATION VON INTEGRALEN 72
3.9. EXISTENZSATZ FUER GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 78
4. EUKLIDISCHE PUNKT- UND VEKTORRAEUME 88
4.1. PUNKTE, VEKTOREN UND TENSOREN 88
4.1.1. AFFINE PUNKTRAEUME 88
4.1.2. LINEARE OPERATOREN. INHALTSVERHAELTNIS. ORIENTIERUNG 91
4.1.3. METRIK EUKLIDISCHER VEKTOR- BZW. PUNKTRAEUME 95
4.1.4. AEUSSERES PRODUKT. VEKTORPRODUKT , 98
4.1.5. TENSOREN IN EUKLIDISCHEN VEKTORRAEUMEN , 101
IMAGE 3
8
INHALT
4.1.6. SYMMETRISCHE TENSOREN ZWEITER STUFE 104
4.1.7. ANTISYMMETRISCHE TENSOREN ZWEITER STUFE IM DREIDIMENSIONALEN RAUM
108
4.1.8. MINKOWSKI-RAEUME 111
4.2. KURVEN, FLAECHEN, KRUMMLINIGE KOORDINATEN 114
4.2.1. KURVENSTUECKE 114
4.2.2. FLAECHENSTUECKE 117
4.2.3. P-DIMENSIONALE FLAECHENSTUECKE. KRUMMLINIGE KOORDINATEN 121
4.2.4. PARAMETERTRANSFORMATIONEN. ORIENTIERUNG 124
4.2.5. SKALARFELDER, VEKTORFELDER UND TENSORFELDER 127
5. VEKTORANALYSIS 130
5.1. INTEGRALE UND DIFFERENTIALFORMEN 130
5.1.1. MEHRDIMENSIONALE FLAECHENINTEGRALE 130
5.1.2. ALTERNIERENDE DIFFERENTIALFORMEN 134
5.1.3. KOORDINATENDARSTELLUNG VON ALTERNIERENDEN DIFFERENTIALFORMEN 137
5.1.4. ALTERNIERENDES PRODUKT 139
5.2. DER SATZ VON STOKES 142
5.2.1. LEIBNIZSCHE SEKTORFORMEL 142
5.2.2. STERNFOERMIGE BEREICHE 147
5.2.3. VERWANDLUNG VON RANDINTEGRALEN 151
5.2.4. AEUSSERES DIFFERENTIAL 152
5.2.5. DER SATZ VON POINCARE UND SEINE UMKEHRUNG 154
5.3. DIFFERENTIALFORMEN UND IHRE INTEGRALE IM EUKLIDISCHEN RAUM 157
5.3.1. VEKTORIELLES BOGEN- UND FLAECHENELEMENT. VOLUMENELEMENT 157
5.3.2. INTEGRALE SKALARER UND VEKTORWERTIGER DIFFERENTIALFORMEN 161
5.3.3. SKALARES BOGENELEMENT 167
5.3.4. SKALARES FLAECHENELEMENT IM 3T 3 171
5.4. DIE DIFFERENTIALOPERATIONEN DER VEKTORANALYSIS 174
5.4.1. GRADIENTENBILDUNG IM SKALARFELD 174
5.4.2. DIE ROTATION VON VEKTORFELDERN. VEKTORGRADIENT. DER (SPEZIELLE)
SATZ VON STOKBS 177
5.4.3. DIE DIVERGENZ VON VEKTORFELDERN UND DER SATZ VON GAUSS 180
5.4.4. DER VEKTORGRADIENT EINES VEKTORFELDES 182
5.4.5. EINIGE FORMELN DER VEKTORANALYSIS. NABLA-KALKUEL 184
5.4.7. ANWENDUNGEN AUF DIE HYDRODYNAMIK 188
5.4.8. DER LAPLACE-OPERATOR 193
5.5. ELEMENTE DER POTENTIALTHEORIE 195
5.5.1. MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN. ELEKTROSTATISCHES FELD 195
5.5.2. KUGELSYMMETRISCHES FELD. PUNKTFOERMIGE LADUNG. SUMMATIONSPRINZIP
199
5.5.3. DIPOLE 203
5.5.4. EINFACHE SCHICHTEN 204
5.5.5. DOPPELSCHICHTEN 206
5.5.6. AUFBAU VON UNENDLICHEN FELDERN AUS IHREN QUELLEN UND WIRBELN 208
5.5.7. DIE GREENSCHEN FORMELN 211
5.5.8. DAS DIRICHLETSCHE RANDWERTPROBLEM FUER WIRBELFREIE FELDER 215
5.5.9. DAS NEUMANNSCHE RANDWERTPROBLEM FUER WIRBELFREIE FELDER 218
5.5.10. DAS DIRICHLETSCHE PROBLEM FUER QUELLENFREIE FELDER 220
5.5.11. DAS NEUMANNSCHE RANDWERTPROBLEM FUER ALLGEMEINE FELDER 221
5.6. VEKTOR- UND TENSORANALYSIS IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 222
5.6.1. LOKALE BASEN IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 222
IMAGE 4
INHALT 9
5.6.2. KOORDINATEN VON TENSOREN. BINSTEINSCHE SUMMENKONVENTION 226
5.6.3. METRISCHE FUNDAMENTALGROESSEN 228
5.6.4. TENSORIELLES PRODUKT 230
5.6.5. VERJUENGUNG UND UEBERSCHIEBUNG 232
5.6.6. DER INHALTSTENSOR 235
5.6.7. DIE DIFFERENTIALOPERATIONEN IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 238
5.6.8. VEKTORGRADIENT UND DIFFERENTIAL VON VEKTOREN 240
5.6.9. PARALLELVERSCHIEBUNG VON VEKTOREN 242
6. AUSBLICK AU! DIE THEORIE DER RIEMANNSCHEN RAEUME 244
6.1. TOPOLOGISCHE RAEUME. HAUSDORFFSCHE RAEUME 244
6.2. DIFFERENZIERBARE MANNIGFALTIGKEITEN 247
6.2.1. ZULAESSIGE KOORDINATENSYSTEME 247
6.2.2. ALTERNIERENDE DIFFERENTIALFORMEN UND ALTERNIERENDE TENSOREN 247
6.2.3. VEKTOREN 250
6.2.4. MULTIVEKTOREN, INHALTSTENSOREN 251
6.2.5. VEKTORFORMEN 253
6.3. AFFIN ZUSAMMENHAENGENDE RAEUME 255
6.3.1. ABSOLUTES DIFFERENTIAL 255
6.3.2. ABSOLUTE ABLEITUNG. PARALLELVERSCHIEBUNG 255
6.3.3. GEODAETISCHE LINIEN 259
6.3.4. KRUEMMUNGSTENSOR 261
6.4. RIEMANNSCHE RAEUME 265
6.4.1. SKALARPRODUKT 265
6.4.2. SKALARPRODUKT ALTERNIERENDER TENSOREN 266
6.4.3. METRISCHES ABSOLUTES DIFFERENTIAL 268
6.4.4. DER KRUEMMUNGSTENSOR IN RIEMANNSCHEN RAEUMEN 270
LOESUNGEN DER AUFGABEN 274
LITERATUR 295
NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS 297
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